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diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index e23dad4..ae93c7d 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -173,12 +173,12 @@ cette égalité). \smallbreak -Soit $A := k[f_1,\ldots,f_m]$ la sous-$k$-algèbre de -$k[t_1,\ldots,t_n]$ engendrée par les éléments $f_1,\ldots,f_m$. +Soit $K = k(f_1,\ldots,f_m)$ le sous-corps de $k(t_1,\ldots,t_n)$ +engendré par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$. (3) Réinterpréter l'égalité du (2) pour expliquer que tout monôme $q$ de degré total $\deg q \geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme -combinaison $A$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de +combinaison $K$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de degré total $< \deg q$. En déduire la même conclusion avec maintenant des monômes chacun de degré $< r$. @@ -186,25 +186,20 @@ des monômes chacun de degré $< r$. En décomposant chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total $\deg q - d_j$, l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue en (2) signifie que (si $q$ est un monôme de degré $\geq r$) le monôme -$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $A$ des monômes de +$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $K$ des monômes de degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que lui. En récrivant de nouveau les monômes qui sont de plus grand degré $\geq r$ comme combinaison des monômes de degré strictement plus petit qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand -degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $A$-linéaire +degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $K$-linéaire décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à -$r$), on finit par arriver à une combinaison $A$-linéaire de monômes +$r$), on finit par arriver à une combinaison $K$-linéaire de monômes chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée. \end{corrige} \smallbreak -Soit $K$ le corps des fractions de l'anneau intègre $A$ (vu à -l'intérieur de $k(t_1,\ldots,t_n)$), c'est-à-dire la sous-extension -$k(f_1,\ldots,f_m)$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée -par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$. - (4) Déduire de (3) que la sous-$K$-algèbre $K[t_1,\ldots,t_n]$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée par les $t_i$ (i.e., l'ensemble des combinaisons $K$-linéaires des monômes en $t_1,\ldots,t_n$) est un @@ -215,11 +210,11 @@ de dimension finie. \begin{corrige} On vient de voir que tout monôme en les $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme -combinaison linéaire à coefficients dans $A$, donc à plus forte raison -dans $K$, des monômes de degré $<r$. Comme il n'y a qu'un nombre fini -de monômes de degré $<r$, le $K$-espace vectoriel $K[t_1,\ldots,t_n]$ -engendré (dans $k(t_1,\ldots,t_n)$) par tous les monômes en les $t_i$ -est de dimension finie. +combinaison linéaire à coefficients dans $K$ des monômes de degré +$<r$. Comme il n'y a qu'un nombre fini de monômes de degré $<r$, le +$K$-espace vectoriel $K[t_1,\ldots,t_n]$ engendré (dans +$k(t_1,\ldots,t_n)$) par tous les monômes en les $t_i$ est de +dimension finie. Or $K[t_1,\ldots,t_n]$ est également un anneau intègre (puisque c'est un sous-anneau du corps $k(t_1,\ldots,t_n)$) : et un anneau intègre de |