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index 1d76aa3..dfb7bec 100644
--- a/controle-20220413.tex
+++ b/controle-20220413.tex
@@ -34,6 +34,7 @@
 \newcommand{\id}{\operatorname{id}}
 \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
 \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
+\newcommand{\val}{\operatorname{val}}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
@@ -236,10 +237,99 @@ automatiquement l'égalité lorsque $v(f_1) \neq v(f_2)$),\quad
 que $v(f) = 1$.  De plus, on rappelle que pour chaque point $P$
 de $C^+$ il existe une unique telle valuation discrète $v =: \ord_P$
 vérifiant en outre \textbf{(r)} $v(f) \geq 0$ si $f$ est régulière
-en $P$ (et automatiquement, $v(f) > 0$ si $f$ s'annule en $P$) ; et
+en $P$ (et automatiquement, $v(f) > 0$ si $f$ s'annule en $P$).  Et
 réciproquement, toute valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$ est
 de cette forme (est un $\ord_P$ pour un certain $P$).
 
+\smallbreak
+
+(1) Si $v$ est une valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$,
+expliquer pourquoi sa restriction à $k(x)$ vérifie encore les
+propriétés (o), (i), (ii) et (k) de la définition d'une valuation
+discrète.  En déduire qu'elle est de la forme $e\cdot v'$ où $v'$ est
+une valuation discrète de $k(x)$ au-dessus de $k$, et où $e\geq 1$ est
+entier.
+
+\smallbreak
+
+On rappelle que toute valuation discrète de $k(x)$ au-dessus de $k$
+est de la forme $\val_{x_0}$ pour $x_0 \in k$ ou bien $\val_\infty$,
+où $\val_{x_0}(g)$ est l'ordre d'annulation\footnote{C'est-à-dire que
+  $\val_{x_0}(g)$ est l'exposant de la plus grande puissance de
+  $x-x_0$ qui divise $g$ si $g \in k[x]$, et $\val_{x_0}(g/h) =
+  \val_{x_0}(g) - \val_{x_0}(h)$ en général.} de la fraction
+rationnelle $g$ en $x_0$, et $\val_\infty(g)$ est le degré du
+dénominateur moins le degré du numérateur.  (NB : c'est pour éviter la
+confusion entre valuations sur $K$ et sur $k(x)$ qu'on a écrit
+$\ord_P$ pour l'ordre d'annulation d'une fonction sur $C^+$ en un
+point $P$ de $C^+$ et $\val_Q$ pour l'ordre d'annulation d'une
+fonction sur $\mathbb{P}^1$ en un point $Q$ de $\mathbb{P}^1$.  Il
+s'agit du même type d'objet sur deux courbes différentes.)
+
+\smallbreak
+
+(2) Soit $P_i$ le point $(\xi_i,0)$ de $C$ (pour $1\leq i\leq 5$
+fixé).  On cherche à calculer $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y)$.  Montrer que
+$\ord_{P_i}(g) = e\, \val_{\xi_i}(g)$ si $g\in k(x)$, où $e\geq 1$ est
+un entier restant à déterminer.  En déduire que $\ord_{P_i}(y) =
+\frac{e}{2}$.  En déduire que $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y) =
+e\,\min(\val_{\xi_i}(g_0),\; \val_{\xi_i}(g_1)+\frac{1}{2})$.  En
+déduire que $e=2$ exactement, et donc que $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y) =
+\min(2\val_{\xi_i}(g_0),\; 2\val_{\xi_i}(g_1)+1)$.
+
+\smallbreak
+
+(3) Soit $\infty$ le point à l'infini de $C^+$ (non situé sur $C$).
+On cherche à calculer $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y)$ de façon analogue à
+la question précédente.  Montrer que $\ord_\infty(g) = e\,
+\val_\infty(g)$ si $g\in k(x)$, où $e\geq 1$ est un entier restant à
+déterminer (\textit{a priori} sans lien avec celui de la question
+précédente).  En déduire que $\ord_\infty(y) = -\frac{5e}{2}$.  En
+déduire que $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y) = e\,\min(\val_\infty(g_0),\;
+\val_\infty(g_1)-\frac{5}{2})$.  En déduire que $e=2$ exactement, et
+donc que $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y) = \min(2\val_\infty(g_0),\;
+2\val_\infty(g_1)-5)$.
+
+\smallbreak
+
+(4) Soit $Q := (x_Q,y_Q)$ un point de $C$ avec $y_Q \neq 0$ (ou, ce
+qui revient au même, $x_Q \not\in \{\xi_1,\ldots,\xi_5\}$) ; on notera
+$Q' := (x_Q,-y_Q)$ son symétrique.  En quels points de $C^+$ la
+fonction $h := x - x_Q$ a-t-elle un zéro ?  En utilisant le fait que
+$\sum_{Q\in C^+} \ord_Q(h) = 0$, montrer que $\ord_Q(x-x_Q) =
+\ord_{Q'}(x-x_Q) = 1$.  En déduire que $\ord_Q(g) = \val_{x_Q}(g)$
+pour tout $g \in k(x)$.  En déduire que $\ord_Q(y - y_Q) = 1$ (on
+pourra remarquer que $y^2 - y_Q^2 = p(x) - p(x_Q)$ et que $p'(x_Q)
+\neq 0$).  Montrer que si $f := g_0 + g_1\,y \in K$ est régulière en
+$Q$ et en $Q'$, alors $g_0,g_1$ n'ont pas de pôle en $x_P$ (on pourra
+écrire $g_0 = \frac{1}{2}(f+\tilde f)$ et $g_1 = \frac{1}{2y}(f-\tilde
+f)$ où $\tilde f = g_0 - g_1\,y$ est la composée de $f$ par la
+symétrie $(x,y) \mapsto (x,-y)$).
+
+\smallbreak
+
+(5) Pour $n \in \mathbb{N}$, on s'intéresse à l'espace vectoriel
+$\mathscr{L}(n[\infty])$ des fonctions rationnelles $f = g_0 + g_1\,y$
+sur $C^+$ ayant au plus un pôle d'ordre $n$ en $\infty$ (c'est-à-dire
+$\ord_\infty(f) \geq -n$) et aucun pôle ailleurs.  Montrer que cela
+équivaut à : $g_0 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n}{2}$ et
+$g_1 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n-5}{2}$.  En déduire que
+la dimension $\ell(n[\infty])$ de $\mathscr{L}(n[\infty])$ vaut
+$\max(0,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1) +
+\max(0,\lfloor\frac{n-5}{2}\rfloor+1)$ où $\lfloor v\rfloor$ désigne
+la partie entière de $v$.  En déduire que
+\[
+\ell(n[\infty]) =
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+1,1,2&\hbox{~si $n=0,1,2$ respectivement}\\
+n-1&\hbox{~si $n\geq 3$}\\
+\end{array}
+\right.
+\]
+(on pourra par exemple calculer les valeurs pour $n=0,1,2,3,4,5$
+séparément et, pour $n\geq 5$, distinguer $n$ pair et $n$ impair).
+
 
 
 %