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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2017-04-17 17:45:30 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2017-04-17 17:45:30 (GMT)
commit9e5a15aa342550483269b015ab7a3531b363d093 (patch)
tree80060d7b41a7a9091375255154555dee7da81ee6
parent5855c75a4226ba4c5d4c562ffab5f6f03f04bcac (diff)
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Clarify proof that was typo-ridden and arguably incorrect.
-rw-r--r--notes-accq205.tex21
1 files changed, 11 insertions, 10 deletions
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index 252f857..5736492 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -4698,16 +4698,17 @@ Supposons l'inégalité vérifiée pour certains $r_j$ et montrons qu'elle
l'est encore quand on remplace l'un d'entre eux, disons $r_i$,
par $r'_i := r_i+1$, avec $r'_j = r_j$ si $j\neq i$. Soit $L'$
l'espace correspondant (défini de la même façon que $L$ mais avec
-les $r'_j$). Soit $z$ tel que $v_j(z) = r_j+1$. Alors pour $f \in
-L'$ on a $v_j(fz) \geq 0$, c'est-à-dire $fz \in \mathcal{O}_i$, et de
-plus $fz \in \mathfrak{m}_i$ se produit exactement lorsque
-$v_j(fz)\geq 1$ c'est-à-dire que $f \in L$. On a donc défini une
-application $k$-linéaire $L'\to\varkappa_i$ envoyant $f$ sur la classe
-de $fz \in \mathcal{O}_i$ modulo $\mathfrak{m}_i$, dont le noyau
-est $L$. En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) +
-\dim_k(L) \leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n r'_i\, \deg(v_i)$, ce qui
-conclut la récurrence ; et on a bien montré l'affirmation commençant
-par « plus exactement ».
+les $r'_j$) ; il est trivial que $L \subseteq L'$. Soit $z \in K$ tel
+que $v_i(z) = r'_i = r_i+1$ (on n'impose pas de contrainte aux autres
+places). Alors pour $f \in L'$ on a $v_i(fz) \geq 0$, c'est-à-dire
+$fz \in \mathcal{O}_i$, et de plus $fz \in \mathfrak{m}_i$ se produit
+exactement lorsque $v_i(fz)\geq 1$ c'est-à-dire que $f \in L$. On a
+donc défini une application $k$-linéaire $L'\to\varkappa_i$ envoyant
+$f$ sur la classe de $fz \in \mathcal{O}_i$ modulo $\mathfrak{m}_i$,
+dont le noyau est $L$. En particulier, $\dim_k(L') \leq
+\dim_k(\varkappa_i) + \dim_k(L) \leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n
+r'_i\, \deg(v_i)$, ce qui conclut la récurrence ; et on a bien montré
+l'affirmation commençant par « plus exactement ».
\end{proof}
\begin{thm}[« identité du degré »]\label{degree-identity}