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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-22 17:06:46 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-22 17:06:46 (GMT)
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@@ -15,6 +15,10 @@
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+%% Self-note: compile index with:
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@@ -56,8 +60,11 @@
\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
\hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
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+\newcommand{\defin}[2][]{\def\latexsucks{#1}\ifx\latexsucks\empty\index{#2}\else\index{\latexsucks}\fi\textbf{#2}}
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\begin{document}
\title{Courbes algébriques\\(notes provisoires)}
\author{David A. Madore}
@@ -99,14 +106,14 @@ Git: \input{vcline.tex}
\thingy Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux
considérés sont commutatifs et ont un élément unité (noté $1$). Il
existe un unique anneau dans lequel $0=1$, c'est l'anneau réduit à un
-seul élément, appelé l'\textbf{anneau nul}. (Pour tout anneau $A$, il
+seul élément, appelé l'\defin[nul (anneau)]{anneau nul}. (Pour tout anneau $A$, il
existe un unique morphisme de $A$ vers l'anneau nul ; en revanche, il
n'existe un morphisme de l'anneau nul vers $A$ que si $A$ est lui-même
l'anneau nul.)
-\thingy Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi :
+\thingy Si $k$ est un anneau, une \defin[algèbre]{$k$-algèbre} (là aussi :
implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k
-\buildrel\varphi_A\over\to A$ appelé \textbf{morphisme structural} de
+\buildrel\varphi_A\over\to A$ appelé \defin[structural (morphisme)]{morphisme structural} de
l'algèbre. On peut multiplier un élément de $A$ par un élément de $k$
avec : $c\cdot x = \varphi_A(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in A$).
Un morphisme de $k$-algèbres est un morphisme d'anneaux
@@ -131,19 +138,19 @@ automatiquement injectif si l'algèbre n'est pas l'algèbre nulle.
\thingy\label{regular-elements-and-prime-ideals}
Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est
-dit \textbf{régulier}, resp. \textbf{inversible}, lorsque $x \mapsto
+dit \defin[régulier (élément d'un anneau)]{régulier}, resp. \defin{inversible}, lorsque $x \mapsto
ax$ est injectif, resp. bijectif, autrement dit lorsque $ax = 0$
implique $x = 0$ (la réciproque est toujours vraie), resp. lorsqu'il
existe $x$ (appelé inverse de $a$) tel que $ax = 1$.
Un anneau dans $A$ dans lequel l'ensemble des éléments régulier est
égal à l'ensemble $A \setminus \{0\}$ des éléments non-nuls est appelé
-anneau \textbf{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un
+anneau \defin[intègre (anneau)]{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un
anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) $ab = 0$ implique $a=0$ ou $b=0$ (la
réciproque est toujours vraie). Par convention, l'anneau nul n'est
pas intègre.
-Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{premier}
+Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[premier (idéal)]{premier}
lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{p}$ est un anneau intègre,
autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab \in
\mathfrak{p}$ implique $a \in \mathfrak{p}$ ou $b \in \mathfrak{p}$
@@ -151,9 +158,9 @@ autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab \in
\thingy\label{fields-and-maximal-ideals} Dans un anneau (toujours sous-entendu commutatif...),
l'ensemble noté $A^\times$ des éléments inversibles est un groupe,
-aussi appelé groupe des \textbf{unités} de $A$.
+aussi appelé groupe des \defin[unité (dans un anneau)]{unités} de $A$.
-Un \textbf{corps} est un anneau $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$
+Un \defin{corps} est un anneau $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$
des éléments inversibles est égal à l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des
éléments non-nuls : autrement dit, un corps est un anneau dans lequel
($0\neq 1$ et) tout élément non-nul est inversible. De façon
@@ -163,7 +170,7 @@ un corps.
Un corps est, en particulier, un anneau intègre.
-Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{maximal}
+Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[maximal (idéal)]{maximal}
lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{m}$ est un corps : de façon
équivalente, lorsque $\mathfrak{m}\neq A$ et que $\mathfrak{m}$ est
maximal pour l'inclusion parmi les idéaux $\neq A$. Un idéal maximal
@@ -229,14 +236,14 @@ de conclure.
\end{proof}
\thingy\label{nilpotent-element-and-reduced-ring} Un élément $x$ d'un
-anneau $A$ est dit \textbf{nilpotent} lorsqu'il existe $n\geq 0$ tel
+anneau $A$ est dit \defin{nilpotent} lorsqu'il existe $n\geq 0$ tel
que $x^n = 0$ (un anneau dans lequel le seul élément nilpotent est $0$
-est dit \textbf{réduit}).
+est dit \defin[réduit (anneau)]{réduit}).
\begin{prop}\label{nilradical-facts}
Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal :
cet idéal est aussi l'intersection des idéaux premiers de l'anneau.
-(On l'appelle le \textbf{nilradical} de l'anneau.)
+(On l'appelle le \defin{nilradical} de l'anneau.)
Le quotient de l'anneau par son nilradical est réduit.
\end{prop}
@@ -275,7 +282,7 @@ alors cet élément lui-même est nilpotent, ce qui est évident.
\end{proof}
\thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$,
-dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les
+dit \index{fractions (corps des)}\defin{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les
symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A
\setminus\{0\}$, en convenant d'identifier $\frac{a}{q}$ avec
$\frac{a'}{q'}$ lorsque $aq' = a'q$ (i.e., formellement, $\Frac(A)$
@@ -303,7 +310,7 @@ Ainsi, $\Frac(A)$ est \emph{engendré en tant que corps} par les
\thingy Le corps des fractions de l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des
polynômes en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur un corps $k$ est
-appelé corps des \textbf{fractions rationnelles} (ou parfois
+appelé corps des \defin{fractions rationnelles} (ou parfois
« fonctions rationnelles ») en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$
sur $k$, et noté $k(t_1,\ldots,t_n)$.
@@ -316,16 +323,16 @@ multiplication par un $a\in K$, on voit que tout élément régulier est
inversible.
\thingy\label{gauss-lemma-on-irreducibility} Rappelons par ailleurs le
-\textbf{lemme de Gauß} concernant les polynômes irréductibles : si $A$
+\defin[Gauß (lemme de)]{lemme de Gauß} concernant les polynômes irréductibles : si $A$
est un anneau factoriel et $K$ son corps des fractions, alors l'anneau
$A[t]$ des polynômes en une indéterminée sur $A$ est factoriel ; et
par ailleurs $f \in A[t]$ est irréductible (dans $A[t]$) si et
seulement si $f$ est constant et irréductible dans $A$, \emph{ou bien}
$f$ est irréductible \underline{dans $K[t]$} et le pgcd (dans $A$) des
-coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$ est \textbf{primitif}
+coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$ est \defin[primitif (polynôme)]{primitif}
lorsque cette dernière condition est vériifée). Le point-clé dans la
démonstration est de montrer que le pgcd $c(f)$ des coefficients d'un
-polynôme dans $A[t]$, aussi appelé \textbf{contenu} de $f$, est
+polynôme dans $A[t]$, aussi appelé \defin{contenu} de $f$, est
multiplicatif (i.e., $c(fg) = c(f)\,c(g)$) ; la décomposition en
facteurs irréductibles dans $A[t]$ d'un élément de $A[t]$ s'obtient
alors à partir de celle de $K[t]$ et de celle dans $A$ du contenu.
@@ -347,11 +354,11 @@ $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $A$, l'intersection de
toutes les sous-$k$-algèbres de $A$ contenant les $x_i$ est encore une
sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$, c'est-à-dire que c'est la
plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$. On l'appelle
-$k$-algèbre \textbf{engendrée} (dans $A$) par les $x_i$ et on la note
+$k$-algèbre \defin[engendrée (algèbre)]{engendrée} (dans $A$) par les $x_i$ et on la note
$k[x_i]_{i\in I}$. Lorsque les $x_i$ sont en nombre fini (le cas qui
nous intéressera le plus), disons indicés par $1,\ldots,n$, on note
$k[x_1,\ldots,x_n]$, et on dit que $k[x_1,\ldots,x_n]$ est une
-$k$-algèbre \textbf{de type fini} (en tant que $k$-\emph{algèbre}).
+$k$-algèbre \defin[type fini (algèbre)]{de type fini} (en tant que $k$-\emph{algèbre}).
\danger On prendra garde au fait que la même notation
$k[x_1,\ldots,x_n]$ peut désigner soit la $k$-algèbre engendrée
@@ -397,17 +404,17 @@ cette $k$-algèbre est engendrée par $1, x, xy, xy^2, xy^3,\ldots$ et
on peut montrer qu'aucun nombre fini de ses éléments ne suffit à
l'engendrer.
-\thingy Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k
+\thingy Une \defin{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k
\to K$ entre corps (c'est-à-dire que $K$ est une $k$-algèbre qui est
un corps). Un tel morphisme est automatiquement injectif (car son
noyau est un idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut
donc être considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq
K$ soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée,
-on dit aussi que $k$ est un \textbf{sous-corps} de $K$. Un
-\textbf{corps intermédiaire} à une extension $k \subseteq K$, ou
-encore \textbf{sous-extension}, est, naturellement, une extension de
+on dit aussi que $k$ est un \defin{sous-corps} de $K$. Un
+\defin[intermédiaire (corps)]{corps intermédiaire} à une extension $k \subseteq K$, ou
+encore \defin{sous-extension}, est, naturellement, une extension de
corps $k \subseteq E$ contenue dans $K$ ; on dit aussi que $k
-\subseteq E \subseteq K$ est une \textbf{tour} d'extensions (et de
+\subseteq E \subseteq K$ est une \defin[tour d'extensions]{tour} d'extensions (et de
même pour n'importe quel nombre de corps intermédiaires).
\thingy\label{subfield-generated} Si $k \subseteq K$ est une extension
@@ -415,11 +422,11 @@ de corps, et $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $K$,
l'intersection de tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et
les $x_i$ est encore un sous-corps de $K$ contenant $k$ et les $x_i$,
c'est-à-dire que c'est le plus petit corps intermédiaire contenant
-les $x_i$. On l'appelle sous-extension \textbf{engendrée} (dans $K$)
+les $x_i$. On l'appelle sous-extension \defin[engendrée (sous-extension)]{engendrée} (dans $K$)
par les $x_i$ et on la note $k(x_i)_{i\in I}$. Lorsque les $x_i$ sont
en nombre fini (le cas qui nous intéressera le plus), disons indicés
par $1,\ldots,n$, on note $k(x_1,\ldots,x_n)$, et on dit que
-$k(x_1,\ldots,x_n)$ est une extension de $k$ \textbf{de type fini}
+$k(x_1,\ldots,x_n)$ est une extension de $k$ \defin[type fini (extension de corps)]{de type fini}
(en tant qu'extension de \emph{corps}).
\danger On prendra garde au fait que la même notation
@@ -464,7 +471,7 @@ de type fini. Mais ce n'est pas évident ! (Cela sera démontré en
une extension de corps et $x\in K$, on a noté
(cf. \ref{subfield-generated}) $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée
par $x$. On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est une extension
-\textbf{monogène} (certains auteurs utilisent « simple », notamment en
+\defin[monogène (extension)]{monogène} (certains auteurs utilisent « simple », notamment en
anglais).
On se pose la question de mieux comprendre cette extension. Pour
@@ -476,7 +483,7 @@ $\varphi$ est un idéal de $k[t]$. Exactement l'un des deux cas
suivants se produit :
\begin{itemize}
\item Soit $\varphi$ est injectif (=son noyau est nul), auquel cas on
- dit que $x$ est \textbf{transcendant} sur $k$. Dans ce cas, d'après
+ dit que $x$ est \defin{transcendant} sur $k$. Dans ce cas, d'après
la propriété universelle du corps des fractions
(cf. \ref{universal-property-of-fraction-field}), $\varphi$ se
prolonge de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$
@@ -487,12 +494,12 @@ suivants se produit :
d'identifier $k(x)$ avec le corps des fractions rationnelles en une
indéterminée (i.e., de considérer $x$ comme une indéterminée).
\item Soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme
- unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \textbf{polynôme minimal}
- de $x$, et alors $x$ est dit \textbf{algébrique} (ou
- \textbf{entier}) sur $k$. Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$
+ unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \defin{polynôme minimal}
+ de $x$, et alors $x$ est dit \defin[algébrique (élément)]{algébrique} (ou
+ \defin[entier (élément)]{entier}) sur $k$. Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$
(cf. \ref{subalgebra-generated-is-polynomials}) s'identifie à
$k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension $\deg\mu_x$ finie
- sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ; mais comme $k[x]$
+ sur $k$, qu'on appelle le \defin[degré (d'un élément)]{degré} de $x$ ; mais comme $k[x]$
est intègre (puisque c'est une sous-algèbre d'un corps), et de
dimension finie, c'est un corps
(cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) : on a donc $k(x) =
@@ -516,7 +523,7 @@ alors $k[t]/(\mu)$ est une $k$-algèbre de dimension finie intègre donc
(cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) une extension de corps
de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de l'indéterminée $t$ est
algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps $k(x) = k[t]/(\mu)$
-est appelé \textbf{corps de rupture} du polynôme irréductible $\mu$
+est appelé \index{rupture (corps de)}\defin{corps de rupture} du polynôme irréductible $\mu$
sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut encore parler de
corps de rupture quitte à diviser par le coefficient dominant ; en
revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va de soi que le
@@ -525,11 +532,11 @@ degré $1$ (précisément, si $\mu = t-a$ alors l'élément $x := \bar t$
de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$).
\thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite
-\textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique
+\defin[algébrique (extension)]{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique
sur $k$. On dit aussi que $K$ est algébrique « au-dessus de » $k$ ou
« sur » $k$.
-Un corps $k$ est dit \textbf{algébriquement clos} lorsque la seule
+Un corps $k$ est dit \defin{algébriquement clos} lorsque la seule
extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques
précédentes, cela revient à dire que les seuls polynômes unitaires
irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$.
@@ -540,8 +547,8 @@ algébriquement clos (« théorème de D'Alembert-Gauß »).
\thingy\label{degree-and-finite-extensions} Si $k\subseteq K$ est une
extension de corps, on peut considérer $K$ comme un $k$-espace
vectoriel, et sa dimension (finie ou infinie) est notée $[K:k]$ et
-appelée \textbf{degré} de l'extension. Une extension de degré fini
-est aussi dite \textbf{finie} (ainsi, on pourra dire simplement que
+appelée \defin[degré (d'une extension)]{degré} de l'extension. Une extension de degré fini
+est aussi dite \defin[finie (extension)]{finie} (ainsi, on pourra dire simplement que
$K$ est « fini sur $k$ » pour dire que son degré est fini). Il va de
soi qu'une sous-extension d'une extension finie est encore finie.
@@ -609,10 +616,10 @@ de $k$ engendrée par tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$ est
tout simplement l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$
algébriques sur $k$, c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui
est manifestement la plus grande extension intermédiaire algébrique
-sur $k$ : on l'appelle la \textbf{fermeture algébrique} de $k$
+sur $k$ : on l'appelle la \defin{fermeture algébrique} de $k$
dans $K$ (la précision « dans $K$ » est importante).
-Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \textbf{algébriquement
+Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \defin{algébriquement
fermé} dans $K$ : autrement dit, cela signifie que tout élément
de $K$ est soit transcendant sur $k$ soit élément de $k$ (=algébrique
de degré $1$). Un corps algébriquement clos est algébriquement fermé
@@ -643,7 +650,7 @@ plus bas pour une réinterprétation des résultats de cette section.)
\begin{defn}\label{definition-linear-disjointness}
Si $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ sont deux extensions contenues
-dans une même troisième $M$, on dit qu'elles sont \textbf{linéairement
+dans une même troisième $M$, on dit qu'elles sont \defin[linéairement disjointes (extensions)]{linéairement
disjointes} lorsque toute famille d'éléments de $K$ linéairement
indépendante sur $k$ est encore linéairement indépendante sur $L$
quand on la voit comme une famille d'éléments de $M$. (Il suffit,
@@ -702,7 +709,7 @@ linéairement disjointes.
\thingy\label{definition-compositum} Lorsque $k \subseteq K$ et $k
\subseteq L$ sont deux extensions contenues dans une même
-troisième $M$, on appelle \textbf{composé} des corps $K$ et $L$ le
+troisième $M$, on appelle \defin{composé} des corps $K$ et $L$ le
sous-corps de $M$ engendré par $K$ et $L$, autrement dit $k(K \cup L)
= K(L) = L(K)$, et on le note $K.L$.
@@ -824,7 +831,7 @@ de \ref{base-of-compositum}.
\begin{defn}\label{definition-transcendence-basis}
Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie
-$x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement
+$x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \defin[algébriquement indépendante (famille)]{algébriquement
indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement
transcendante ») sur $k$ lorsque le seul polynôme $P \in
k[t_1,\ldots,t_n]$ à coefficients dans $k$ et tel que
@@ -844,7 +851,7 @@ relation de dépendance algébrique entre les $x_i$, c'est-à-dire entre
un nombre fini d'entre eux).
Une famille $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de $K$ est appelée
-\textbf{base de transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est
+\defin{base de transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est
algébriquement indépendante sur $k$ et que $K$ est algébrique
au-dessus de l'extension $k(x_i)_{i\in I}$ de $k$ engendrée par
les $x_i$.
@@ -869,7 +876,7 @@ finie quelconque d'entre elles.)
\thingy Lorsque les $(x_i)_{i\in I}$ sont algébriquement indépendants,
on dit aussi que l'extension $k \subseteq k(x_i)_{i\in I}$ est
-\textbf{transcendante pure} : autrement dit, une extension
+\defin[transcendante pure (extension)]{transcendante pure} : autrement dit, une extension
transcendante pure est un corps de fractions rationnelles en un nombre
quelconque (peut-être infini, cf. ci-dessus) de variables.
@@ -1005,7 +1012,7 @@ est équipotent à l'ensemble de ses parties finies).
\begin{defn}\label{definition-transcendence-degree}
Si $k \subseteq K$ est une extension de corps, le cardinal d'une base
de transcendance de $K$ sur $k$ (dont on vient de montrer qu'il ne
-dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \textbf{degré de
+dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \defin{degré de
transcendance} de $K$ sur $k$ et se note $\degtrans_k(K)$.
\end{defn}
@@ -1110,7 +1117,7 @@ annoncé.
\begin{defn}
Soit $K$ un corps et $\mu \in K[t]$ un polynôme irréductible. On
-appelle \textbf{corps de rupture} de $\mu$ sur $K$ une extension $K
+appelle \index{rupture (corps de)}\defin{corps de rupture} de $\mu$ sur $K$ une extension $K
\subseteq L$ telle que $\mu$ admette une racine $x$ dans $K$ pour
laquelle $L = K(x)$. (Bien sûr, $\mu$ est alors le polynôme minimal
de $x$ sur $K$.)
@@ -1150,7 +1157,7 @@ est un corps contenant $K$ et $x'$ et qu'on a $L' = K(x')$.
\begin{defn}\label{definition-decomposition-field}
Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme quelconque. On appelle
-\textbf{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K
+\index{décomposition (corps de)}\defin{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K
\subseteq L$ telle que $f$ soit scindé (=complètement décomposé)
sur $L$, i.e., $f = c\prod_{i=1}^n (t-x_i)$ (avec $c$ le coefficient
dominant de $f$, et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines avec multiplicité) et
@@ -1258,7 +1265,7 @@ L'intérêt principal de la proposition qu'on vient de démontrer est de
montrer l'existence et l'unicité de la clôture algébrique :
\begin{defn}\label{definition-algebraic-closure}
-Soit $K$ un corps. On appelle \textbf{clôture algébrique} de $K$ une
+Soit $K$ un corps. On appelle \defin{clôture algébrique} de $K$ une
extension $K \subseteq L$ algébrique telle que tout polynôme de $K[t]$
soit scindés sur $L$.
\end{defn}
@@ -1309,7 +1316,7 @@ de façon « canonique » de les identifier).
\subsection{Éléments et extensions algébriques séparables}
-\thingy On rappelle que la \textbf{caractéristique} d'un corps $k$ est
+\thingy On rappelle que la \defin{caractéristique} d'un corps $k$ est
le générateur positif de l'idéal noyau de l'unique morphisme d'anneaux
$\mathbb{Z} \to k$ : plus concrètement, c'est le plus petit entier $p$
tel que $p = 0$ dans $k$ (au sens où $1 + 1 + \cdots + 1 = 0$ avec $p$
@@ -1318,7 +1325,7 @@ c'est soit $0$ soit un nombre premier (positif).
Si $k$ est de caractéristique $p>0$, alors l'application
$\Frob_p\colon k \to k$ définie par $x \mapsto x^p$, ou
-\textbf{Frobenius} d'exposant $p$, est un morphisme de corps, i.e., on
+\defin{Frobenius} d'exposant $p$, est un morphisme de corps, i.e., on
a $(x+y)^p = x^p + y^p$ et $(xy)^p = x^p y^p$ ; en particulier, il est
injectif. On notera $k^p$ l'image de ce morphisme
(cf. \ref{definition-perfect-field}), qui est donc un sous-corps
@@ -1330,7 +1337,7 @@ et peut se noter indifféremment $\Frob_{p^e}$ ou $\Frob_p^e$. Son
image se note bien sûr $k^{p^e}$.
\thingy Si $k$ est un corps, et $f \in k[t]$ un polynôme en une
-indéterminée sur $k$, on dit que $f$ est \textbf{séparable} lorsque
+indéterminée sur $k$, on dit que $f$ est \defin[séparable (polynôme)]{séparable} lorsque
$f$ est premier avec sa dérivée $f'$ : ceci revient à dire que les
racines de $f$ sont simples (=sans multiplicité) dans une extension où
$f$ est scindé (cf. \ref{existence-uniqueness-decomposition-field}).
@@ -1410,7 +1417,7 @@ irréductible dans $k^p[t]$ donc que $f$ l'est dans $k[t]$.
\thingy\label{definition-separable-element} Lorsque $k \subseteq K$
est une extension de corps, un élément $x \in K$ algébrique sur $k$
-est dit \textbf{séparable} (sur $k$) lorsque son polynôme minimal
+est dit \defin[séparable (élément)]{séparable} (sur $k$) lorsque son polynôme minimal
l'est. D'après ce qu'on a dit ci-dessus, en caractéristique $0$, tout
algébrique est séparable ; et en caractéristique $p$, pour tout
algébrique $x$ il existe un $e$ unique tel que $x^{p^e}$ soit
@@ -1466,7 +1473,7 @@ les choses qui va inspirer l'énoncé et la démonstration
de \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}.
\thingy\label{definition-separable-algebraic-extension} Une extension
-de corps $k \subseteq K$ algébrique est dite \textbf{séparable} (ou
+de corps $k \subseteq K$ algébrique est dite \defin[séparable (extension)]{séparable} (ou
que $K$ est séparable sur / au-dessus de $k$) lorsque tout élément
de $K$ est séparable sur $k$ (cf. \ref{definition-separable-element}).
C'est, bien sûr, toujours le cas en caractéristique $0$.
@@ -1598,17 +1605,17 @@ sur $k$ est tout simplement l'\emph{ensemble} de tous les éléments
de $K$ algébriques séparables sur $k$, c'est-à-dire que cet ensemble
est un corps, qui est manifestement la plus grande extension
intermédiaire algébrique séparable sur $k$ : on l'appelle la
-\textbf{fermeture [algébrique] séparable} de $k$ dans $K$.
+\defin[fermeture séparable]{fermeture [algébrique] séparable} de $k$ dans $K$.
La fermeture séparable de $k$ dans une clôture algébrique de $k$
-(cf. \ref{definition-algebraic-closure}) s'appelle \textbf{clôture
+(cf. \ref{definition-algebraic-closure}) s'appelle \defin{clôture
séparable} de $k$. Si $k$ est égal à sa clôture séparable (i.e.,
séparablement fermé dans une clôture algébrique), on dit que $k$ est
-\textbf{séparablement clos}.
+\defin{séparablement clos}.
\thingy Une extension algébrique $k \subseteq K$ telle que $k$ soit
égal à sa propre fermeture séparable dans $K$ (i.e. séparablement
-fermé \emph{dans $K$}) est dite \textbf{purement inséparable}. Dans
+fermé \emph{dans $K$}) est dite \defin{purement inséparable}. Dans
ce cas, en notant $p>0$ la caractéristique, le polynôme minimal
sur $k$ d'un élément quelconque de $K$ est de la forme $t^{p^e} - c$
pour un $c \in k$ (car si $f$ est le polynôme minimal de $x \in K$ et
@@ -1619,11 +1626,11 @@ réciproquement, si cette condition est vérifiée, l'extension est
purement inséparable (car un polynôme de la forme $t^{p^e} - c$ n'est
séparable que pour $e=0$).
-\thingy On pourrait définir la notion de \textbf{degré séparable}
+\thingy On pourrait définir la notion de \defin{degré séparable}
d'une extension algébrique $k \subseteq K$, qui est le degré sur $k$
de la fermeture séparable $k'$ de $k$ dans $K$, soit
$[K:k]_{\sep} := [k':k]$ (et dualement $[K:k]_{\mathrm{ins}}
-:= [K:k']$ le \textbf{degré inséparable}). Les degrés séparables (et
+:= [K:k']$ le \defin{degré inséparable}). Les degrés séparables (et
les degrés inséparables) se multiplient comme les degrés
(cf. \ref{remark-multiplicativity-of-degree}) : nous ne ferons pas la
démonstration, mais le point-clé est que si $k\subseteq K$ est une
@@ -1640,7 +1647,7 @@ ce qui se voit de façon analogue
\subsection{Corps parfaits, théorème de l'élément primitif}
\begin{defn}\label{definition-perfect-field}
-Un corps $k$ est dit \textbf{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de
+Un corps $k$ est dit \defin[parfait (corps)]{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de
caractéristique $0$, \emph{soit} $k$ est de caractéristique $p$ et le
morphisme de Frobenius, $\Frob\colon x\mapsto x^p$, est surjectif $k
\to k$, i.e. tout élément a une racine $p$-ième (automatiquement
@@ -1820,11 +1827,11 @@ l'élément $x_{d+1}$ est séparable.
\thingy\label{definition-conjugate-elements}
Si $K$ est un corps et $L$ une extension algébrique de $K$
-deux éléments $x,x'$ de $L$ sont dits \textbf{conjugués} sur $K$
+deux éléments $x,x'$ de $L$ sont dits \defin[conjugués (éléments)]{conjugués} sur $K$
lorsqu'ils ont le même polynôme minimal sur $K$, autrement dit,
lorsque l'un est racine du polynôme minimal de l'autre (il s'agit
d'une relation d'équivalence dont les classes sont parfois appelées
-\textbf{classes de conjugaison} au-dessus de $K$). De façon
+\defin[conjugaison (classe de)]{classes de conjugaison} au-dessus de $K$). De façon
équivalente, deux éléments $x,x'$ de $L$ sont conjugués lorsque tout
polynôme de $K[t]$ qui s'annule sur l'un s'annule aussi sur l'autre.
@@ -1846,7 +1853,7 @@ $r\in\{0,1,2\}$ avec $\zeta$ une racine primitive cubique de l'unité
les $\Frob_p^r(x) = x^{p^r}$ pour $0\leq r \leq d-1$.
\thingy\label{definition-normal-extension} Une extension de corps $K
-\subseteq L$ algébrique est dite \textbf{normale} lorsqu'elle vérifie
+\subseteq L$ algébrique est dite \defin[normale (extension)]{normale} lorsqu'elle vérifie
les propriétés suivantes dont on peut montrer qu'elles sont
équivalentes :
\begin{itemize}
@@ -1874,7 +1881,7 @@ de rupture de $t^3 - 2$, c'est une extension de degré $3$, donc ne
contenant pas de racine primitive cubique $\zeta$ de l'unité qui est
algébrique de degré $2$).
-(On appelle \textbf{fermeture normale} de $L$ au-dessus de $K$
+(On appelle \defin{fermeture normale} de $L$ au-dessus de $K$
dans $L^{\alg}$ le corps de décomposition des polynômes minimaux
sur $K$ de tous les éléments de $L$, i.e., le sous-corps de $L^{\alg}$
engendré par tous les conjugués de tous les éléments de $L$, ou encore
@@ -1887,7 +1894,7 @@ $\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt[3]{2})$ de décomposition de $t^3 - 2$.)
\thingy Une extension algébrique $K \subseteq L$ qui soit à la fois
normale (cf. \ref{definition-normal-extension}) et séparable
(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}) est dite
-\textbf{galoisienne}.
+\defin[galoisienne (extension)]{galoisienne}.
À titre d'exemple, une clôture séparable $K \subseteq K^{\sep}$ de $K$
fournit une extension galoisienne (elle est séparable par définition,
@@ -1897,14 +1904,14 @@ si $K$ est parfait, la clôture séparable coïncide avec la clôture
algébrique.
\thingy Si $K \subseteq L$ est une extension galoisienne, on appelle
-\textbf{groupe de Galois} de l'extension, et on note $\Gal(K\subseteq
+\defin[Galois (groupe de)]{groupe de Galois} de l'extension, et on note $\Gal(K\subseteq
L)$ l'ensemble des automorphismes de $L$ au-dessus de $K$, ou
$K$-automorphismes de $L$, c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes
de $K$-algèbres $L \to L$ (automorphismes de $L$ = isomorphismes de
$L$ sur lui-même), c'est-à-dire encore l'ensemble des automorphismes
de $L$ qui soient l'identité sur $K$. Lorsque $L$ est la clôture
séparable de $K$, on dit que $\Gal(K\subseteq L)$ est le groupe de
-Galois \textbf{absolu} de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois
+Galois \defin[absolu (groupe de Galois)]{absolu} de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois
$\Gamma_K$.
Les deux exemples suivant sont essentiels : le groupe de Galois de
@@ -2114,7 +2121,7 @@ degré $n!$).
Soit $G$ un groupe ou même simplement un monoïde (=ensemble muni d'une
opération binaire associative avec un élément unité), noté
multiplicativement, et $L$ un corps. Soient $\chi_1,\ldots,\chi_n$
-des \textbf{caractères} de $G$ dans $L$, c'est-à-dire des morphismes
+des \defin[caractère]{caractères} de $G$ dans $L$, c'est-à-dire des morphismes
$G \to L^\times$ (autrement dit, des applications $\chi\colon G\to
L^\times$ telles que $\chi(1) = 1$ et $\chi(g_1 g_2) =
\chi(g_1)\,\chi(g_2)$). On suppose que les $\chi_1,\ldots,\chi_n$
@@ -2149,7 +2156,7 @@ contredisant la minimalité de $n$.
\subsection{Anneaux noethériens}
-\thingy Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{de type fini} (en
+\thingy Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est dit \defin[type fini (idéal)]{de type fini} (en
tant qu'\emph{idéal}) lorsqu'il est engendré (en tant qu'idéal !,
c'est-à-dire en tant que sous-module de $A$) par un nombre fini
d'éléments, autrement dit, $I = (x_1,\ldots,x_n) := \{\sum_{i=1}^n a_i
@@ -2166,7 +2173,7 @@ comme combinaison $A$-linéaire des $y_i$ ne fait intervenir qu'un
nombre fini de ceux-ci, donc un nombre fini des $y_i$ suffit à
exprimer tous les $x_j$ donc tous les éléments de $I$.
-\thingy Un anneau $A$ est dit \textbf{noethérien} lorsque tout idéal
+\thingy Un anneau $A$ est dit \defin[noethérien (anneau)]{noethérien} lorsque tout idéal
$I$ de $A$ est de type fini.
Remarquons qu'un \emph{quotient} d'un anneau noethérien est
@@ -2439,7 +2446,7 @@ $p_1 h_1 + \cdots + p_m h_m = g^\ell$, ce qu'on voulait montrer.
\thingy\label{radical-ideals}
Un idéal $\mathfrak{r}$ d'un anneau $A$ est dit
-\textbf{radical} lorsque l'anneau $A/\mathfrak{r}$ est réduit
+\defin[radical (idéal)]{radical} lorsque l'anneau $A/\mathfrak{r}$ est réduit
(cf. \ref{nilpotent-element-and-reduced-ring}), c'est-à-dire que si
$x^n \in \mathfrak{r}$ implique $x \in \mathfrak{r}$ (pour $x\in A$ et
$n \in \mathbb{N}$).
@@ -2481,13 +2488,13 @@ l'idéal $I$, on a $Z(\surd I) = Z(I)$ (car si $f^n$ s'annule en un
point alors $f$ s'annule aussi) ; on peut donc se contenter de
considérer les $Z(I)$ avec $I$ idéal radical.
-\thingy On appellera \textbf{fermé de Zariski} (défini sur $k$)
+\thingy On appellera \index{Zariski (fermé de)}\defin{fermé de Zariski} (défini sur $k$)
dans $(k^{\alg})^d$ une partie $E$ de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour
une certaine partie $\mathscr{F}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu
qu'on pouvait supposer qu'il s'agit d'un idéal radical.
Un fermé de Zariski de la forme $Z(f)$ s'appelle une
-\textbf{hypersurface}.
+\defin{hypersurface}.
Le vide est un fermé de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; l'ensemble
$(k^{\alg})^d$ tout entier est un fermé de Zariski ($Z(0) =
@@ -2655,7 +2662,7 @@ sur $\mathbb{C}$).
Lorsqu'on a besoin de désigner les éléments de $Z(I) \cap k^d$,
c'est-à-dire les solutions dans $k^d$, on dira que ce sont les
-\textbf{points rationnels} du fermé de Zariski $Z(I)$ : cette
+\defin[rationnel (point)]{points rationnels} du fermé de Zariski $Z(I)$ : cette
terminologie vient de la situation $k=\mathbb{Q}$ et a été étendue à
n'importe quel corps. (À titre d'exemple, $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$
est un point rationnel du « cercle » $Z(x^2+y^2-1)$ sur $\mathbb{Q}$,
@@ -2669,7 +2676,7 @@ fixés par le groupe de Galois absolu, i.e., par tous les
automorphismes de $k^{\alg}$ au-dessus de $k$.
Par opposition à « point rationnel », un élément de $Z(I)$ peut
-s'appeler un \textbf{point géométrique} : de façon générale, le terme
+s'appeler un \defin[géométrique (point)]{point géométrique} : de façon générale, le terme
« géométrique » a souvent la signification « défini sur la clôture
algébrique ».
@@ -2691,14 +2698,14 @@ $\mathfrak{I}(Z(I))$ par définition. Il s'ensuit que son image,
c'est-à-dire les restrictions à $Z(I)$ des polynômes dans
$k[t_1,\ldots,t_d]$, s'identifie à
$k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{I}(Z(I))$, c'est-à-dire
-$k[t_1,\ldots,t_d]/I$. Cet anneau quotient s'appelle l'\textbf{anneau
+$k[t_1,\ldots,t_d]/I$. Cet anneau quotient s'appelle l'\defin[régulières (fonctions)]{anneau
des fonctions régulières} du fermé de Zariski $Z(I)$ (une fonction
régulière est donc simplement la restriction d'un polynôme).
\bigbreak
\thingy\label{definition-irreducible-closed-set}
-On dit qu'un fermé de Zariski $Z(I)$ est \textbf{irréductible}
+On dit qu'un fermé de Zariski $Z(I)$ est \defin{irréductible}
lorsqu'il ne peut pas s'écrire comme réunion de deux fermés de Zariski
différents de lui, i.e., si $Z(I) = Z(I_1) \cup Z(I_2)$ alors $Z(I_1)
= Z(I)$ ou bien $Z(I_2) = Z(I)$.
@@ -2756,8 +2763,8 @@ qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_n]$ peut être irréductible mais
cesser de l'être quand on le considère à coefficients dans un corps
plus gros (notamment, tout polynôme de degré $>1$ en $n=1$ variable se
factorise dans $k^{\alg}$). Lorsque ceci \emph{ne} se produit
-\emph{pas}, on dit que le polynôme est \textbf{géométriquement
- irréductible} ou \textbf{absolument irréductible}. Plus
+\emph{pas}, on dit que le polynôme est \defin{géométriquement
+ irréductible} ou \defin{absolument irréductible}. Plus
précisément :
\begin{itemize}
@@ -2821,7 +2828,7 @@ vectoriels isomorphes, mais il y a un \emph{unique} isomorphisme entre
eux qui soit compatible avec les applications $\iota_1\colon V\to
V'_1$ et $\iota_2\colon V\to V'_2$ construites en même temps.
-Cet espace $V'$ s'appelle l'\textbf{extension des scalaires} de $V$ de
+Cet espace $V'$ s'appelle l'\defin{extension des scalaires} de $V$ de
$k$ à $k'$ et se note $V \otimes_k k'$. Sa dimension sur $k'$ est,
par contruction, égale à la dimension de $V$ sur $k$. On notera
$x\otimes 1$ l'élément $\iota(x)$ défini ci-dessus (dont les
@@ -2860,7 +2867,7 @@ trois espaces vectoriels ou plus.
\thingy Signalons au passage, sans plus développer, que l'extension
des scalaires qu'on a définie ci-dessus fait partie d'une construction
-plus générale appelée \textbf{produit tensoriel}. Le produit
+plus générale appelée \index{tensoriel (produit)}\defin{produit tensoriel}. Le produit
tensoriel de deux espaces vectoriels $V$ et $W$ sur un corps $k$ est
l'espace vectoriel $V\otimes_k W$ dont une base est le produit d'une
base de $V$ et d'une base de $W$ (dans le cas qu'on a considéré, une
@@ -3015,11 +3022,11 @@ polynôme en $y$.)
\subsection{Définition et premiers exemples}
\thingy\label{definition-function-field}
-Soit $k$ un corps. On appelle \textbf{corps de fonctions de
+Soit $k$ un corps. On appelle \defin[fonctions (corps de)]{corps de fonctions de
dimension $n$} sur $k$ une extension de corps de $k$ qui soit de
type fini (cf. \ref{subfield-generated}) et de degré de
transcendance $n$ sur $k$ (cf. \ref{definition-transcendence-degree}).
-Notamment, pour $n=1$, on parle de \textbf{corps de fonctions de
+Notamment, pour $n=1$, on parle de \defin[courbe (corps de fonctions)]{corps de fonctions de
courbe} sur $k$.
Par abus de langage, on dira parfois simplement que $K$ est une
@@ -3051,7 +3058,7 @@ d'être donnée.
\thingy La courbe la plus simple est donnée par le corps $k(t)$ des
fractions rationnelles en une indéterminée $t$ (l'extension
\emph{transcendante pure} de degré de transcendance $1$) : on
-l'appelle \textbf{droite projective} (ou simplement « droite »)
+l'appelle \defin{droite projective} (ou simplement « droite »)
sur $k$ et on peut la noter $\mathbb{P}^1_k$ ou simplement
$\mathbb{P}^1$ (ainsi, $k(\mathbb{P}^1_k) := k(t)$).
@@ -3193,7 +3200,7 @@ vers $B$ qui annule l'image de $P$), et en vérifiant que $t \mapsto
\frac{y}{x+1}$ est sa réciproque, on voit que c'est un isomorphisme.
Toute cette situation se résume en disant que le cercle $C =
-\{x^2+y^2=1\}$ est une courbe \textbf{rationnelle} (sur le corps $k$
+\{x^2+y^2=1\}$ est une courbe \defin[rationnelle (courbe)]{rationnelle} (sur le corps $k$
quelconque de caractéristique $\neq 2$), ou rationnellement
paramétrée. Le cadre dans lequel nous considérons les courbes fait
qu'on « ne voit pas » la différence entre les courbes rationnelles et
@@ -3240,7 +3247,7 @@ une « conique sans point(s) » (c'est-à-dire : sans point
données par des fermés de Zariski ayant des points \emph{singuliers}.
On dit qu'un point (à coordonnées dans la clôture algébrique !) du
fermé de Zariski $\{P=0\}$ (avec $P \in k[x,y]$ non constant) est
-\textbf{singulier} lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent
+\defin[singulier (point)]{singulier} lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent
simultanément.
\begin{itemize}
\item La courbe d'équation $y^2 = x^3 + x^2$ sur un corps de
@@ -3248,7 +3255,7 @@ simultanément.
irréductible car un facteur de degré $1$ serait de la forme $x - c$
en regardant les termes de plus haut degré, et on se convainc
facilement que cette courbe ne contient pas de droite verticale
- $x=c$.) Cette courbe porte le nom standard de « \textbf{cubique nodale} »,
+ $x=c$.) Cette courbe porte le nom standard de « \defin{cubique nodale} »,
et le point $(0,0)$ est y appelé un « point double ordinaire ».
(Formellement un point est un point double ordinaire de $\{P=0\}$
avec $P$ irréductible lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent mais que
@@ -3309,7 +3316,7 @@ simultanément.
\end{center}
\bigskip
\item La courbe d'équation $y^2 = x^3$ (toujours irréductible). Cette
- courbe porte le nom de « \textbf{cubique cuspidale} » parce que le
+ courbe porte le nom de « \defin{cubique cuspidale} » parce que le
point $(0,0)$ est un « cusp » ou point de rebroussement. Le même
procédé de paramétrage que ci-dessus donne $x = t^2$ et $y = t^3$
(par ailleurs trouvable directement). Cette fois-ci, il y a bien
@@ -3419,9 +3426,9 @@ courbes du tout : si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal
premier quelconque, alors $X := Z(I)$ est un fermé de Zariski
irréductible, et le corps des fractions de l'anneau intègre
$k[t_1,\ldots,t_d]/I$ des fonctions régulières sur $X$ mérite de
-s'appeler \textbf{corps des fonctions rationnelles} de $X$, qu'on peut
+s'appeler \defin[rationnelle (fonction)]{corps des fonctions rationnelles} de $X$, qu'on peut
noter $k(X)$. Le degré de transcendance $\degtrans_k k(X)$ sera
-appelé \textbf{dimension} de $X$, mais nous ne considérerons vraiment
+appelé \defin{dimension} de $X$, mais nous ne considérerons vraiment
que le cas des courbes, c'est-à-dire, de la dimension $1$ : celui-ci a
de particulier qu'on pourra alors voir un élément de $k(X)$ comme une
vraie fonction de $X$ vers $\mathbb{P}^1$, quitte à lui la
@@ -3469,6 +3476,12 @@ non-singulières).
% * Différentielles.
% * Valuations. Clôture intégrale ?
+%
+%
+%
+
+\printindex
+
%
%