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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2018-02-10 19:40:41 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2018-02-10 19:40:41 (GMT)
commit2bbd1ffe850e7508e2f71388a07053aecab60413 (patch)
tree53872426350993019ef72a2e11e4ccfb8fd4fe80
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Regular functions on a Zariski closed set.
-rw-r--r--notes-accq205-v2.tex83
1 files changed, 70 insertions, 13 deletions
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index f686184..109f87c 100644
--- a/notes-accq205-v2.tex
+++ b/notes-accq205-v2.tex
@@ -40,6 +40,7 @@
\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
%
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
+\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}}
\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
@@ -139,6 +140,23 @@ et l'application $J \mapsto J/I$ définit une bijection entre idéaux
$J$ de $A$ contenant $I$ et idéaux de $A/I$. De surcroît, le quotient
de $A/I$ par $J/I$ s'identifie à $A/J$.
+\thingy\label{review-of-canonical-factorization} On aura fréquemmment
+besoin du fait suivant : quel que soit le morphisme d'anneaux
+$\psi\colon A\to B$, l'\emph{image} $\im\psi := \{\psi(x) : x\in A\}$
+de $\psi$ (qui est un sous-anneau de $B$) s'identifie au quotient
+$A/\ker\psi$ de $A$ par le noyau de $\psi$ : l'identification se fait
+par l'isomorphisme $\tilde\psi$ qui envoie la classe de $z\in A$
+modulo $\ker\psi$ sur l'image $\psi(z) \in B$. (Si on veut, on a
+factorisé le morphisme $\psi\colon A\to B$ comme composée de la
+surjection canonique $A \to A/\ker\psi$, suivie d'un isomorphisme
+$\tilde\psi$, suivie de l'injection canonique $\im\psi\to B$.) De
+façon plus concise, « un morphisme d'anneaux identifie son image au
+quotient de sa source par son noyau ».
+
+Dans le cas particulier où $\psi$ est surjectif, ceci signifie qu'un
+morphisme surjectif $\psi\colon A\to B$ permet d'identifier $B$ au
+quotient $A/\ker\psi$ de $A$ par son noyau.
+
\thingy\label{ideal-generated-by-elements} Si $(x_i)_{i\in \Lambda}$
sont des éléments de $A$, l'intersection de tous les idéaux contenant
les $x_i$ est un idéal et s'appelle l'idéal \defin[engendré
@@ -570,20 +588,20 @@ apparaît : si aucune remarque n'est faite et que les $x_i$ n'ont pas
été introduits auparavant, il est généralement sous-entendu que ce
sont des indéterminées.
-\thingy Une $k$-algèbre $A$ est de type fini lorsqu'il existe
+\thingy\label{finite-type-algebras-as-quotients-of-polynomial-rings}
+Une $k$-algèbre $A$ est de type fini lorsqu'il existe
$x_1,\ldots,x_n \in A$ tels que le morphisme $k[t_1,\ldots,t_n] \to A$
(de la $k$-algèbre $k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes en $n$
indéterminées vers $A$), dit morphisme d'évaluation, qui à $f$ associe
-$f(x_1,\ldots,x_n)$ est \emph{surjectif}. Or on rappelle qu'un
-morphisme d'anneaux surjectif $\psi\colon A' \to A$ permet
-d'identifier\footnote{L'identification se fait par l'isomrphisme qui
- envoie la classe de $z\in A'$ modulo $\ker\psi$ sur l'image $\psi(z)
- \in A$.} l'image $A$ au quotient $A'/\ker\psi$ de $A'$ par le noyau
-de $\psi$. Donc toute $k$-algèbre de type fini peut s'écrire sous la
-forme du quotient $k[t_1,\ldots,t_n]/I$ d'un anneau de polynômes
-$k[t_1,\ldots,t_n]$ par un idéal de ce dernier ; réciproquement, un
-tel quotient est visiblement de type fini (il est engendré par les
-classes modulo $I$ des indéterminées).
+$f(x_1,\ldots,x_n)$ est \emph{surjectif}. Or on rappelle
+(cf. \ref{review-of-canonical-factorization}) qu'un morphisme
+d'anneaux surjectif $\psi\colon A' \to A$ permet d'identifier l'image
+$A$ au quotient $A'/\ker\psi$ de $A'$ par le noyau de $\psi$. Donc
+toute $k$-algèbre de type fini peut s'écrire sous la forme du quotient
+$k[t_1,\ldots,t_n]/I$ d'un anneau de polynômes $k[t_1,\ldots,t_n]$ par
+un idéal de ce dernier ; réciproquement, un tel quotient est
+visiblement de type fini (il est engendré par les classes modulo $I$
+des indéterminées).
En résumé, on peut donc dire qu'une $k$-algèbre de type fini est la
même chose qu'un quotient d'un anneau de polynômes (en un nombre fini
@@ -593,7 +611,7 @@ En rassemblant ce fait avec
\ref{hilbert-basis-theorem-for-polynomials} et avec le fait qu'un
quotient d'un anneau noethérien est noethérien, on obtient :
-\begin{cor}
+\begin{cor}\label{finite-type-algebras-are-noetherian}
Soit $k$ un corps ou $\mathbb{Z}$, ou plus généralement un anneau
noethérien. Alors toute $k$-algèbre de type fini est un anneau
noethérien.
@@ -923,7 +941,7 @@ I) = Z(I)$ (car si $f^n$ s'annule en $x$ alors $f$ s'y annule aussi).
On peut donc se contenter de considérer les $Z(I)$ avec $I$ idéal
radical.
-\thingy On appellera \textbf{fermé de Zariski} dans $k^d$, ou
+\thingy On appellera \defin{fermé de Zariski} dans $k^d$, ou
\defin{variété algébrique affine} sur $k$, une partie $E$ de la forme
$Z(\mathscr{F})$ pour une certaine partie $\mathscr{F}$
de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu qu'on pouvait supposer qu'il
@@ -1276,6 +1294,45 @@ c'est-à-dire $E \subseteq Z(f')$, ce qui signifie $f' \in
Ceci montre bien que $\mathfrak{I}(E)$ est premier.
\end{proof}
+%
+\subsection{L'anneau d'un fermé de Zariski : fonctions régulières}
+
+\thingy On suppose toujours que $k$ est algébriquement clos.
+Considérons $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ un idéal radical et $E =
+Z(I)$ le fermé de Zariski qu'il définit. On rappelle que $I =
+\mathfrak{I}(E)$ par le Nullstellensatz, c'est-à-dire qu'un polynôme
+$f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ s'annule identiquement sur $E$ si et
+seulement si il est dans $I$.
+
+Considérons maintenant le morphisme $\Psi\colon k[t_1,\ldots,t_d] \to
+k^E$ (où $k^E$ désigne la $k$-algèbre de toutes les fonctions $E \to
+k$) qui à un polynôme $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ associe la fonction
+polynomiale correspondante sur $E$, c'est-à-dire l'application
+$\Psi(f)\colon E \to k$ donnée par $x \mapsto f(x)$. D'après ce qui
+vient d'être dit, le noyau de ce morphisme $\Psi$ est $I$. Par
+conséquent (cf. \ref{review-of-canonical-factorization}), l'image
+de $\Psi$ s'identifie à $k[t_1,\ldots,t_d]/I$. L'image de $\Psi$ est
+par définition l'ensemble des fonctions polynomiales sur $E$ : ce qui
+vient d'être dit est que la fonction polynomiale $\Psi(f)$ définie
+par $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ ne dépend que de la classe de $f$
+modulo $I$.
+
+L'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]/I$ s'appellera \defin[régulières
+ (fonctions)]{anneau des fonctions régulières} du fermé de
+Zariski $E$. Comme on vient de le signaler, ses éléments peuvent
+s'identifier aux restrictions à $E$ des fonctions polynomiales
+sur $k^d$. On le notera $\mathcal{O}(E)$.
+
+Par construction, $\mathcal{O}(E)$ est une $k$-algèbre de type
+fini (cf. \ref{finite-type-algebras-as-quotients-of-polynomial-rings}),
+donc un anneau noethérien
+(cf. \ref{finite-type-algebras-are-noetherian}) ; par construction,
+elle est un anneau \emph{réduit} (puisque $I$ est supposé un idéal
+radical) ; elle est un anneau \emph{intègre} si et seulement si $E$
+est irréductible (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}) ; et
+elle est un \emph{corps} si et seulement si $E$ est un singleton
+(cf. \ref{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}), auquel cas c'est
+simplement $k$.