summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/notes-accq205.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-08 13:26:19 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-08 13:26:19 (GMT)
commit37ed8e98b5ee7200288490fe8787753beca0d8fe (patch)
tree5a9e3814b7526cea08aaf08da0a66f41e8dc381d /notes-accq205.tex
parentceae182060fd857824f396a8f161ffebcb9b8c02 (diff)
downloadaccq205-37ed8e98b5ee7200288490fe8787753beca0d8fe.zip
accq205-37ed8e98b5ee7200288490fe8787753beca0d8fe.tar.gz
accq205-37ed8e98b5ee7200288490fe8787753beca0d8fe.tar.bz2
Record more precise statement proved in a lemma, for future use.
Diffstat (limited to 'notes-accq205.tex')
-rw-r--r--notes-accq205.tex12
1 files changed, 9 insertions, 3 deletions
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index c30b845..4d57c4b 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -4602,6 +4602,11 @@ place $v_i$, cf. \ref{degree-of-a-place}) est $\dim_k(\varkappa_i)$
avec $\varkappa_i := \mathcal{O}_i/\mathfrak{m}_i$ le corps résiduel
de $v_i$, et où $\tilde k$ est le corps des constantes (fermeture
algébrique de $k$ dans $K$, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}).
+
+Plus exactement, la dimension de $L$ est $[\tilde k:k]$ lorsque tous
+les $r_i$ sont nuls, et augmente d'au plus $\deg(v_i)$ lorsque $r_i$
+est augmenté de $1$.
+
En particulier, cette dimension est \emph{finie}.
\end{lem}
\begin{proof}
@@ -4611,8 +4616,8 @@ précisément $\tilde k$
(cf. \ref{valuation-rings-and-integral-closure}), donc la formule est
vérifiée dans ce cas.
-Supposons la propriété vérifiée pour certains $r_j$ et montrons
-qu'elle l'est encore quand on remplace l'un d'entre eux, disons $r_i$,
+Supposons l'inégalité vérifiée pour certains $r_j$ et montrons qu'elle
+l'est encore quand on remplace l'un d'entre eux, disons $r_i$,
par $r'_i := r_i+1$, avec $r'_j = r_j$ si $j\neq i$. Soit $L'$
l'espace correspondant (défini de la même façon que $L$ mais avec
les $r'_j$). Soit $z$ tel que $v_j(z) = r_j+1$. Alors pour $f \in
@@ -4623,7 +4628,8 @@ application $k$-linéaire $L'\to\varkappa_i$ envoyant $f$ sur la classe
de $fz \in \mathcal{O}_i$ modulo $\mathfrak{m}_i$, dont le noyau
est $L$. En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) +
\dim_k(L) \leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n r'_i\, \deg(v_i)$, ce qui
-conclut la récurrence.
+conclut la récurrence ; et on a bien montré l'affirmation commençant
+par « plus exactement ».
\end{proof}
\begin{thm}[« identité du degré »]\label{degree-identity}