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diff --git a/controle-20220413.tex b/controle-20220413.tex new file mode 100644 index 0000000..da108d6 --- /dev/null +++ b/controle-20220413.tex @@ -0,0 +1,155 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +\usepackage{hyperref} +% +%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout} +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newcommand\exercice{% +\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\else +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\fi +\author{} +\date{14 avril 2021} +\maketitle + +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + +\vskip1truein\relax + +\noindent\textbf{Consignes.} + +Les exercices sont totalement indépendants. Ils pourront être traités +dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon +très visible dans les copies où commence chaque exercice. + +La longueur du sujet ne doit pas effrayer : l'énoncé est long parce +que des rappels ont été faits et que la rédaction des questions +cherche à éviter toute ambiguïté. Les réponses attendues sont +généralement beaucoup plus courtes que les questions elles-mêmes. + +La difficulté des questions étant varié, il vaut mieux ne pas rester +bloqué trop longtemps. + +Si on ne sait pas répondre rigoureusement, une réponse informelle peut +valoir une partie des points. + +\medbreak + +L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou +imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. + +L'usage des appareils électroniques est interdit. + +\medbreak + +Durée : 2h + +\ifcorrige +Ce corrigé comporte 9 pages (page de garde incluse). +\else +Cet énoncé comporte 4 pages (page de garde incluse). +\fi + +\vfill +{\noindent\tiny +\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +Git: \input{vcline.tex} +\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +\par} + +\pagebreak + + +% +% +% + +\exercice + +Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$. Soit $C$ le fermé de +Zariski de $\mathbb{A}^2$ sur $k$ d'équation $x^2 + y^2 = 2$ (ainsi, +pour $k = \mathbb{R}$, les points réels de $C$ forment un cercle +euclidien de rayon $\sqrt{2}$). + +(1) Décrire la complétée projective $C^+$ de $C$ (c'est-à-dire +l'adhérence de $C$ dans $\mathbb{P}^2$ où on identifie comme +d'habitude $\mathbb{A}^2$ à l'ouvert $T\neq 0$ du $\mathbb{P}^2$ de +coordonnées $(T:X:Y)$ en envoyant $(x,y)$ sur $(1:x:y)$). + +(2) En remarquant que $P := (1,1)$ est un $k$-point de $C$ et en +considérant une droite $D_t$ de pente $t$ variable passant par $P$, +construire un morphisme d'un ouvert\footnote{C'est-à-dire qu'il peut + admettre un nombre fini de points (géométriques) où il n'est pas + défini.} de $\mathbb{A}^1$ vers $C$ (défini sur $k$), en envoyant +$t$ sur le point d'intersection autre que $P$ de $C$ avec la +droite $D_t$. + +(3) En déduire un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^+$ (défini sur $k$) en +prolongeant le morphisme de la question précédente. + +(4) Donner un exemple de solution entière $(u,v,w) \in \mathbb{Z}^3$ +de l'équation $u^2 + v^2 = 2w^2$ autre que $(0,0,0)$ et $(\pm 1, \pm +1, \pm 1)$. + + +% +% +% +\end{document} |