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| author | david <david> | 2008-10-19 18:48:48 +0000 |
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Basically what I did last week.
| -rw-r--r-- | rappels-maths.tex | 59 |
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diff --git a/rappels-maths.tex b/rappels-maths.tex index e56aa48..7fad063 100644 --- a/rappels-maths.tex +++ b/rappels-maths.tex @@ -30,6 +30,7 @@ \newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}} \newcommand{\signe}{\operatorname{signe}} \newcommand{\tee}{\mathbin{\top}} +\newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % % @@ -40,7 +41,7 @@ \maketitle {\footnotesize \begin{center} -CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.6 2008-10-14 11:15:34 david Exp $= +CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.7 2008-10-19 18:48:48 david Exp $= \end{center} \par} \pretolerance=10000 @@ -1012,6 +1013,12 @@ n'est pas un corps). Exercice�: dresser les tables de $\mathbb{F}_2[t]/(t^2+t+1)$. +\medskip + +\textbf{Important�:} $k[t]/(P)$ est un corps \emph{si et seulement si} +$P \in k[t]$ est irr�ductible. Lorsque c'est le cas, on dit que c'est +le \textbf{corps de rupture} de�$P$ sur�$k$. + % \section{Corps finis} @@ -1026,6 +1033,56 @@ Le corps est alors un espace vectoriel dessus�: si $d$ est sa dimension, son nombre d'�l�ments est $p^d$. % +\subsection{Unicit�} + +Dans un corps $F$ � $q$ �l�ments, on a $a^{q-1} = 1$ pour tout $a \in +K^\times$ (par Lagrange) donc on a $a^q = a$ pour tout�$a \in K$. + +Comme le polyn�me $t^q-t$, de degr� $q$, ne peut avoir que $q$ +racines, si $F$ est contenu dans un corps $L$ plus gros, alors $F = +\{x\in L : x^q = x\}$. Moralit�: un corps ne peut contenir qu'un +seul corps fini � $q$ �l�ments (pour�$q$ fix�). + +En particulier, le sous-corps premier $\mathbb{F}_p$ d'un corps $L$ de +caract�ristique�$p$ est $\mathbb{F}_p = \{x\in L : x^p = x\}$. + +On admet �galement l'unicit� � isomorphisme pr�s�: deux corps finis � +$q$ �l�ments, pour le m�me�$q$, sont isomorphes. + +% +\subsection{Morphisme de Frobenius} + +Si $K$ est un corps de caract�ristique $p$ alors $\Frob\colon K\to K, +x\mapsto x^p$ (le morphisme de Frobenius) est un morphisme de corps +($\Frob(xy) = \Frob(x)\,\Frob(y)$ toujours vrai, et $\Frob(x+y) = +\Frob(x) + \Frob(y)$ car on est en caract�ristique�$p$ donc tous les +coefficients binomiaux interm�diaires sont multiples de�$p$ donc +nuls). On le note aussi $\Frob_p$ pour �viter l'ambigu�t�. + +Si $q = p^d$, on a souvent besoin d'introduire $\Frob^d = \Frob_q +\colon x \mapsto x^q$ (compos�e $d$-i�me du Frobenius). Notamment, +dans un corps � $q = p^d$ �l�ments, puisque $x^q = x$ pour tout�$x$, +la compos�e $d$ fois de $\Frob_p$ est l'identit�. + +% +\subsection{Existence et inclusions des corps finis} + +Pour tout nombre premier�$p$ et tout $d \geq 1$, il existe un corps � +$q = p^d$ �l�ments, qu'on peut noter $\mathbb{F}_q$. On peut le voir +comme $\mathbb{F}_q \cong \mathbb{F}_p[t]/(f)$ pour un certain +polyn�me $f \in \mathbb{F}_p[t]$ irr�ductible de degr�$d$ +(l'affirmation est qu'il en existe�!). + +Si $q = p^d$ et $q' = p^{\prime d'}$, alors $\mathbb{F}_q$ est contenu +dans $\mathbb{F}_{q'}$ (plus proprement�: $\mathbb{F}_{q'}$ contient +un sous-corps ayant $q$ �l�ments) si et seulement si�: (1)�$p=p'$ et +(2)�$d|d'$. Cela �quivaut encore �: $q'$ est une puissance de�$q$. +(Exemple�: $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $\mathbb{F}_{16}$ mais pas +dans $\mathbb{F}_8$.) Lorsque c'est le cas, alors $\mathbb{F}_{q'} +\cong \mathbb{F}_q[t]/(f)$ pour un certain polyn�me $f \in +\mathbb{F}_q[t]$ irr�ductible de degr�$d'/d$. + +% % % \end{document} |