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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-22 23:46:30 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-22 23:46:30 (GMT)
commit171b3dbd570e591098ba53c64bd16eb0de916b4d (patch)
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index eae9647..29786f2 100644
--- a/controle-20121127.tex
+++ b/controle-20121127.tex
@@ -136,8 +136,8 @@ c'est-à-dire $x^{32\,768} \equiv 1 \pmod{65\,535}$. Le résultat de la
question (2) est plus fort puisqu'il affirme que déjà $x^{256} \equiv
1 \pmod{65\,535}$ (autrement dit, le théorème d'Euler affirme que
l'ordre multiplicatif de n'importe quel élément de
-$(\mathbb{Z}/65535\mathbb{Z})^\times$ divise $32\,768$ tandis que la
-question (2) affirme qu'en fait il divise $256$).
+$(\mathbb{Z}/65535\mathbb{Z})^\times$ divise $2^{15}$ tandis que la
+question (2) affirme qu'en fait il divise $2^8$).
\end{corrige}
(5) Montrer que $x^{257} \equiv x \pmod{p}$ pour tout entier $x$ et
@@ -200,18 +200,18 @@ On a vu que modulo chacun des $p \in \{3,5,17, 257\}$, il n'y a que
deux valeurs possibles de $x^{256}$ modulo $p$, à savoir $0$ ou $1$.
Comme $3,5,17,257$ sont premiers entre eux deux à deux, le théorème
chinois assure qu'une congruence modulo $65\,535$ équivaut exactement
-à une congruence modulo chacun de $3,5,17, 257$. Appelons « valeur
- magique » une classe de congruence $65\,535$ qui est congrue à $0$
-ou $1$ modulo chacun des $4$ nombres $3,5,17, 257$ : il y a $16$
-« valeurs magiques » (une pour chacune des combinaisons de $0$ ou de
-$1$ modulo chacun des $4$ nombres $3,5,17, 257$, ce qui fait $2^4 =
-16$). D'après ce qu'on a vu, $x^{256}$ est toujours une valeur
-magique modulo $65\,535$. Et de plus, si $x$ lui-même est une valeur
-magique, alors $x^{i} \equiv x \pmod{65\,535}$ pour tout $i\geq 1$
-puisque $0^{i} \equiv 0$ et $1^{i} \equiv 1$ modulo chacun des $p \in
-\{3,5,17, 257\}$. En particulier, $x^{256} \equiv x \pmod{65\,535}$.
-Donc les $16$ valeurs magiques sont bien toutes atteintes
-par $x^{256}$.
+à une congruence modulo chacun de $3,5,17, 257$. Appelons
+temporairement « valeur magique » une classe de congruence $65\,535$
+qui est congrue à $0$ ou à $1$ modulo chacun des $4$ nombres $3,5,17,
+257$ : il y a $16$ « valeurs magiques » (une pour chacune des
+combinaisons de $0$ ou de $1$ modulo chacun des $4$ nombres $3,5,17,
+257$, ce qui fait $2^4 = 16$). D'après ce qu'on a vu, $x^{256}$ est
+toujours une valeur magique modulo $65\,535$. Et de plus, si $x$
+lui-même est une valeur magique, alors $x^{i} \equiv x \pmod{65\,535}$
+pour tout $i\geq 1$ puisque $0^{i} \equiv 0$ et $1^{i} \equiv 1$
+modulo chacun des $p \in \{3,5,17, 257\}$. En particulier, $x^{256}
+\equiv x \pmod{65\,535}$ pour un tel $x$. Donc les $16$ valeurs
+magiques sont bien toutes atteintes par $x^{256}$.
\end{corrige}
%
@@ -326,12 +326,12 @@ $\alpha^{85} = \alpha^7 + \alpha^6 + \alpha^4 + \alpha^2 + \alpha$.
qualifie-t-on l'élément $\alpha$ de $E$ ? Quel est l'ordre
multiplicatif de $\beta = \alpha^{17}$ ?
\begin{corrige}
-On a vu en (2) que l'ordre de $\alpha$ est un des nombres $3, 5,
-17,\penalty0 15, \penalty0 51, \penalty0 85, \penalty0 255$. Or on a
-calculé $\alpha^i$ pour chacune des valeurs $3, 5, 17,\penalty0 15,
-\penalty0 51, \penalty0 85$, et trouvé un résultat $\neq 1$. La seule
-possibilité qui demeure est donc $255$ : l'élément $\alpha$ est
-primitif dans $E$.
+On a vu en (2) que l'ordre de $\alpha$ est un des nombres $3,
+5,\penalty0 15,\penalty0 17, \penalty0 51, \penalty0 85, \penalty0
+255$. Or on a calculé $\alpha^i$ pour chacune des valeurs $3,
+5,\penalty0 15,\penalty0 17, \penalty0 51, \penalty0 85$, et trouvé un
+résultat $\neq 1$. La seule possibilité qui demeure est donc $255$ :
+l'élément $\alpha$ est primitif dans $E$.
Quant à l'ordre de $\beta$, puisque $\beta^i = \alpha^{17i}$ vaut $1$
si et seulement si $17i$ est un multiple de $255$, c'est-à-dire si et