summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/notes-accq205.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-31 13:19:28 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-31 13:19:28 (GMT)
commit2a3985128157eab35a1e04b9fff3ddc2b9d7f88d (patch)
treeeb6035bddbb002669966a6a7add9b478cf9ca0be /notes-accq205.tex
parent96e6cec27026fe0c481d7673255ba7ae423ad5d4 (diff)
downloadaccq205-2a3985128157eab35a1e04b9fff3ddc2b9d7f88d.zip
accq205-2a3985128157eab35a1e04b9fff3ddc2b9d7f88d.tar.gz
accq205-2a3985128157eab35a1e04b9fff3ddc2b9d7f88d.tar.bz2
Additional statement in the key lemma, on the degree of the residue field.
Diffstat (limited to 'notes-accq205.tex')
-rw-r--r--notes-accq205.tex47
1 files changed, 37 insertions, 10 deletions
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index a6b427e..b421609 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -3609,16 +3609,20 @@ inversible, c'est le plus grand idéal strict (=différent de l'idéal
unité) pour l'inclusion, c'est donc bien le seul idéal maximal.
\end{proof}
-\thingy Le corps quotient de $R$ par son idéal maximal $\mathfrak{m}$
-s'appelle le \defin{corps résiduel} d'un anneau local, ou en
-particulier, d'un anneau de valuation avec $\mathfrak{m} := \{x\in R :
-v(x)>0\}$ comme on vient de l'expliquer. Lorsque $v$ est une
-valuation sur un corps $K$, on peut bien sûr parler de son corps
-résiduel, défini comme le quotient de l'anneau de valuation $R :=
-\{x\in K : v(x) \geq 0\}$ par l'unique idéal maximal de ce dernier.
+\thingy Le corps quotient d'un anneau local $R$ par son idéal maximal
+$\mathfrak{m}$ s'appelle le \index{résiduel (corps)}\defin{corps
+ résiduel} de $R$ ; en particulier, ceci s'applique à un anneau de
+valuation avec $\mathfrak{m} := \{x\in R : v(x)>0\}$ comme on vient de
+l'expliquer. Lorsque $v$ est une valuation sur un corps $K$, on peut
+bien sûr parler de son corps résiduel, défini comme le quotient de
+l'anneau de valuation $R := \{x\in K : v(x) \geq 0\}$ par l'unique
+idéal maximal de ce dernier.
On note parfois $\mathcal{O}_v$ pour l'anneau de valuation d'une
-valuation $v$ et $\mathfrak{m}_v$ pour son idéal maximal.
+valuation $v$ et $\mathfrak{m}_v$ pour son idéal maximal, et enfin
+$\varkappa_v$ pour son corps résiduel $\mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$.
+On remarquera que si la place $v$ est au-dessus de $k$, alors
+$\varkappa_v$ est une extension de $k$.
Une valuation non-triviale au-dessus de $k$ sur un corps $K$ de
fonctions sur $k$ comme en \ref{definition-function-field} s'appelle
@@ -3642,6 +3646,11 @@ sur $k$ et le corps $K$ est \emph{fini} sur $k(x)$.
v(x_n) < \infty$, alors $x_1,\ldots,x_n$ sont linéairement
indépendants sur $k(x_n)$, et en particulier le degré $[K : k(x_n)]$
(lequel est fini d'après (A)) est supérieur ou égal à $n$.
+
+(C) Si $x$ vérifie $0 < v(x) < \infty$, alors $[\varkappa_v : k] \leq
+[K : k(x)]$ (en particulier, il est fini d'après (A)), où $\varkappa_v
+:= \mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$ est le corps résiduel de la
+place $v$.
\end{lem}
\begin{proof}
Pour ce qui est de (A), commençons par supposer $v(x) < 0$ et
@@ -3662,8 +3671,8 @@ fini, elle est \emph{finie}
(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(1)). Ceci démontre (A).
Passons à l'affirmation (B) : supposons qu'on ait $f_1 x_1 + \cdots +
-f_n x_n$ avec $f_i \in k(x_n)$ non tous nuls. Posons $x := x_n$. On
-a vu ci-dessus que $x$ était transcendant sur $k$, c'est-à-dire que
+f_n x_n = 0$ avec $f_i \in k(x_n)$ non tous nuls. Posons $x := x_n$.
+On a vu ci-dessus que $x$ était transcendant sur $k$, c'est-à-dire que
les $f_i$ sont des fractions rationnelles en $x$. Quitte à chasser
les dénominateurs, on peut supposer $f_i \in k[x]$ et que $x$ ne les
divise pas tous. Soit $c_i = f_i(0)$ le terme constant de $f_i$ (non
@@ -3674,6 +3683,24 @@ la valuation $v(c_j x_j) = v(x_j)$ est strictement plus petite que
celle de n'importe quel autre terme dans cette somme (puisque $v(g_i)
\geq 0$ et $v(x x_i) = v(x_n) + v(x_i) > v(x_n) \geq v(x_j)$), ce qui
interdit que la somme puisse être nulle. Ceci démontre (B).
+
+Pour ce qui est de (C) : considérons des éléments $b_1,\ldots,b_n$ de
+$\varkappa_v$ qui sont linéairement indépendants sur $k$, et soient
+$y_i \in \mathcal{O}_v$ qui représente la classe $b_i \in \varkappa_v
+= \mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$ : on aura montré (C) si on montre que
+$y_1,\ldots,y_n$ sont linéairement indépendants sur $k(x)$. Supposons
+qu'on ait $f_1 y_1 + \cdots + f_n y_n = 0$ avec $f_i \in k(x)$ non
+tous nuls. On a vu en (A) que $x$ était transcendant sur $k$,
+c'est-à-dire que les $f_i$ sont des fractions rationnelles en $x$.
+Quitte à chasser les dénominateurs, on peut supposer $f_i \in k[x]$ et
+que $x$ ne les divise pas tous. Soit $c_i = f_i(0) \in k$ le terme
+constant de $f_i$ (non tous nuls, donc), mettons $f_i = c_i + x g_i$
+où $g_i \in k[x]$. On a $c_1 y_1 + \cdots + c_n y_n + g_1 x y_1 +
+\cdots + g_n x y_n =0$. Tous les termes de cette somme sont dans
+$\mathcal{O}_v$ : en réduisant modulo $\mathfrak{m}_v$, les $g_i x
+y_i$ disparaissent car $x \in \mathfrak{m}_v$ par hypothèse, et les
+$y_i$ se réduisent en $b_i$. On a donc $c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n =
+0$, une contradiction. Ceci démontre (C).
\end{proof}
\begin{prop}