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authordavid <david>2008-10-19 18:48:48 +0000
committerdavid <david>2008-10-19 18:48:48 +0000
commit0192c291f17f7704b72fdf4cb0f4871cb9abf13a (patch)
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Basically what I did last week.
-rw-r--r--rappels-maths.tex59
1 files changed, 58 insertions, 1 deletions
diff --git a/rappels-maths.tex b/rappels-maths.tex
index e56aa48..7fad063 100644
--- a/rappels-maths.tex
+++ b/rappels-maths.tex
@@ -30,6 +30,7 @@
\newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}}
\newcommand{\signe}{\operatorname{signe}}
\newcommand{\tee}{\mathbin{\top}}
+\newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}}
\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
%
%
@@ -40,7 +41,7 @@
\maketitle
{\footnotesize
\begin{center}
-CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.6 2008-10-14 11:15:34 david Exp $=
+CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.7 2008-10-19 18:48:48 david Exp $=
\end{center}
\par}
\pretolerance=10000
@@ -1012,6 +1013,12 @@ n'est pas un corps).
Exercice : dresser les tables de $\mathbb{F}_2[t]/(t^2+t+1)$.
+\medskip
+
+\textbf{Important :} $k[t]/(P)$ est un corps \emph{si et seulement si}
+$P \in k[t]$ est irréductible. Lorsque c'est le cas, on dit que c'est
+le \textbf{corps de rupture} de $P$ sur $k$.
+
%
\section{Corps finis}
@@ -1026,6 +1033,56 @@ Le corps est alors un espace vectoriel dessus : si $d$ est sa
dimension, son nombre d'éléments est $p^d$.
%
+\subsection{Unicité}
+
+Dans un corps $F$ à $q$ éléments, on a $a^{q-1} = 1$ pour tout $a \in
+K^\times$ (par Lagrange) donc on a $a^q = a$ pour tout $a \in K$.
+
+Comme le polynôme $t^q-t$, de degré $q$, ne peut avoir que $q$
+racines, si $F$ est contenu dans un corps $L$ plus gros, alors $F =
+\{x\in L : x^q = x\}$. Moralité : un corps ne peut contenir qu'un
+seul corps fini à $q$ éléments (pour $q$ fixé).
+
+En particulier, le sous-corps premier $\mathbb{F}_p$ d'un corps $L$ de
+caractéristique $p$ est $\mathbb{F}_p = \{x\in L : x^p = x\}$.
+
+On admet également l'unicité à isomorphisme près : deux corps finis à
+$q$ éléments, pour le même $q$, sont isomorphes.
+
+%
+\subsection{Morphisme de Frobenius}
+
+Si $K$ est un corps de caractéristique $p$ alors $\Frob\colon K\to K,
+x\mapsto x^p$ (le morphisme de Frobenius) est un morphisme de corps
+($\Frob(xy) = \Frob(x)\,\Frob(y)$ toujours vrai, et $\Frob(x+y) =
+\Frob(x) + \Frob(y)$ car on est en caractéristique $p$ donc tous les
+coefficients binomiaux intermédiaires sont multiples de $p$ donc
+nuls). On le note aussi $\Frob_p$ pour éviter l'ambiguïté.
+
+Si $q = p^d$, on a souvent besoin d'introduire $\Frob^d = \Frob_q
+\colon x \mapsto x^q$ (composée $d$-ième du Frobenius). Notamment,
+dans un corps à $q = p^d$ éléments, puisque $x^q = x$ pour tout $x$,
+la composée $d$ fois de $\Frob_p$ est l'identité.
+
+%
+\subsection{Existence et inclusions des corps finis}
+
+Pour tout nombre premier $p$ et tout $d \geq 1$, il existe un corps à
+$q = p^d$ éléments, qu'on peut noter $\mathbb{F}_q$. On peut le voir
+comme $\mathbb{F}_q \cong \mathbb{F}_p[t]/(f)$ pour un certain
+polynôme $f \in \mathbb{F}_p[t]$ irréductible de degré $d$
+(l'affirmation est qu'il en existe !).
+
+Si $q = p^d$ et $q' = p^{\prime d'}$, alors $\mathbb{F}_q$ est contenu
+dans $\mathbb{F}_{q'}$ (plus proprement : $\mathbb{F}_{q'}$ contient
+un sous-corps ayant $q$ éléments) si et seulement si : (1) $p=p'$ et
+(2) $d|d'$. Cela équivaut encore à : $q'$ est une puissance de $q$.
+(Exemple : $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $\mathbb{F}_{16}$ mais pas
+dans $\mathbb{F}_8$.) Lorsque c'est le cas, alors $\mathbb{F}_{q'}
+\cong \mathbb{F}_q[t]/(f)$ pour un certain polynôme $f \in
+\mathbb{F}_q[t]$ irréductible de degré $d'/d$.
+
+%
%
%
\end{document}