Relative open and closed sets, and remark on relative Nullstellensatz, etc.

1 files changed, 85 insertions, 32 deletions

diff --git a/notes-accq205-v2.tex b/notes-accq205-v2.tex
index 109f87c..ee24269 100644
--- a/notes-accq205-v2.tex
+++ b/notes-accq205-v2.tex
@@ -907,7 +907,7 @@ $f(x_1,\ldots,x_d)$.  On dit que $x$ est un zéro de $f$ lorsque $f(x)
 = 0$.
 
 %
-\subsection{Correspondance entre fermés de Zariski et idéaux}
+\subsection{Correspondance entre fermés de Zariski et idéaux}\label{subsection-zariski-closed-sets-and-ideals}
 
 \textbf{Comment associer une partie de $k^d$ à un idéal de
   $k[t_1,\ldots,t_d]$ ?}
@@ -918,9 +918,9 @@ définit un ensemble $Z(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d
 autrement dit, l'ensemble des zéros communs à tous les éléments
 de $\mathscr{F}$.
 
-Lorsque $\mathscr{F}$ est un ensemble fini $\{f_1,\ldots,f_m\}$, on
-note simplement $Z(f_1,\ldots,f_m)$ cet ensemble de zéros communs à
-$f_1,\ldots,f_m$.
+Lorsque $\mathscr{F}$ est un ensemble fini $\{f_1,\ldots,f_r\}$, on
+note simplement $Z(f_1,\ldots,f_r)$ cet ensemble de zéros communs à
+$f_1,\ldots,f_r$.
 
 \thingy\label{trivial-remarks-on-z} Remarques évidentes : si
 $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors $Z(\mathscr{F}) \supseteq
@@ -1068,7 +1068,7 @@ proposition qu'on vient de voir, c'est un résultat qui a un vrai
 contenu mathématique.
 
 %
-\subsection{Le Nullstellensatz}
+\subsection{Le Nullstellensatz}\label{subsection-nullstellensatz}
 
 \thingy De l'allemand « der Satz » = la phrase, le théorème
 mathématique, « die Stelle » = l'endroit, et « die Nullstelle » = le
@@ -1152,24 +1152,24 @@ $Z(I) \neq \varnothing$.
 \end{proof}
 
 On peut aussi reformuler ce résultat de la façon suivante : remarquons
-au préalable que si $f_1,\ldots,f_m$ et $g_1,\ldots,g_m$ sont des
-polynômes en $d$ variables tels que $g_1 f_1 + \cdots + g_m f_m = 1$,
-alors $f_1,\ldots,f_m$ n'ont aucun zéro commun (car en un tel zéro le
+au préalable que si $f_1,\ldots,f_r$ et $g_1,\ldots,g_r$ sont des
+polynômes en $d$ variables tels que $g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r = 1$,
+alors $f_1,\ldots,f_r$ n'ont aucun zéro commun (car en un tel zéro le
 membre de gauche de l'égalité s'annulerait, mais le membre de droite y
 vaut $1$).
 
 \begin{prop}[Nullstellensatz faible]\label{weak-nullstellensatz-finite-rewording}
-Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos.  Si $f_1,\ldots,f_m \in
+Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos.  Si $f_1,\ldots,f_r \in
 k[t_1,\ldots,t_d]$ sont des polynômes en $d$ variables sans zéro
-commun, c'est-à-dire si $Z(f_1,\ldots,f_m) = \varnothing$, alors il
-existe $g_1,\ldots,g_m \in k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $g_1 f_1 +
-\cdots + g_m f_m = 1$, c'est-à-dire que $f_1,\ldots,f_m$ engendrent
+commun, c'est-à-dire si $Z(f_1,\ldots,f_r) = \varnothing$, alors il
+existe $g_1,\ldots,g_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $g_1 f_1 +
+\cdots + g_r f_r = 1$, c'est-à-dire que $f_1,\ldots,f_r$ engendrent
 l'idéal unité.
 \end{prop}
 \begin{proof}
-Soit $I$ l'idéal engendré par $f_1,\ldots,f_m$ : comme $Z(I) =
-Z(f_1,\ldots,f_m)$ (cf. \ref{trivial-remarks-on-z}), la
-proposition \ref{weak-nullstellensatz} montre que $Z(f_1,\ldots,f_m) =
+Soit $I$ l'idéal engendré par $f_1,\ldots,f_r$ : comme $Z(I) =
+Z(f_1,\ldots,f_r)$ (cf. \ref{trivial-remarks-on-z}), la
+proposition \ref{weak-nullstellensatz} montre que $Z(f_1,\ldots,f_r) =
 \varnothing$ implique que $I$ contient $1$, ce qui est bien la
 conclusion annoncée.
 \end{proof}
@@ -1220,11 +1220,11 @@ prouver.
 
 \thingy La moralité du Nullstellensatz est que (sur un corps
 algébriquement clos !) on peut « essentiellement » retrouver des
-équations polynomiales $f_1,\ldots,f_m$ à partir du lieu
-$Z(f_1,\ldots,f_m)$ de leurs solutions (le fermé de Zariski qu'elles
+équations polynomiales $f_1,\ldots,f_r$ à partir du lieu
+$Z(f_1,\ldots,f_r)$ de leurs solutions (le fermé de Zariski qu'elles
 définissent) : le « essentiellement » signifie que, à défaut de
-retrouver $f_1,\ldots,f_m$ eux-mêmes, on retrouve l'idéal radical
-qu'ils engendrent (si $f_1,\ldots,f_m$ engendrent un idéal radical, on
+retrouver $f_1,\ldots,f_r$ eux-mêmes, on retrouve l'idéal radical
+qu'ils engendrent (si $f_1,\ldots,f_r$ engendrent un idéal radical, on
 retrouve l'idéal en question).
 
 On peut maintenant utiliser le Nullstellensatz pour
@@ -1243,6 +1243,38 @@ $k[t_1,\ldots,t_d]$ (ils ont tous pour quotient $k$).
 \end{scho}
 
 %
+\subsection{Ouverts de Zariski et ouverts relatifs}
+
+\thingy Un \defin{ouvert de Zariski} de $k^d$ est par définition le
+complémentaire d'un fermé de Zariski.  De façon équivalente, si on
+note $D(f) := \{x \in k^d :\penalty0 f(x) \neq 0\}$, un ouvert de
+Zariski est un ensemble de la forme $D(f_1) \cap \cdots \cap D(f_r)$
+(en effet, tout idéal $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est engendré par un
+nombre fini d'éléments $f_1,\ldots,f_r$, et le complémentaire de $Z(I)
+= Z(f_1,\ldots,f_r)$ est alors $D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$).
+
+Les propriétés vues sur les fermés de Zariski
+(cf. \ref{basic-facts-on-zariski-closed-sets}) montrent, par passage
+au complémentaire que : (i) $\varnothing$ et $k^d$ sont des ouverts de
+Zariski, (ii) une réunion quelconque d'ouverts de Zariski est un
+ouvert de Zariski, et (iii) une intersection finie d'ouverts de
+Zariski est un ouvert de Zariski.  Ces propriétés sont constitutives
+de la notion de « topologie », et on appellera \defin{topologie de
+  Zariski} l'ensemble de tous les ouverts de Zariski.
+
+\thingy\label{relative-closed-and-open-sets} Si $X$ est une variété
+algébrique affine sur $k$ (= un fermé de Zariski dans $k^d$), on
+appelle \defin[fermé de Zariski]{fermé} ou \defin{ouvert de Zariski}
+\emph{de $X$} l'intersection de $X$ avec un fermé ou ouvert de Zariski
+de $k^d$.  (Cette définition générale porte le nom de \emph{topologie
+  induite} sur $X$ par la topologie de Zariski de $k^d$.)
+
+Ainsi, un fermé de Zariski de $X$ est simplement un fermé de Zariski
+inclus dans $X$, tandis qu'un ouvert de Zariski de $X$ est un ensemble
+de la forme $X \cap (D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r))$.  On parlera
+parfois d'ouvert \emph{relatif} dans $X$.
+
+%
 \subsection{Fermés irréductibles et idéaux premiers}
 
 \thingy On dit qu'un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ non vide est
@@ -1298,42 +1330,63 @@ Ceci montre bien que $\mathfrak{I}(E)$ est premier.
 \subsection{L'anneau d'un fermé de Zariski : fonctions régulières}
 
 \thingy On suppose toujours que $k$ est algébriquement clos.
-Considérons $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ un idéal radical et $E =
+Considérons $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ un idéal radical et $X =
 Z(I)$ le fermé de Zariski qu'il définit.  On rappelle que $I =
-\mathfrak{I}(E)$ par le Nullstellensatz, c'est-à-dire qu'un polynôme
-$f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ s'annule identiquement sur $E$ si et
+\mathfrak{I}(X)$ par le Nullstellensatz, c'est-à-dire qu'un polynôme
+$f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ s'annule identiquement sur $X$ si et
 seulement si il est dans $I$.
 
 Considérons maintenant le morphisme $\Psi\colon k[t_1,\ldots,t_d] \to
-k^E$ (où $k^E$ désigne la $k$-algèbre de toutes les fonctions $E \to
+k^X$ (où $k^X$ désigne la $k$-algèbre de toutes les fonctions $X \to
 k$) qui à un polynôme $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ associe la fonction
-polynomiale correspondante sur $E$, c'est-à-dire l'application
-$\Psi(f)\colon E \to k$ donnée par $x \mapsto f(x)$.  D'après ce qui
+polynomiale correspondante sur $X$, c'est-à-dire l'application
+$\Psi(f)\colon X \to k$ donnée par $x \mapsto f(x)$.  D'après ce qui
 vient d'être dit, le noyau de ce morphisme $\Psi$ est $I$.  Par
 conséquent (cf. \ref{review-of-canonical-factorization}), l'image
 de $\Psi$ s'identifie à $k[t_1,\ldots,t_d]/I$.  L'image de $\Psi$ est
-par définition l'ensemble des fonctions polynomiales sur $E$ : ce qui
+par définition l'ensemble des fonctions polynomiales sur $X$ : ce qui
 vient d'être dit est que la fonction polynomiale $\Psi(f)$ définie
 par $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ ne dépend que de la classe de $f$
 modulo $I$.
 
 L'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]/I$ s'appellera \defin[régulières
   (fonctions)]{anneau des fonctions régulières} du fermé de
-Zariski $E$.  Comme on vient de le signaler, ses éléments peuvent
-s'identifier aux restrictions à $E$ des fonctions polynomiales
-sur $k^d$.  On le notera $\mathcal{O}(E)$.
+Zariski $X$.  Comme on vient de le signaler, ses éléments peuvent
+s'identifier aux restrictions à $X$ des fonctions polynomiales
+sur $k^d$.  On le notera $\mathcal{O}(X)$.
 
-Par construction, $\mathcal{O}(E)$ est une $k$-algèbre de type
+Par construction, $\mathcal{O}(X)$ est une $k$-algèbre de type
 fini (cf. \ref{finite-type-algebras-as-quotients-of-polynomial-rings}),
 donc un anneau noethérien
 (cf. \ref{finite-type-algebras-are-noetherian}) ; par construction,
 elle est un anneau \emph{réduit} (puisque $I$ est supposé un idéal
-radical) ; elle est un anneau \emph{intègre} si et seulement si $E$
+radical) ; elle est un anneau \emph{intègre} si et seulement si $X$
 est irréductible (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}) ; et
-elle est un \emph{corps} si et seulement si $E$ est un singleton
+elle est un \emph{corps} si et seulement si $X$ est un singleton
 (cf. \ref{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}), auquel cas c'est
 simplement $k$.
 
+\thingy On pourrait refaire une version « relative » des constructions
+qui ont été faites sur les polynômes : si $\mathscr{F} \subseteq
+\mathcal{O}(X)$ est un ensemble de fonctions régulières sur $X$, on
+peut appeler $Z(\mathscr{F})$ l'ensemble de leurs zéros communs, et si
+$E \subseteq X$, on peut appeler $\mathfrak{I}_X(E)$ l'ensemble des
+fonctions régulières sur $X$ qui s'y annulent (c'est simplement
+l'idéal de $\mathcal{O}(X)$ qui correspond à l'idéal $\mathfrak{I}(E)$
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$, cf. \ref{recollections-on-ideals}) ; alors
+essentiellement tout ce qui a été dit dans les sctions
+\ref{subsection-zariski-closed-sets-and-ideals}
+et \ref{subsection-nullstellensatz} vaut encore \textit{mutatis
+  mutandis} : les fonctions $Z$ et $\mathfrak{I}_X$ définissent des
+bijections réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre les
+idéaux radicaux de $\mathcal{O}(X)$ d'une part, et les fermés de
+Zariski de $X$ (cf. \ref{relative-closed-and-open-sets}) d'autre part.
+(De plus, si $Y = Z(J)$ est un fermé de Zariski de $X$ défini par un
+idéal radical $J$ de $\mathcal{O}(X)$, alors $\mathcal{O}(Y) =
+\mathcal{O}(X)/J$, cf. \ref{recollections-on-ideals}.)  Tout ceci est
+purement formel, l'intérêt est surtout de se convaincre que les
+fonctions régulières se comportent bien comme des polynômes.
+
 
 
 %