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+++ b/controle-20220413.tex
@@ -67,7 +67,7 @@
 \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
 \fi
 \author{}
-\date{14 avril 2021}
+\date{13 avril 2022}
 \maketitle
 
 \pretolerance=8000
@@ -81,12 +81,12 @@ Les exercices sont totalement indépendants.  Ils pourront être traités
 dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
 très visible dans les copies où commence chaque exercice.
 
-La longueur du sujet ne doit pas effrayer : l'énoncé est long parce
-que des rappels ont été faits et que la rédaction des questions
-cherche à éviter toute ambiguïté.  Les réponses attendues sont
-généralement beaucoup plus courtes que les questions elles-mêmes.
+La longueur du sujet ne doit pas effrayer : l'énoncé du dernier
+exercice est long parce que beaucoup de rappels ont été faits et que
+la rédaction des questions cherche à donner tous les éléments
+nécessaires pour passer d'une question aux suivantes.
 
-La difficulté des questions étant varié, il vaut mieux ne pas rester
+La difficulté des questions étant variée, il vaut mieux ne pas rester
 bloqué trop longtemps.
 
 Si on ne sait pas répondre rigoureusement, une réponse informelle peut
@@ -209,8 +209,13 @@ algébriquement clos pour simplifier.  Soient $\xi_1,\ldots,\xi_5 \in
 k$ deux à deux distincts : on appelle $p(x) = (x-\xi_1)\cdots(x-\xi_5)
 \in k[x]$ le polynôme unitaire ayant les $\xi_i$ pour racines.  On
 appelle $C^+$ la courbe (dite « hyperelliptique ») obtenue en ajoutant
-un point à l'infini noté $\infty$ à la variété algébrique affine $C$
-d'équation $y^2 = p(x)$ dans $\mathbb{A}^2$.
+un point à l'infini\footnote{Pour être tout à fait exact, il ne s'agit
+  pas de la complétée projective de $C$ dans $\mathbb{P}^2$, mais
+  d'une « désingularisation » de celle-ci (qui a cependant un unique
+  point en plus de ceux de $C$ comme la complétée projective).  Les
+  questions qui suivent ont été rédigées de manière à ce que cette
+  subtilité ne pose pas de problème.} noté $\infty$ à la variété
+algébrique affine $C$ d'équation $y^2 = p(x)$ dans $\mathbb{A}^2$.
 
 On admettra sans justification les faits suivants :
 \begin{itemize}
@@ -226,10 +231,10 @@ On admettra sans justification les faits suivants :
   $p(x)$.
 \end{itemize}
 
-On rappelle par ailleurs qu'on appelle \emph{valuation discrète} sur
-$K$ au-dessus de $k$ une fonction $v\colon K\to
-\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes :
-\textbf{(o)} $v(f) = \infty$ si et seulement si $f=0$,\quad
+On rappelle par ailleurs qu'une \emph{valuation discrète} sur $K$
+au-dessus de $k$ et une fonction $v\colon K\to
+\mathbb{Z}\cup\{+\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes :
+\textbf{(o)} $v(f) = +\infty$ si et seulement si $f=0$,\quad
 \textbf{(i)} $v(f_1 + f_2) \geq \min(v(f_1), v(f_2))$ (avec
 automatiquement l'égalité lorsque $v(f_1) \neq v(f_2)$),\quad
 \textbf{(ii)} $v(f_1 f_2) = v(f_1) + v(f_2)$,\quad \textbf{(k)} $v(c)
@@ -259,12 +264,12 @@ où $\val_{x_0}(g)$ est l'ordre d'annulation\footnote{C'est-à-dire que
   $x-x_0$ qui divise $g$ si $g \in k[x]$, et $\val_{x_0}(g/h) =
   \val_{x_0}(g) - \val_{x_0}(h)$ en général.} de la fraction
 rationnelle $g$ en $x_0$, et $\val_\infty(g)$ est le degré du
-dénominateur moins le degré du numérateur.  (NB : c'est pour éviter la
-confusion entre valuations sur $K$ et sur $k(x)$ qu'on a écrit
-$\ord_P$ pour l'ordre d'annulation d'une fonction sur $C^+$ en un
-point $P$ de $C^+$ et $\val_Q$ pour l'ordre d'annulation d'une
+dénominateur moins le degré du numérateur.  (NB : c'est seulement pour
+éviter la confusion entre valuations sur $K$ et sur $k(x)$ qu'on a
+écrit $\ord_P$ pour l'ordre d'annulation d'une fonction sur $C^+$ en
+un point $P$ de $C^+$ et $\val_Q$ pour l'ordre d'annulation d'une
 fonction sur $\mathbb{P}^1$ en un point $Q$ de $\mathbb{P}^1$.  Il
-s'agit du même type d'objet sur deux courbes différentes.)
+s'agit de la même construction sur deux courbes différentes.)
 
 \smallbreak
 
@@ -300,8 +305,8 @@ $\sum_{Q\in C^+} \ord_Q(h) = 0$, montrer que $\ord_Q(x-x_Q) =
 \ord_{Q'}(x-x_Q) = 1$.  En déduire que $\ord_Q(g) = \val_{x_Q}(g)$
 pour tout $g \in k(x)$.  En déduire que $\ord_Q(y - y_Q) = 1$ (on
 pourra remarquer que $y^2 - y_Q^2 = p(x) - p(x_Q)$ et que $p'(x_Q)
-\neq 0$).  Montrer que si $f := g_0 + g_1\,y \in K$ est régulière en
-$Q$ et en $Q'$, alors $g_0,g_1$ n'ont pas de pôle en $x_P$ (on pourra
+\neq 0$).  Montrer que si $f := g_0 + g_1\,y \in K$ n'a pas de pôle en
+$Q$ ni en $Q'$, alors $g_0,g_1$ n'ont pas de pôle en $x_P$ (on pourra
 écrire $g_0 = \frac{1}{2}(f+\tilde f)$ et $g_1 = \frac{1}{2y}(f-\tilde
 f)$ où $\tilde f = g_0 - g_1\,y$ est la composée de $f$ par la
 symétrie $(x,y) \mapsto (x,-y)$).
@@ -310,11 +315,12 @@ symétrie $(x,y) \mapsto (x,-y)$).
 
 (5) Pour $n \in \mathbb{N}$, on s'intéresse à l'espace vectoriel
 $\mathscr{L}(n[\infty])$ des fonctions rationnelles $f = g_0 + g_1\,y$
-sur $C^+$ ayant au plus un pôle d'ordre $n$ en $\infty$ (c'est-à-dire
-$\ord_\infty(f) \geq -n$) et aucun pôle ailleurs.  Montrer que cela
-équivaut à : $g_0 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n}{2}$ et
-$g_1 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n-5}{2}$.  En déduire que
-la dimension $\ell(n[\infty])$ de $\mathscr{L}(n[\infty])$ vaut
+sur $C^+$ ayant au plus un pôle d'ordre $\leq n$ en $\infty$
+(c'est-à-dire $\ord_\infty(f) \geq -n$) et aucun pôle ailleurs
+(c'est-à-dire $\ord_Q(f) \geq 0$ pour tout $Q \in C$).  Montrer que
+cela équivaut à : $g_0 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n}{2}$
+et $g_1 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n-5}{2}$.  En déduire
+que la dimension $\ell(n[\infty])$ de $\mathscr{L}(n[\infty])$ vaut
 $\max(0,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1) +
 \max(0,\lfloor\frac{n-5}{2}\rfloor+1)$ où $\lfloor v\rfloor$ désigne
 la partie entière de $v$.  En déduire que
@@ -328,7 +334,40 @@ n-1&\hbox{~si $n\geq 3$}\\
 \right.
 \]
 (on pourra par exemple calculer les valeurs pour $n=0,1,2,3,4,5$
-séparément et, pour $n\geq 5$, distinguer $n$ pair et $n$ impair).
+séparément et, pour $n\geq 5$, distinguer $n$ pair et $n$ impair).  On
+rappelle que le théorème de Riemann-Roch prédit $\ell(n[\infty]) = n +
+1 - g$ si $n$ est assez grand, où $g$ est le genre de la courbe : que
+vaut $g$ ici ?
+
+\smallbreak
+
+Pour la question suivante, on rappelle que la différentielle $df$
+d'une fonction $f$ a pour ordre $\ord_Q(df) = \ord_Q(f) - 1$ si
+$\ord_Q(f) \neq 0$, et $\ord_Q(df) \geq 0$ dès que $\ord_Q(f) \geq 0$.
+On rappelle par ailleurs que $f \mapsto df$ est $k$-linéaire et que
+$d(ff') = f\,df' + f'\,df$.
+
+\smallbreak
+
+(6) Calculer $\ord_Q(dx)$ en tout $Q \in C^+$ (y compris $\infty$ et
+les cinq points $P_1,\ldots,P_5$) ; on pourra remarquer que $d(x-c) =
+dx$.  En déduire que le diviseur canonique de $\omega := \frac{dx}{y}$
+vaut $2[\infty]$, c'est-à-dire que $\ord_Q(\omega) = 0$ en tout point
+$Q$ sauf $\ord_\infty(\omega) = 2$.  Le théorème de Riemann-Roch
+prédit plus exactement $\ell(n[\infty]) - \ell((2-n)[\infty])) = n + 1
+- g$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ : vérifier directement cette
+affirmation à l'aide du résultat calculé à la question (5).
+
+\smallbreak
+
+(7) Aux questions (2) et (3), on a calculé exactement $\ord_Q(f)$
+(pour $f$ quelconque, écrit sous la forme $g_0 + g_1 y$) si $Q$ est
+l'un des six points $P_1,\ldots,P_5,\infty$, en calculant séparément
+$\ord_Q(g)$ si $g\in k(x)$ et $\ord_Q(y)$.  À la question (4), on a
+étudié $\ord_Q$ pour un quelconque autre point, on a calculé
+$\ord_Q(g)$ et $\ord_Q(y - y_Q)$.  Ceci permet-il de calculer
+$\ord_Q(f)$ en général ?  Si non, donner un exemple de fonction $f \in
+K$ dont le calcul ne découle pas de ces valeurs.