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path: root/notes-accq205.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-07 18:37:27 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-07 18:37:27 +0100
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index 1a116c9..58950c3 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -1681,7 +1681,7 @@ on choisit pour $c$ une valeur dans $k$ différente de tous les $(z_1 -
x_1)/(x_2 - z_2)$ pour $z_1$ parcourant les racines de $f_1$ et $z_2$
parcourant celles de $f_2$ (autres que $x_2$), ce qui est possible vu
que $k$ est infini et qu'on n'exclut qu'un nombre fini de valeurs,
-alors la seule racine commune de $f_1$ et $g$ est $x_2$. Comme de
+alors la seule racine commune de $f_2$ et $g$ est $x_2$. Comme de
plus $f_1$ est séparable, cette racine est simple pour $f_1$ donc
pour $h$, et ainsi $x_2$ est racine d'un polynôme $h$ dans $k(y)$
ayant une unique seule racine, de surcroît simple, dans un corps $L$
@@ -1690,8 +1690,8 @@ $x_2 \in k(y)$, et on a expliqué que cela conclut.
\end{proof}
\begin{cor}
-Toute extension finie séparable d'un corps parfait est monogène. En
-particulier, toute extension finie d'un corps parfait est monogène.
+Toute extension finie séparable est monogène. En particulier, toute
+extension finie d'un corps parfait est monogène.
\end{cor}
\begin{proof}
Soit $k \subseteq K$ une extension finie séparable : d'après
@@ -1707,8 +1707,9 @@ Soit $k$ un corps parfait et $k \subseteq K$ une extension de corps de
type fini (cf. \ref{subfield-generated}). Alors il existe
$x_1,\ldots,x_{d+1} \in K$ tels que $K = k(x_1,\ldots,x_{d+1})$ avec
$x_1,\ldots,x_d$ algébriquement indépendants sur $k$
-(cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et $x_{d+1}$ séparable sur
-$k(x_1,\ldots,x_d)$ (cf. \ref{definition-separable-element}).
+(cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et $x_{d+1}$ algébrique
+séparable sur $k(x_1,\ldots,x_d)$
+(cf. \ref{definition-separable-element}).
\end{prop}
\begin{proof}
Supposons $K = k(w_1,\ldots,w_n)$ et soit $d = \degtrans_k(K)$ :
@@ -1716,9 +1717,9 @@ quitte à permuter les $w_i$, on peut supposer que $w_1,\ldots,w_d$
sont algébriquement indépendants sur $K$
(cf. \ref{transcendence-basis-facts}(1b)). Alors tout $y \in K$ est
algébrique sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, donc on peut écrire
-$f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[y]$
+$f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[u]$
irréductible, donc, quitte à chasser les dénominateurs, $f \in
-k[t_1,\ldots,t_d,y]$ irréductible.
+k[t_1,\ldots,t_d,u]$ irréductible.
En particulier, on peut trouver un tel polynôme $f \in
k[t_1,\ldots,t_{d+1}]$ irréductible tel que $f(w_1,\ldots,w_{d+1}) =