Write a list of exercises for ACCQ205.

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diff --git a/exercices.tex b/exercices.tex
new file mode 100644
index 0000000..a0f40a8
--- /dev/null
+++ b/exercices.tex
@@ -0,0 +1,499 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
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+%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf]
+%
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newcommand\exercice{%
+\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak}
+\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
+%
+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
+\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
+%
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
+%
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+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
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+\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
+\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
+    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
+\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
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+  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
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+\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
+\newif\ifcorrige
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+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
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+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{ACCQ205\\Exercices — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\else
+\title{ACCQ205\\Exercices\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\fi
+\author{David A. Madore}
+\maketitle
+
+{\footnotesize
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+\begin{center}
+Git: \input{vcline.tex}
+\end{center}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+\par}
+
+\pretolerance=8000
+\tolerance=50000
+
+\exercice
+
+Dans $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, quelle est l'intersection de la
+droite reliant les points $(1{:}1{:}1)$ et $(1{:}2{:}3)$ et de celle
+reliant les points $(0{:}1{:}3)$ et $(1{:}0{:}0)$ ?
+
+Traduire cette même question et son résultat dans le plan affine
+$\mathbb{A}^2(\mathbb{R})$ (c'est-à-dire $\mathbb{R}^2$) vu comme
+l'ensemble des points $(1:x:y)$ de $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$.
+
+\begin{corrige}
+En notant $[u:v:w]$ (pour $u,v,w$ non tous nuls) la droite d'équation
+$ux+vy+wz = 0$ dans $\mathbb{P}^2$, on rappelle que la droite reliant
+$(x:y:z)$ et $(x':y':z')$ distincts est $[yz'-zy' : zx'-xz' :
+  xy'-yx']$, et que l'intersection des droites distinctes $[u:v:w]$ et
+$[u':v':w']$ est $[vw'-wv' : wu'-uw' : uv'-vu']$.
+
+Avec ces formules, on trouve que $(1{:}1{:}1) \vee (1{:}2{:}3) =
+[1{:}-2{:}1]$ (on note $p \vee q$ pour la droite reliant $p$ et $q$)
+et que $(0{:}1{:}3) \vee (1{:}0{:}0) = [0{:}3{:}-1]$ et finalement que
+le point recherché est $[1{:}-2{:}1] \wedge [0{:}3{:}-1] =
+(-1{:}1{:}3)$ (en notant $\ell \wedge m$ pour l'intersection des
+droites $\ell$ et $m$).  Ce point est bien sûr aussi égal, par
+exemple, à $(1{:}-1{:}-3)$ ou $(-2{:}2{:}6)$.
+
+En affine, la question demande l'intersection de la droite reliant
+$(1,1)$ et $(2,3)$ et de la droite de pente $3$ passant par $(0,0)$.
+(La « pente » de la droite affine $y = ax+b$ est le nombre $a$, qu'on
+peut voir comme le point à l'infini $(0:1:a)$ de sa complétée
+projective.)  La réponse est que les droites en question se coupent
+en $(-1,-3)$.
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Donner l'équation de l'homographie (= transformation projective) $f
+\colon \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ sur, disons, les réels, qui
+envoie $0$ sur $0$ et $1$ sur $1$ et $2$ sur $3$.  Quelle est l'image
+de $\infty$ par cette homographie, et quel point s'envoie sur $\infty$
+par elle ?
+
+\begin{corrige}
+L'énoncé suppose implicitement qu'on identifie $\mathbb{P}^1$ au
+complété de $\mathbb{A}^1$ par l'ajout d'un point à l'infini.  Notons
+$t$ la coordonnée sur $\mathbb{A}^1$ et fixons les coordonnées de
+$\mathbb{P}^1$ en identifiant le point $t$ de $\mathbb{A}^1$ avec le
+point $(t{:}1)$ de $\mathbb{P}^1$ et le point à l'infini avec
+$(1{:}0)$ (c'est-à-dire que $(u:v)$ de $\mathbb{P}^1$ s'identifie avec
+$u/v$ dans $\mathbb{A}^1$ sauf lorsque $v=0$ auquel cas on le
+note $\infty$).
+
+On cherche un élément de $\mathit{PGL}_2$, c'est-à-dire une matrice
+inversible $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}$ (modulo
+homothéties).  Compte tenu de l'identification qu'on vient de faire,
+cela signifie qu'on cherche $f$ sous la forme $f(t) =
+\frac{at+b}{ct+d}$ (avec $ad-bc \neq 0$ pour assurer l'inversibilité,
+et en gardant à l'esprit que ceci ne fixera $a,b,c,d$ qu'à
+multiplication près par une constante).
+
+La contrainte $f(0)=0$ se traduit alors par $b=0$, la contrainte
+$f(1)=1$ se traduit par $a+b=c+d$, et la contrainte $f(2)=3$ se
+traduit par $2a+b=3(2c+d)$.  En résolvant le système (avec une
+contrainte arbitraire pour fixer l'homogénéité sans importance), on
+trouve $\begin{pmatrix}3&0\\-1&4\\ \end{pmatrix}$ (modulo
+multiplication par constantes), soit $f(t) = 3t/(-t+4)$.  Le point
+$\infty$ s'envoie alors sur $-3$ (c'est-à-dire que $(1{:}0)$ s'envoie
+sur $(3{:}-1)$), et $4$ s'envoie sur $\infty$ (c'est-à-dire que
+$(4{:}1)$ s'envoie sur $(1{:}0)$).
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+(a) Combien y a-t-il de points dans $\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$ ?
+(b) Combien y a-t-il de couples de points distincts de
+$\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$ ?  (c) Étant donnée une droite $\ell$ de
+$\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$, combien de couples de points distincts
+sont situés dessus ?  (d) En déduire le nombre de droites dans
+$\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$.  (e) Indépendamment des questions
+(b) à (d), combien y a-t-il de plans dans
+$\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$ ?
+
+\begin{corrige}
+(a) On a vu que c'est $\frac{q^4-1}{q-1} = q^3 + q^2 + q + 1$ (ce qui
+  s'écrit encore, si on préfère, $(q+1) (q^2+1)$).
+
+(b) On en déduit que c'est $(q^3 + q^2 + q + 1) (q^3 + q^2 + q)$ (ce
+  qui s'écrit encore, si on préfère, $q(q+1)(q^2+1)(q^2+q+1)$).
+
+(c) Chaque droite de $\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$ est elle-même un
+  $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$, donc elle a $q+1$ points, et $q(q+1)$
+  couples de points distincts.
+
+(d) Chaque couple de points distincts de $\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$
+  détermine une unique droite, laquelle s'obtient de $q(q+1)$ manières
+  différentes : il y a donc $[q(q+1)(q^2+1)\penalty0
+    (q^2+q+1)]/[q(q+1)] = (q^2+1)(q^2+q+1) = q^4 + q^3 + 2q^2 + q + 1$
+  droites distinctes dans $\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$.
+
+(e) La dualité projective met en correspondance les plans de
+  $\mathbb{P}^2$ avec les points du $\mathbb{P}^2$ dual.  Notamment,
+  les plans de $\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$ sont en même nombre que
+  ses points, c'est-à-dire $q^3 + q^2 + q + 1$.
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+On souhaite démontrer de façon calculatoire le théorème suivant
+(théorème de Desargues) : si $A,B,C$ et $A',B',C'$ sont deux triangles
+(= triplets de points non alignés) dans $\mathbb{P}^2$ tels que $AA'$,
+$BB'$ et $CC'$ concourent en un point $O$, alors les points $U := BC
+\wedge B'C'$ (point d'intersection des droites $BC$ et $B'C'$) et $V
+:= CA \wedge C'A'$ et $W := AB \wedge A'B'$ sont alignés.  (Comme
+d'habitude en géométrie projective, on suppose tacitement que les
+points sont en position suffisamment générale, c'est-à-dire que toutes
+les paires de points qu'on a reliés pour former une droite sont
+distinctes, et que toutes les paires de droites qu'on a intersectées
+sont aussi distinctes.)
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm,extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1},extended line/.default=1cm]
+%% \clip(-3.43,-5.04) rectangle (4.25,0.85);
+%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-0-1.69*\x)/-1.38});
+%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-0-1.96*\x)/1.19});
+%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-0-2.4*\x)/-0.02});
+%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-4.73-0.27*\x)/2.57});
+%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(--2.9-0.44*\x)/-1.21});
+%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(--3.28--0.71*\x)/-1.36});
+%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-14.02--1.17*\x)/4.67});
+%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(--6.32-1.33*\x)/-1.62});
+%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(--11.99--0.15*\x)/-3.05});
+%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(--9.7-2.9*\x)/-0.07});
+\begin{scriptsize}
+\coordinate (O) at (0,0);
+\coordinate (A) at (-1.38,-1.69);
+\coordinate (B) at (1.19,-1.96);
+\coordinate (C) at (-0.02,-2.4);
+\coordinate (Aprime) at (-3.08,-3.78);
+\coordinate (Bprime) at (1.59,-2.61);
+\coordinate (Cprime) at (-0.03,-3.93);
+\coordinate (W) at (3.29,-2.18);
+\coordinate (U) at (3.31,-1.19);
+\coordinate (V) at (3.24,-4.1);
+\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Aprime);
+\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Bprime);
+\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Cprime);
+\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (A)--(W);
+\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (Aprime)--(W);
+\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (A)--(V);
+\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (Aprime)--(V);
+\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (C)--(U);
+\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (Cprime)--(U);
+\draw[color=black!50!blue,extended line=0.5cm] (U)--(V);
+\fill [color=blue] (O) circle (1.5pt);
+\draw[color=blue] (0.11,0.17) node {$O$};
+\fill [color=red] (A) circle (1.5pt);
+\draw[color=red] (-1.27,-1.52) node {$A$};
+\fill [color=red] (B) circle (1.5pt);
+\draw[color=red] (1.3,-1.79) node {$B$};
+\fill [color=red] (C) circle (1.5pt);
+\draw[color=red] (0.09,-2.23) node {$C$};
+\fill [color=red] (Aprime) circle (1.5pt);
+\draw[color=red] (-2.97,-3.61) node {$A'$};
+\fill [color=red] (Bprime) circle (1.5pt);
+\draw[color=red] (1.7,-2.43) node {$B'$};
+\fill [color=red] (Cprime) circle (1.5pt);
+\draw[color=red] (0.09,-3.76) node {$C'$};
+\fill (W) circle (1.5pt);
+\draw (3.41,-2) node {$W$};
+\fill (U) circle (1.5pt);
+\draw (3.42,-1.01) node {$U$};
+\fill (V) circle (1.5pt);
+\draw (3.35,-3.92) node {$V$};
+\end{scriptsize}
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+(a) Expliquer pourquoi on peut trouver des coordonnées telles que
+$A=(1{:}0{:}0)$, $B=(0{:}1{:}0)$, $C=(0{:}0{:}1)$ et $O=(1{:}1{:}1)$.
+
+(b) Expliquer pourquoi les coordonnées de $A',B',C'$ sont alors de la
+forme $A' = (a:u:u)$, $B' = (v:b:v)$ et $C' = (w:w:c)$.
+
+(c) Calculer les coordonnées de $U,V,W$.
+
+(d) Conclure.
+
+(e) Indépendamment de ce qui précède, quel est l'énoncé dual du
+théorème de Desargues ?
+
+\begin{corrige}
+(a) On a supposé $ABC$ non alignés, $OAB$ non alignés (implicitement
+  en disant que $AA'$ et $BB'$ concourent), $OBC$ non alignés et $OCA$
+  non alignés.  On a donc affaire à une base projective
+  de $\mathbb{P}^2$, et quitte à choisir les coordonnées, on peut
+  supposer qu'il s'agit de la base standard.
+
+(b) Le point $A'$ est sur la droite $OA = [0{:}1{:}-1]$, c'est-à-dire
+  que ses deux dernières coordonnées sont égales : on peut donc
+  l'écrire $(a:u:u)$ (avec $a,u$ non simultanément nuls).  Les deux
+  autres cas sont symétriques.
+
+(c) La droite $BC$ est $[1{:}0{:}0]$, et la droite $B'C'$ est $[bc -
+    vw : -cv + vw : -bw + vw]$ (on peut se dispenser de calculer la
+  première coordonnée), ce qui donne $U := BC \wedge B'C' = (0 : bw -
+  vw : -cv + vw)$.  Les deux autres s'obtiennent alors en appliquant
+  la permutation cyclique évidente, soit $V = (-aw + wu : 0 : cu -
+  wu)$ et $W = (av - uv : -bu + uv : 0)$.
+
+(d) Il s'agit de vérifier l'annulation du déterminant
+\[
+\left|
+\begin{matrix}
+0&-aw+wu&av-uv\\
+bw-vw&0&-bu+uv\\
+-cv+vw&cu-wu&0\\
+\end{matrix}
+\right|
+\]
+ce qui peut se faire directement ou en remarquant que $u$ fois les
+coordonnées trouvées pour $U$ plus $v$ fois celles pour $V$ plus $w$
+fois celles pour $W$ donne zéro.
+
+(e) L'énoncé dual obtenu en échangeant mécaniquement points et droites
+est : si $\alpha,\beta,\gamma$ et $\alpha',\beta',\gamma'$ sont deux
+triangles dans $\mathbb{P}^2$ donnés par des triplets de droites cette
+fois, tels que les points d'intersection $\alpha\wedge\alpha'$,
+$\beta\wedge\beta'$ et $\gamma\wedge\gamma'$ soient alignées selon une
+droite $\ell$, alors les droites $p := (\beta\wedge\gamma) \vee
+(\beta'\wedge\gamma')$ (droite reliant les points d'intersection
+$\beta\wedge\gamma$ et $\beta'\wedge\gamma'$) et $q :=
+(\gamma\wedge\alpha) \vee (\gamma'\wedge\alpha')$ et $r :=
+(\alpha\wedge\beta) \vee (\alpha'\wedge\beta')$ sont concourantes.
+
+Mais on peut le reformuler : en appelant $A,B,C$ les sommets du
+triangle de côtés $\alpha,\beta,\gamma$, c'est-à-dire $A :=
+\beta\wedge\gamma$ et $B := \gamma\wedge\alpha$ et $C :=
+\alpha\wedge\beta$, et de même $A',B',C'$ les sommets de
+$\alpha',\beta',\gamma'$, alors l'énoncé de Desargues dual est : si
+$A,B,C$ et $A',B',C'$ sont deux triangles dans $\mathbb{P}^2$ tels que
+les points $U := BC \wedge B'C'$ (point d'intersection des droites
+$BC$ et $B'C'$) et $V := CA \wedge C'A'$ et $W := AB \wedge A'B'$
+soient alignés, alors $AA'$, $BB'$ et $CC'$ concourent en un
+point $O$.  Il s'agit précisément de la réciproque du théorème de
+Desargues tel que nous l'avons énoncé.
+
+Autrement dit, en démontrant le théorème de Desargues, nous avons
+aussi démontré sa réciproque (puisque celle-ci s'obtient en appliquant
+Desargues dans le plan projectif dual).
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Donner des équations (c'est-à-dire, écrire comme un fermé de Zariski)
+de la droite de $\mathbb{P}^3$ sur $\mathbb{R}$ qui passe par les
+points $(1{:}2{:}3{:}4)$ et $(4{:}1{:}2{:}3)$.  (On notera
+$(t{:}x{:}y{:}z)$ les coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^3$.)  Le
+point $(3{:}4{:}1{:}2)$ est-il situé dessus ?
+
+\begin{corrige}
+Traduisons le problème comme un problème d'algèbre linéaire : on
+considère $V$ le plan vectoriel (= sous-espace vectoriel de
+dimension $2$) engendré par les deux vecteurs $(1,2,3,4)$ et
+$(4,1,2,3)$ de $\mathbb{R}^4$, et on cherche à trouver un système
+générateur (et tant qu'à faire, une base) de l'ensemble $V^\perp$ des
+formes linéaires sur $\mathbb{R}^4$ s'annulant sur $V$ (qu'on peut
+voir comme des polynômes homogènes de degré $1$ en $t,x,y,z$ si l'on
+veut).  Si on note $s,u,v,w$ les coordonnées (coefficients devant
+$t,x,y,z$) d'une telle forme linéaire, on cherche donc à résoudre
+$s+2u+3v+4w=0$ et $4s+u+2v+3w=0$, ce système étant évidemment
+sous-déterminé (puisque $V^\perp$ est de dimension $2$) mais on
+cherche à trouver une base de son espace de solutions.  On peut par
+exemple trouver pour $(s,u,v,w)$ les solutions $(1,0,13,-10)$ et
+$(0,1,-2,1)$ ou encore $(-\frac{1}{7}, -\frac{10}{7}, 1, 0)$ et
+$(-\frac{2}{7}, -\frac{13}{7}, 0, 1)$ (par exemple calculées en
+mettant la matrice $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\\ \end{pmatrix}$
+sous forme échelonnée), ou n'importe quels deux vecteurs non
+colinéaires vérifiant le système qu'on a écrit (tout autre élément
+étant alors combinaison des deux qu'on a choisis).
+
+Mettons qu'on prenne $(1,0,13,-10)$ et $(0,1,-2,1)$ : ceci permet
+d'écrire que la droite passant par $(1{:}2{:}3{:}4)$ et
+$(4{:}1{:}2{:}3)$ a pour équations $t + 13y - 10z = 0$ et $x - 2y + z
+= 0$ (encore une fois, n'importe quelle autre équation sera dans le
+sous-$\mathbb{R}$-espace vectoriel, et \emph{a fortiori} dans l'idéal,
+engendré par ces deux équations choisies).
+
+Savoir si le point $(3{:}4{:}1{:}2)$ est situé sur la droite en
+question se vérifie alors sur ces équations : la réponse est
+manifestement non.  (On pouvait aussi tester directement l'alignement
+de $(3{:}4{:}1{:}2)$ avec $(1{:}2{:}3{:}4)$ et $(4{:}1{:}2{:}3)$ en
+testant si le vecteur $(3,4,1,2)$ apartient à l'image de la matrice
+$4\times 2$ transposée de
+$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\\ \end{pmatrix}$, ou encore si la
+matrice $4\times 3$ ayant ces trois vecteurs comme colonnes a un
+rang $\leq 2$, et la réponse est non quelle que soit la manière dont
+la question est tournée.)
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Soient $x_0,y_0,r$ des réels avec $r>0$.  Soit $C := \{(x,y) \mid
+(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\} \subseteq \mathbb{A}^2$ le cercle de
+centre $(x_0,y_0)$ et de rayon $r$ vu comme un fermé de Zariski de
+$\mathbb{A}^2$ sur $\mathbb{R}$.  On voit maintenant $\mathbb{A}^2$
+dans $\mathbb{P}^2$, dont les coordonnées seront notées $(T:X:Y)$ en
+identifiant le point $(x,y)$ de $\mathbb{A}^2$ avec $(1:x:y)$ de
+$\mathbb{P}^2$.  Déterminer l'équation du complété projectif $C^+
+\subseteq \mathbb{P}^2$ de $C$.  Quels sont les points à l'infini
+de $C^+$ (« à l'infini » s'entendant par rapport au $\mathbb{A}^2$
+dont on est parti) ?
+
+Commenter l'affirmation : « en géométrie projective, tous les cercles
+euclidiens passent par deux mêmes points géométriques situés à
+l'infini (les \emph{points cycliques}) ».
+
+\begin{corrige}
+Il s'agit d'homogénéiser l'équation $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 - r^2 = 0$.
+Pour cela, on remplace $x$ par $X/T$ et $y$ par $Y/T$ et on multiplie
+par $T^2$ pour chasser les dénominateurs.  On obtient ainsi l'équation
+projective : $(X-x_0 T)^2 + (Y-y_0 T)^2 - r^2 T^2 = 0$, ou, si on
+préfère, $X^2 + Y^2 - 2 x_0 TX - 2 y_0 TY + (x_0^2+y_0^2-r^2) T^2 =
+0$ ($*$).  Le fermé de Zariski $C^+ \subseteq \mathbb{P}^2$ est celui
+défini par l'équation qu'on vient d'écrire.
+
+Ses points à l'infini sont le fermé de Zariski défini par les deux
+équations ($*$) et $T=0$ (cette dernière définissant la droite à
+l'infini).  L'idéal qu'elles engendrent est donc aussi celui engendré
+par $T=0$ et $X^2 + Y^2 = 0$ (autrement dit, on peut remplacer $T$
+par $0$ dans l'équation ($*$)).  Sur les complexes (où l'équation $X^2
++ Y^2 = 0$ se factorise en $(X+iY)(X-iY) = 0$, donc réunion de deux
+droites complexes conjuguées), on obtient les deux points conjugués $I
+:= (0{:}1{:}i)$ et $J := (0{:}1{:}-i)$ (ce sont bien sûr les mêmes que
+$I = (0{:}i{:}-1)$ et $J = (0{:}i{:}1)$ respectivement, ou toutes
+sortes d'autres manières de les écrire).
+
+Ces points (\emph{points cycliques}) ne dépendent pas du cercle dont
+on est parti.  Il est donc légitime de dire que tous les cercles
+passent par deux mêmes points géométriques $I,J$ situés à l'infini
+(points à l'infini de pente $i$ et $-i$ respectivement), même si c'est
+un léger abus d'identifier le cercle euclidien avec le complété
+projectif qu'on a pris.
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+L'idéal $I$ de $\mathbb{C}[x,y]$ engendré par $xy,y^2$ est-il
+radical ?  Si non, calculer $\sqrt{I}$.  (On pourra chercher à savoir
+quel est $Z(I) \subseteq \mathbb{A}^2$.)
+
+\begin{corrige}
+On peut soit raisonner algébriquement, soit raisonner géométriquement.
+
+Le raisonnement algébrique est le suivant.  On a $y \not\in I$ car $y$
+ne peut pas s'écrire sous la forme $g xy + h y^2$ comme on le voit en
+considérant le terme en $y$ dans ce produit ; pourtant, $y^2 \in I$ :
+ceci montre que $I$ n'est pas radical.  Le radical $\sqrt{I}$ doit
+contenir $y$ (puisqu'une certaine puissance $y^2$ de $y$ appartient
+à $I$), autrement dit, $\sqrt{I} \supseteq (y)$.  Mais par ailleurs on
+a $(y) \supseteq I$ car les générateurs de $I$ sont tous dans $(y)$.
+Or $(y)$ est un idéal radical (car le quotient $\mathbb{C}[x,y]/(y) =
+\mathbb{C}[x]$ est un anneau de polynômes sur un corps, donc intègre,
+et notamment réduit) ; bref, $(y)$ est un idéal radical contenant $I$,
+mais comme le radical de $I$ est le \emph{plus petit} idéal radical
+contenant $I$, on a $(y) \supseteq \sqrt{I}$.  Bref, on a $\sqrt{I} =
+(y)$.
+
+Faisons maintenant le raisonnement géométrique.  L'ensemble $Z(I)$ des
+$(x,y) \in \mathbb{C}^2$ tels que $xy=0$ et $y^2=0$ coïncide
+manifestement avec la droite $y=0$ : en effet, $y=0$ implique $xy=0$
+et $y^2=0$, mais réciproquement, $y^2=0$ implique $y=0$.  Donc $Z(I)
+:= Z(xy,y^2) = Z(y)$ est l'axe des abscisses $\{y=0\}$, que nous
+noterons désormais $D$.  L'idéal $\mathfrak{I}(D)$ des polynômes
+s'annulant sur $D$ est radical (comme $\mathfrak{I}$ de quelque chose)
+et il vaut $(y)$ (la restriction du polynôme à $D$ revient à oublier
+les termes en $y$).  C'est donc que $I$ n'est pas radical (le
+Nullstellensatz fort assure qu'il n'y a qu'un seul idéal radical $J$
+qui puisse vérifier $Z(J) = D$, à savoir $\mathfrak{I}(D)$).  Mais on
+peut a mieux : $\mathfrak{I}(D)$ est le plus petit idéal radical
+contenant $I$ (puisque $I \subseteq J$ implique $D = Z(I) \supseteq
+Z(J)$ donc $\mathfrak{I}(D) \subseteq \mathfrak{I}(Z(J))$ c'est-à-dire
+$\mathfrak{I}(D) \subseteq J$ si $J$ est radical par le
+Nullstellensatz) ; bref, $\sqrt{I} = \mathfrak{I}(D) = (y)$.
+\end{corrige}
+
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+\end{document}