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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-08 22:30:03 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-08 22:30:03 (GMT)
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@@ -3178,7 +3178,7 @@ raison, ce que nous appelons « courbe » s'appellerait « courbe normale
projective » ou « courbe projective lisse » chez d'autres auteurs),
et \textbf{(b)} les hypothèses effectuées ne sont pas forcément les
mêmes (notamment, beaucoup d'auteurs restreignent les courbes à ce
-qu'on appellera plus bas les courbes « géométriquement intègres »).
+qu'on appellera plus bas les courbes « géométriquement irréductibles »).
On sera éventuellement amené à restreindre la définition qui vient
d'être donnée.
@@ -3540,9 +3540,9 @@ précédemment, $x^2+y^2+1$, $x^2+y^2-1$, $y^2-x^3-x^2$, $y^2-x^3+x^2$
et $y^2-x^3$, l'irréductibilité de $P$ n'était jamais perdue en
montant à un corps plus gros.)
-Le corps $k(x)[y]/(P)$ des fonctions de la courbe est simplement
-$k(\sqrt{-1},x)$ (par exemple, $\mathbb{R}(x)[y]/(y^2+1)$ est
-$\mathbb{C}(x)$).
+Le corps $k(x,y: P=0) = k(x)[y]/(P)$ des fonctions de la courbe est
+simplement $k(\sqrt{-1},x)$ (par exemple, $\mathbb{R}(x)[y]/(y^2+1)$
+est $\mathbb{C}(x)$).
Il faut imaginer cette courbe de la façon suivante : c'est la réunion
de deux droites « géométriques » (c'est-à-dire définies sur la clôture
@@ -3553,6 +3553,15 @@ est irréductible (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}) mais
qui cesse de l'être sur la clôture algébrique
(cf. \ref{geometric-irreducibility}).
+Lorsque $P$ est géométriquement (=absolument) irréductible, on dira
+que la courbe plane $\{P=0\}$ \index{géométriquement
+ irréductible}\index{absolument irréductible}l'est. Une conséquence
+de cette propriété sur le corps $K := k(x,y: P=0)$ est que, d'après la
+proposition \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}, dans le
+corps $K.k^{\alg} = k^{\alg}(x,y: P=0)$, les sous-corps $K$ et
+$k^{\alg}$ sont linéairement disjoints sur $k$. Cette propriété sera
+parfois utile.
+
\thingy\label{function-field-of-an-irreducible-set}
Bien sûr, il n'y a pas de raison de se limiter aux courbes
\emph{planes} ou même, dans une certaine mesure, de se limiter aux
@@ -3570,7 +3579,17 @@ valeur $\infty$ sur les pôles (alors qu'en dimension $\geq 2$ une
fonction rationnelle peut ne pas être définie sans pour autant avoir
un pôle : penser à $x/y$ en $(x,y) = (0,0)$).
-\thingy Si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal premier tel
+La même remarque que ci-dessus vaut : si le fermé de Zariski $X$ est
+géométriquement (=absolument) irréductible
+(cf. \ref{geometric-irreducibility}), son corps des fractions $K :=
+\Frac(k[t_1,\ldots,t_d]/I)$ a la propriété, d'après la
+proposition \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}, que
+dans le corps $K.k^{\alg} =
+\Frac(k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]/(I.k^{\alg}))$, les sous-corps $K$ et
+$k^{\alg}$ sont linéairement disjoints sur $k$.
+
+\thingy\label{remark-separating-transcendence-basis-geometrically}
+Si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal premier tel
que $Z(I)$ soit de dimension $1$, c'est-à-dire que le corps des
fractions $K$ de l'anneau intègre $k[t_1,\ldots,t_d]/I$ soit un corps
de fonctions de courbe au sens où on l'a défini, la
@@ -4304,6 +4323,7 @@ contexte). Le corps $\tilde k$ peut s'appeler \textbf{corps des
est de degré de transcendance $1$ sur $k$, il existe toujours des
places — chose qui n'était pas triviale \textit{a priori} !)
+\thingy\label{fields-of-constants-and-geometrically-integral-curves}
En général, $\tilde k$ peut être strictement plus grand que $k$ : un
exemple de ce phénomène a été donné
en \ref{example-curve-irreducible-but-not-geometrically} (où $\tilde k
@@ -4315,8 +4335,9 @@ notamment lorsque $K = k(C)$ est défini (au sens
de \ref{function-field-of-a-plane-curve} ou plus généralement
de \ref{function-field-of-an-irreducible-set}) par un polynôme $P \in
k[x,y]$ ou un fermé de Zariski $Z(I)$ \emph{géométriquement}
-irréductible (cf. \ref{geometric-irreducibility}) : en effet, si c'est
-le cas, disons $K = \Frac(k[t_1,\ldots,t_d]/I)$, d'après la
+irréductible (cf. \ref{geometric-irreducibility}) : en effet, on a
+signalé en \ref{function-field-of-an-irreducible-set} que si c'est le
+cas, disons avec $K = \Frac(k[t_1,\ldots,t_d]/I)$, d'après la
proposition \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}, dans le
corps $K.k^{\alg} = \Frac(k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]/(I.k^{\alg}))$, les
sous-corps $K$ et $k^{\alg}$ sont linéairement disjoints sur $k$ et en
@@ -4982,6 +5003,73 @@ En notant $D$ et $D'$ des diviseurs sur une même courbe :
\end{proof}
+\subsection{Différentielles de Kähler}\label{subsection-kaehler-differentials}
+
+\begin{defn}
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps (ou plus généralement $K$
+une algèbre sur un anneau $k$, auquel cas remplacer « espace
+vectoriel » par « module » dans ce qui suit). On appelle espace des
+\defin{différentielles de Kähler} de $K$ sur $k$, et on note
+$\Omega^1_{K/k}$, le $K$-espace vectoriel engendré par des symboles
+formels $dx$ pour chaque $x \in K$, sujets aux relations :
+\begin{itemize}
+\item $d(x+x') = dx + dx'$ si $x,x'\in K$, et $d(cx) = c\,dx$ si $c\in
+ k$ et $x\in K$ (i.e., $d\colon K \to \Omega^1_{K/k}$
+ est $k$-linéaire), et
+\item $d(xy) = x\, dy + y\, dx$ si $x,y \in K$
+\end{itemize}
+(autrement dit, $\Omega^1_{K/k}$ est le quotient du $K$-espace
+vectoriel libre de base $\{dx : x\in K\}$ par le sous-espace vectoriel
+engendré par les relations qu'on vient de dire, par exemple les
+$d(x+x') - dx -dx'$).
+\end{defn}
+
+\thingy Cette définition n'est pas très élégante. Une définition plus
+satisfaisante serait de dire que $d\colon K \to \Omega^1_{K/k}$ a la
+propriété « universelle » que toute autre application $\delta\colon K
+\to V$ (où $V$ est un $K$-espace-vectoriel) $k$-linéaire vérifiant
+$\delta(xy) = x\,\delta(y) + y\,\delta(x)$ (on dit que $\delta$ est
+une \defin{dérivation} de $K$ à valeurs dans $V$) se factorise de
+façon unique par $d$ (i.e., il existe une application $K$-linéaire
+$u\colon \Omega^1_{K/k}\to V$ unique tel que $\delta(x) = u(dx)$). Il
+est purement formel de vérifier que cette propriété caractérise
+complètement $\Omega^1_{K/k}$, et est bien vérifiée de l'objet défini
+ci-dessus.
+
+\begin{prop}\label{differentials-of-separable-field-extension}
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps telle qu'il existe une
+base de transcendance $(t_i)_{i\in I}$ pour laquelle $K$ est
+(algébrique) \emph{séparable} sur $k(t_i)_{i\in I}$
+(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}). Alors
+$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de base $(dt_i)_{i\in
+ I}$.
+
+De plus, l'hypothèse qu'on vient de dire est vérifiée exactement quand
+les extensions $K^p$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement disjointes
+dans $K$ (comparer avec \ref{linear-criterion-for-separability}).
+Elle est \emph{notamment} vérifiée lorsque les extensions $K$ et
+$k^{\alg}$ de $k$ sont linéairement disjointes dans $K^{\alg}$, et en
+particulier lorsque $K$ est le corps de fonctions d'un fermé de
+Zariski \emph{géométriquement} irréductible
+(cf. \ref{geometric-irreducibility},
+et \ref{function-field-of-an-irreducible-set}). Elle est par ailleurs
+aussi vérifiée lorsque $k$ est \emph{parfait}
+(d'après \ref{remark-separating-transcendence-basis-geometrically}).
+\end{prop}
+\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+
+\thingy On retiendra surtout ceci : si $K = k(C)$ est le corps des
+fractions d'une courbe sur un corps $k$ parfait ou bien définie par un
+polynôme $P$ géométriquement irréductible dans le contexte
+de \ref{function-field-of-a-plane-curve} (ou plus généralement par un
+fermé de Zariski géométriquement irréductible), alors l'hypothèse
+de \ref{differentials-of-separable-field-extension} est satisfaite,
+donc : \emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de
+ dimension $1$}, et une base en est donnée par n'importe quel $x\in
+K$ tel que $dx \neq 0$, ce qui donne du même coup un sens à
+$\frac{df}{dx}$, qui est un élément de $K$, pour tout $f \in K$.
+
+
% TODO:
% * Différentielles.