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@@ -125,18 +125,54 @@ dans $\mathbb{P}^2$ de coordonnées $(x{:}y{:}z)$ sur $k$.
 y^3 + z^3$, n'ont pas de zéro commun dans $\mathbb{P}^2$.  On rappelle
 que ceci nous permet de conclure que $C$ est une courbe (plane).
 
+\begin{corrige}
+On a $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2$, $\frac{\partial
+  f}{\partial y} = 3y^2$ et $\frac{\partial f}{\partial z} = 3z^2$.
+Si ces trois valeurs s'annulent, comme le corps était supposé de
+caractéristique $\neq 3$, on a $x=y=z=0$, ce qui est impossible pour
+des coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^2$.
+
+On a donc montré que $f=0$ définit une courbe plane (lisse !).
+\end{corrige}
+
 (2) Quels sont les points géométriques de $C$ situés la droite
 $\{z=0\}$ ?  On pourra noter $\omega$ une racine primitive cubique de
 l'unité dans la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$.  Par symétrie,
 on donnera aussi les points géométriques de $C$ sur les droites
 $\{x=0\}$ et $\{y=0\}$.
 
+\begin{corrige}
+Si un point géométrique $(x{:}y{:}z)$ de $C$ vérifie de plus $z=0$,
+alors il vérifie $x^3 + y^3 = 0$.  On ne peut pas aussi avoir $x=0$
+car ceci forcerait $y=0$ ce qui n'est pas possible : on a donc
+$(-\frac{y}{x})^3 = 1$, c'est-à-dire que $-\frac{y}{x}$ est l'une des
+trois racines cubiques de l'unité $1,\omega,\omega^2$.  Bref, les
+trois points de $C$ sur la droite $\{z=0\}$ sont $(1{:}-1{:}0)$,
+$(1{:}-\omega{:}0)$ et $(1{:}-\omega^2{:}0)$.  Symétriquement, les
+trois points de $C$ sur la droite $\{x=0\}$ sont $(0{:}1{:}-1)$,
+$(0{:}1{:}-\omega)$ et $(0{:}1{:}-\omega^2)$, et les trois points de
+$C$ sur la droite $\{x=0\}$ sont $(-1{:}0{:}1)$, $(-\omega{:}0{:}1)$
+et $(-\omega^2{:}0{:}1)$.  Notons que chacun de ces neuf points peut
+se réécrire de diverses manières, par exemple les trois derniers
+s'écrivent aussi $(1{:}0{:}-1{:})$, $(1{:}0{:}-\omega^2)$ et
+$(1{:}0{:}-\omega)$ respectivement.
+\end{corrige}
+
 (3) Quelle est l'équation affine de la partie de $C$ située dans
 l'espace affine $\mathbb{A}^2$ complémentaire de la droite $\{z=0\}$
 dans $\mathbb{P}^2$ ?  On appellera $u,v$ les coordonnées affines sur
 ce $\mathbb{A}^2$, qu'on exprimera par rapport aux coordonnées
 homogènes $x,y,z$ sur $\mathbb{P}^2$.
 
+\begin{corrige}
+En posant $u = \frac{x}{z}$ et $v = \frac{y}{z}$, l'équation affine de
+$C$ s'écrit en déshomogénéisant l'équation projective, c'est-à-dire :
+\[
+u^3 + v^3 + 1 = 0
+\]
+\vskip-3ex\leavevmode
+\end{corrige}
+
 (4) Calculer la droite tangente à $C$ au point $(0{:}-1{:}1)$.  Quel
 est l'ordre d'annulation la fonction $\frac{x}{z}$ en ce point ?  En
 déduire quel est l'ordre d'annulation de la fonction $\frac{y}{z}+1$
@@ -144,10 +180,65 @@ en ce point.  (On recommande de faire les calculs dans $\mathbb{A}^2$,
 et éventuellement de faire une translation pour se ramener à l'origine
 de $\mathbb{A}^2$.)
 
+\begin{corrige}
+Utilisons les coordonnées affines $(u,v) = (\frac{x}{z}, \frac{y}{z})$
+décrites à la question (3) pour trouver l'équation de la droite
+tangente à $C$ au point $(0,-1)$.  Elles s'obtient en dérivant
+l'équation $u^3 + v^3 + 1$ de la partie affine de $C$ en ce point, ce
+qui donne $-3(v+1) = 0$, c'est-à-dire $v=1$.  Autrement dit, il s'agit
+de la droite horizontale par le point $(0,-1)$ considéré.
+
+La coordonnée $v$ s'annulant à l'ordre $1$ en $0$ sur la droite $v=1$
+tangente à $C$, elle s'annule aussi à l'ordre $1$ en $0$ sur $C$,
+c'est-à-dire $\ord_{(0,-1)}u = 1$.
+
+Pour ce qui est de l'ordre de $v+1$ en ce point, on utilise le fait
+que $v^3+1 = (v+1)(v^2-v+1) = -u^3$ s'annule à l'ordre $3$ comme on
+vient de le voir.  Comme $v^2-v+1$ ne s'annule pas, c'est que $v+1$
+s'annule à l'ordre $3$.  (Ceci est peut-être plus intuitif en
+translatant, c'est-à-dire en posant $v' = v+1$ : l'équation de la
+courbe est alors $u^3 + v^{\prime3} - 3v^{\prime2} + v' = 0$, et comme
+$u^3$ a l'ordre $3$ et que $v'$ a un ordre au moins $1$, cet ordre
+doit être exactement $3$.)
+\end{corrige}
+
 (5) Quels sont les diviseurs principaux associés aux fonctions
 rationnelles $\frac{x}{z}$ et $\frac{y}{z}+1$ sur $C$ ?  On vérifiera
 que le degré est bien ce qu'il doit être.
 
+\begin{corrige}
+On a vu que la fonction rationnelle $\frac{x}{z}$ s'annule exactement
+aux points $(0{:}1{:}-1)$, $(0{:}1{:}-\omega)$ et
+$(0{:}1{:}-\omega^2)$, et à chaque fois c'est à l'ordre $1$ (la
+question précédente le donne pour le premier de ces points, mais pour
+les deux autres on peut par exemple appliquer la transformation
+projective multipliant la coordonnée $z$ par $\omega$, qui laisse
+invariante la courbe $C$).  Son inverse $\frac{z}{x}$ s'annule
+exactement aux trois points $(1{:}-1{:}0)$, $(1{:}-\omega{:}0)$ et
+$(1{:}-\omega^2{:}0)$, là aussi à l'ordre $1$ à chaque fois, par
+permutation des coordonnées.  Le diviseur de la fonction $\frac{x}{z}$
+est donc
+\[
+\begin{aligned}
+& [(0{:}1{:}-1)] + [(0{:}1{:}-\omega)] +
+  [(0{:}1{:}-\omega^2)]\\
+-\, & [(1{:}-1{:}0)] - [(1{:}-\omega{:}0)] -
+  [(1{:}-\omega^2{:}0)]
+\end{aligned}
+\]
+Son degré vaut bien $0$ comme il sied à un diviseur principal.  Quant
+à $\frac{y}{z}+1$, ses pôles sont les mêmes que ceux de $\frac{y}{z}$,
+qui sont eux mêmes les mêmes que ceux de $\frac{x}{z}$ pour les mêmes
+raisons que cei-dessus, et l'unique zéro, triple, de $\frac{y}{z}+1$ a
+été révélé à la question (4): bref, le diviseur de $\frac{y}{z}+1$ est
+\[
+3\cdot [(0{:}1{:}-1)]
+- [(1{:}-1{:}0)] - [(1{:}-\omega{:}0)] -
+  [(1{:}-\omega^2{:}0)]
+\]
+De nouveau, il est bien de degré $0$.
+\end{corrige}
+
 
 %
 %
@@ -155,7 +246,7 @@ que le degré est bien ce qu'il doit être.
 
 \exercice
 
-Soit $K = k(C)$ le corps de fonctions\footnote{I.e., le corps des
+\label{equation-with-no-solutions}Soit $K = k(C)$ le corps de fonctions\footnote{I.e., le corps des
 fonctions rationnelles sur $C$.} d'une courbe $C$ sur un corps $k$.
 Soit $P$ un point géométrique de $C$.  Pour $f \in K$, on notera $v(f)
 := \ord_P(f)$ l'ordre d'annulation de $f$ en $P$ (aussi appelé
@@ -202,16 +293,24 @@ valuation \emph{strictement plus petite} que tous les autres, alors la
 somme n'est pas nulle.
 
 \begin{corrige}
-On remarque que si $x \in K^\times$, alors $v(x^d) = d\,v(x)$ est un
-multiple de $d$.  Par conséquent, $v(z^i x^d) = i + d\,v(x)$ est
-congru à $i$ modulo $d$.  Par conséquent, dans la somme $x_0^d + z
-x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d$, il est impossible que
-deux termes aient la même valuation (puisqu'elles sont congrues à des
-valeurs différentes modulo $d$) sauf si cette valuation est $\infty$,
-c'est-à-dire que les termes sont nuls.  Donc dès lors que tous les
-termes ne sont pas nuls, il y en a un qui a une valuation
-\emph{strictement} plus petite que tous les autres.  La somme ne peut
-pas être nulle, ce qui prouve le résultat voulu.
+Commençons par montrer l'affirmation du dernier paragraphe : si $g_1 +
+\cdots + g_m$ est une somme où $v(g_i) < v(g_j)$ pour tout $j\neq i$,
+alors $v(g_i) < v(g')$ où $g' := \sum_{j\neq i} g_j$ d'après la
+propriété sur la valuation d'une somme, et celle-ci entraîne alors que
+la valuation de la somme $g_i + g'$ est égale à celle de $g_i$, donc
+n'est pas $+\infty$.
+
+Passons à la question principale.  On remarque que si $x \in
+K^\times$, alors $v(x^d) = d\,v(x)$ est un multiple de $d$.  Par
+conséquent, $v(z^i x^d) = i + d\,v(x)$ est congru à $i$ modulo $d$.
+Par conséquent, dans la somme $x_0^d + z x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots +
+z^{d-1} x_{d-1}^d$, il est impossible que deux termes aient la même
+valuation (puisqu'elles sont congrues à des valeurs différentes
+modulo $d$) sauf si cette valuation est $+\infty$, c'est-à-dire que
+les termes sont nuls.  Donc dès lors que tous les termes ne sont pas
+nuls, il y en a un qui a une valuation \emph{strictement} plus petite
+que tous les autres.  La somme ne peut pas être nulle d'après ce qui
+vient d'être démontré, ce qui prouve le résultat voulu.
 \end{corrige}
 
 
@@ -239,19 +338,20 @@ le zéro trivial $(0,\ldots,0)$.
 
 Soit maintenant $k$ un corps \emph{algébriquement clos}, et soit $K$
 le corps de fonctions d'une courbe $C$ sur $k$ (dans les questions
-(1) et (2), on supposera même que cette courbe est $\mathbb{P}^1$).
+(1) et (2), on supposera d'ailleurs que cette courbe
+est $\mathbb{P}^1$).
 
 \smallskip
 
 On considère $f \in K[t_0,\ldots,t_n]$ un polynôme \emph{homogène} en
-les indéterminées $t_0,\ldots,t_n$ dont le degré total $d$ vérifie $0
-< d \leq n$.  Le but de l'exercice est de montrer que la variété
-algébrique projective $Z_{\mathbb{P}^n}(f)$ définie dans
-$\mathbb{P}^n$ de coordonnées homogènes $(x_0{:}\cdots{:}x_n)$ par
-l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$, a un $K$-point, c'est-à-dire que
-l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution avec
-$(x_0,\ldots,x_n$ dans $K$ qui soit non-triviale, i.e. différente
-de $(0,\ldots,0)$.
+les indéterminées $t_0,\ldots,t_n$ dont le degré total $d$ vérifie
+$1\leq d \leq n$.  Le but de l'exercice est de montrer\footnote{Ce
+résultat s'appelle le théorème de Tsen.} que la variété algébrique
+projective $Z_{\mathbb{P}^n}(f)$ définie dans $\mathbb{P}^n$ de
+coordonnées homogènes $(x_0{:}\cdots{:}x_n)$ par l'équation
+$f(x_0,\ldots,x_n) = 0$, a un $K$-point, c'est-à-dire que l'équation
+$f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution avec $x_0,\ldots,x_n$ dans $K$
+qui soit non-triviale, i.e. différente de $(0,\ldots,0)$.
 
 \smallbreak
 
@@ -259,9 +359,9 @@ de $(0,\ldots,0)$.
 égal au corps $k(z)$ des fractions rationnelles en une
 indéterminée $z$, et on suppose de plus que $f$, qui \textit{a priori}
 vit dans $k(z)[t_0,\ldots,t_n]$, est en fait dans
-$k[z,t_0,\ldots,t_n]$ (et toujours de degré $0<d\leq n$ en
-$t_0,\ldots,t_n$).  On cherche une solution $(x_0,\ldots,x_n)$ de
-$f(x_0,\ldots,x_n) = 0$, où les $x_i$ soient dans $k[z]$ (et non tous
+$k[z,t_0,\ldots,t_n]$ (et toujours de degré total $1\leq d\leq n$ en
+$t_0,\ldots,t_n$).  On recherche une solution $(x_0,\ldots,x_n)$ de
+$f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ où les $x_i$ soient dans $k[z]$ (et non tous
 nuls).  On va écrire $x_i = \sum_{j=0}^N c_{i,j} z^j$ où les $c_{i,j}
 \in k$ sont des coefficients indéterminés et où $N$ est un entier.
 
@@ -371,11 +471,14 @@ Lorsque $w \in K$, on notera $\mathbf{M}(w)$ la matrice $\ell\times
 une application $K_0$-linéaire du $K_0$-espace vectoriel $K$ de
 dimension $\ell$), sur la base $e_1,\ldots,e_\ell$, et on notera
 $\norm(w) := \det(\mathbf{M}(w))$ son déterminant (c'est donc un
-élément de $K_0$).\spaceout (a) Expliquer pourquoi $\mathbf{M}(ww') =
-\mathbf{M}(w)\, \mathbf{M}(w')$ si $w,w'\in K$, pourquoi $\norm(ww') =
-\norm(w)\, \norm(w')$, et pourquoi $\norm(w) = 0$ si et seulement
-si $w=0$.\spaceout (b) Expliquer pourquoi si $w = \sum_{j=1}^\ell w_j
-e_j$ avec $w_j \in K_0$, alors les coefficients de $\mathbf{M}(w)$
+élément de $K_0$).
+
+\phantom{(3)}(a) Expliquer pourquoi $\mathbf{M}(ww') = \mathbf{M}(w)\,
+\mathbf{M}(w')$ si $w,w'\in K$, pourquoi $\norm(ww') = \norm(w)\,
+\norm(w')$, et pourquoi $\norm(w) = 0$ si et seulement si $w=0$.
+
+\phantom{(3)}(b) Expliquer pourquoi si $w = \sum_{j=1}^\ell w_j e_j$
+avec $w_j \in K_0$, alors les coefficients de $\mathbf{M}(w)$
 s'écrivent comme des combinaisons $K_0$-linéaires des $w_j$, et
 pourquoi $\norm(w)$ s'écrit comme un polynôme homogène de degré $\ell$
 en $w_1,\ldots,w_\ell$.
@@ -405,7 +508,7 @@ en $w_1,\ldots,w_\ell$.
 (4) On suppose maintenant que $K$ est le corps de fonctions d'une
 courbe quelconque sur $k$.  On rappelle (ou on admet...) que, si $z$
 est élément non constant quelconque de $K$, alors $z$ est transcendant
-sur $k$, c'est-à-dire qu'on peut considérer $K_0 := k(z)$ corps le
+sur $k$, c'est-à-dire qu'on peut considérer $K_0 := k(z)$ comme le
 corps des fractions rationnelles en une indéterminée ; et que $K$ est
 alors une extension de corps de degré $\ell := [K : K_0]$ fini.
 
@@ -413,9 +516,9 @@ On reprend les notations $\mathbf{M}(w)$ et $\norm(w)$ de la
 question (3), en appelant $e_1,\ldots,e_\ell$ une base de $K$ comme
 $K_0$-espace vectoriel.
 
-Soit $f \in K[t_0,\ldots,t_n]$ (toujours de degré total $0<d\leq n$ en
-$t_0,\ldots,t_n$).  On va écrire $x_i = \sum_{j=1}^\ell x_{i,j} e_j$
-où les $x_{i,j} \in K_0$ sont des coefficients indéterminés.
+Soit $f \in K[t_0,\ldots,t_n]$ (toujours de degré total $1\leq d\leq
+n$ en $t_0,\ldots,t_n$).  On va écrire $x_i = \sum_{j=1}^\ell x_{i,j}
+e_j$ où les $x_{i,j} \in K_0$ sont des coefficients indéterminés.
 Expliquer pourquoi la condition $\norm(f(x_0,\ldots,x_n)) = 0$ se
 traduit sous la forme d'une équation algébrique homogène de degré $d
 \ell$ en $(n+1) \ell$ indéterminées.  En déduire qu'elle a une
@@ -458,6 +561,26 @@ $\norm(f(x_0,\ldots,x_n))$ équivaut à l'annulation de tous les $x_i$
 $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution non-triviale dans $K$.
 \end{corrige}
 
+\smallbreak
+
+(5) Que nous dit la conclusion de
+l'exercice \ref{equation-with-no-solutions} par rapport à celle du
+présent exercice concernant les points d'une hypersurface définie par
+un polynôme homogène de degré $1\leq d\leq n$ dans $\mathbb{P}^n$ sur
+le corps des fonctions $K$ d'une courbe sur un corps $k$
+algébriquement clos ?
+
+\begin{corrige}
+On vient de démontrer que si $K$ est le corps de fonctions d'une
+courbe sur un corps algébriquement clos $k$, alors toute hypersurface
+définie par un polynôme homogène de degré $1\leq d\leq n$ dans
+$\mathbb{P}^n$ a un $K$-point.  La conclusion de
+l'exercice \ref{equation-with-no-solutions} est que ce n'est pas le
+cas pour $n = d-1$, et comme par ailleurs c'est aussi trivialement
+faux pour $d=0$, les inégalités $1\leq d\leq n$ ne peuvent pas être
+améliorées.
+\end{corrige}
+
 
 
 %