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| author | david <david> | 2009-11-17 20:44:48 +0000 |
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| committer | david <david> | 2009-11-17 20:44:48 +0000 |
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Correct 4(B).
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1 files changed, 20 insertions, 0 deletions
diff --git a/controle-20091124.tex b/controle-20091124.tex index f29d01c..b527022 100644 --- a/controle-20091124.tex +++ b/controle-20091124.tex @@ -520,6 +520,26 @@ dire de $\mathbb{F}_3[t]/(t^2 + t)$�? (Plusieurs r�ponses possibles.) \begin{corrige} +(B)�(1)�Le polyn�me $f = t^2 + t \in \mathbb{F}_3[t]$ s'annule en $0$ + et en�$-1$�: ce sont les deux racines de�$f$, et on a donc $f = + t(t+1)$, qui est la d�composition en facteurs irr�ductibles de ce + polyn�me. + +\leavevmode\hphantom{(B)}�(2)�On peut dire que puisque $f = t^2 + t$ +n'est pas irr�ductible, l'anneau $\mathbb{F}_3[t]/(f)$ n'est pas un +corps�: et d'ailleurs ni $\bar t$ ni $\bar t + 1$ n'est inversible +dans cet anneau puisque leur produit est $\bar t^2 + \bar t = 0$ (ce +n'est pas un anneau int�gre). On peut aussi �tre plus pr�cis�: +puisque $f = t(t+1)$, le th�or�me chinois assure que +$\mathbb{F}_3[t]/(f) \cong \mathbb{F}_3[t]/(t) \times +\mathbb{F}_3[t]/(t+1)$ (o� $\cong$ signifie ��isomorphe��), +c'est-�-dire en fait $\mathbb{F}_3[t]/(f) \cong \mathbb{F}_3 \times +\mathbb{F}_3$ avec un isomorphisme $\mathbb{F}_3[t]/(f) \to +\mathbb{F}_3 \times \mathbb{F}_3$ qui envoie la classe dans +$\mathbb{F}_3[t]/(f)$ d'un polyn�me $u \in \mathbb{F}_3[t]$ sur le +couple $(u(0), u(-1))$ form� des valeurs en $0$ et $-1$ de�$u$�; le +fait qu'on ait $\bar t \cdot (\bar t + 1) = 0$ se traduit, +\textit{via} cet isomorphism, en $(0,-1)\cdot (1,0) = (0,0)$. \end{corrige} \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi |