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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-09 08:56:46 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-09 08:56:46 (GMT)
commit1a2c050fc882bb03cf9b87385da2df10cf2f578b (patch)
tree75da0d461ed8deff342da73fa9222a01aefd4c47 /notes-accq205.tex
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index a1cc590..b5aa884 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -4347,6 +4347,15 @@ particulier, leur intersection $\tilde k$ est égale à $k$.
simplement $k$ comme égal à $\tilde k$, à condition qu'on ne tienne
pas à garder le corps de base fixé.)
+\thingy La remarque suivante peut être utile : tous les corps
+résiduels $\varkappa_v$ sont des extensions de $\tilde k$ (puisque
+$\tilde k$ est l'intersection de tous les $\mathcal{O}_v$, on a des
+morphismes d'anneaux $\tilde k \to \varkappa_v$). Notamment, $[\tilde
+ k : k]$ divise tous les $\deg(v) = [\varkappa_v : k]$
+(cf. \ref{degree-of-a-place}), et en particulier, s'il existe une
+place \emph{rationnelle} (c'est-à-dire $\deg(v) = 1$), ou simplement
+deux places de degrés premiers entre eux, on a $\tilde k = k$.
+
\subsection{Les places de la droite projective}\label{subsection-places-of-the-projective-line}
@@ -5037,20 +5046,21 @@ complètement $\Omega^1_{K/k}$, et est bien vérifiée de l'objet défini
ci-dessus.
\begin{prop}\label{differentials-of-separable-field-extension}
-Soit $k \subseteq K$ une extension de corps telle qu'il existe une
-base de transcendance $(t_i)_{i\in I}$ pour laquelle $K$ est
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps telle que (*) il existe
+une base de transcendance $(t_i)_{i\in I}$ pour laquelle $K$ est
(algébrique) \emph{séparable} sur $k(t_i)_{i\in I}$
(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}). Alors
$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de base $(dt_i)_{i\in
I}$.
-De plus, l'hypothèse qu'on vient de dire est vérifiée exactement quand
-les extensions $K^p$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement disjointes
-dans $K$ (comparer avec \ref{linear-criterion-for-separability}).
-Elle est \emph{notamment} vérifiée lorsque les extensions $K$ et
-$k^{\alg}$ de $k$ sont linéairement disjointes dans $K^{\alg}$, et en
-particulier lorsque $K$ est le corps de fonctions d'un fermé de
-Zariski \emph{géométriquement} irréductible
+De plus, l'hypothèse (*) qu'on vient de dire est vérifiée exactement
+quand les extensions $K^p$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement
+disjointes dans $K$ (comparer
+avec \ref{linear-criterion-for-separability}). Elle est
+\emph{notamment} vérifiée lorsque les extensions $K$ et $k^{\alg}$
+de $k$ sont linéairement disjointes dans $K^{\alg}$, et en particulier
+lorsque $K$ est le corps de fonctions d'un fermé de Zariski
+\emph{géométriquement} irréductible
(cf. \ref{geometric-irreducibility},
et \ref{function-field-of-an-irreducible-set}). Elle est par ailleurs
aussi vérifiée lorsque $k$ est \emph{parfait}