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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-16 14:24:12 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-17 16:40:18 (GMT)
commit8974d633926df3aa23262429c50952a7b86cb639 (patch)
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-rw-r--r--controle-20160421.tex27
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index e23dad4..ae93c7d 100644
--- a/controle-20160421.tex
+++ b/controle-20160421.tex
@@ -173,12 +173,12 @@ cette égalité).
\smallbreak
-Soit $A := k[f_1,\ldots,f_m]$ la sous-$k$-algèbre de
-$k[t_1,\ldots,t_n]$ engendrée par les éléments $f_1,\ldots,f_m$.
+Soit $K = k(f_1,\ldots,f_m)$ le sous-corps de $k(t_1,\ldots,t_n)$
+engendré par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$.
(3) Réinterpréter l'égalité du (2) pour expliquer que tout monôme $q$
de degré total $\deg q \geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme
-combinaison $A$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de
+combinaison $K$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de
degré total $< \deg q$. En déduire la même conclusion avec maintenant
des monômes chacun de degré $< r$.
@@ -186,25 +186,20 @@ des monômes chacun de degré $< r$.
En décomposant chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total
$\deg q - d_j$, l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue
en (2) signifie que (si $q$ est un monôme de degré $\geq r$) le monôme
-$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $A$ des monômes de
+$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $K$ des monômes de
degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que lui.
En récrivant de nouveau les monômes qui sont de plus grand degré $\geq
r$ comme combinaison des monômes de degré strictement plus petit
qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand
-degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $A$-linéaire
+degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $K$-linéaire
décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à
-$r$), on finit par arriver à une combinaison $A$-linéaire de monômes
+$r$), on finit par arriver à une combinaison $K$-linéaire de monômes
chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée.
\end{corrige}
\smallbreak
-Soit $K$ le corps des fractions de l'anneau intègre $A$ (vu à
-l'intérieur de $k(t_1,\ldots,t_n)$), c'est-à-dire la sous-extension
-$k(f_1,\ldots,f_m)$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée
-par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$.
-
(4) Déduire de (3) que la sous-$K$-algèbre $K[t_1,\ldots,t_n]$ de
$k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée par les $t_i$ (i.e., l'ensemble des
combinaisons $K$-linéaires des monômes en $t_1,\ldots,t_n$) est un
@@ -215,11 +210,11 @@ de dimension finie.
\begin{corrige}
On vient de voir que tout monôme en les $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme
-combinaison linéaire à coefficients dans $A$, donc à plus forte raison
-dans $K$, des monômes de degré $<r$. Comme il n'y a qu'un nombre fini
-de monômes de degré $<r$, le $K$-espace vectoriel $K[t_1,\ldots,t_n]$
-engendré (dans $k(t_1,\ldots,t_n)$) par tous les monômes en les $t_i$
-est de dimension finie.
+combinaison linéaire à coefficients dans $K$ des monômes de degré
+$<r$. Comme il n'y a qu'un nombre fini de monômes de degré $<r$, le
+$K$-espace vectoriel $K[t_1,\ldots,t_n]$ engendré (dans
+$k(t_1,\ldots,t_n)$) par tous les monômes en les $t_i$ est de
+dimension finie.
Or $K[t_1,\ldots,t_n]$ est également un anneau intègre (puisque c'est
un sous-anneau du corps $k(t_1,\ldots,t_n)$) : et un anneau intègre de