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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-22 22:04:36 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-22 22:04:36 (GMT)
commit1a08343a8b3171052e9cc91e3f8de9fcbf08ae65 (patch)
tree8379f149bcc3a492db02a185260ef8888a134fe6
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index f332e5b..d402e5f 100644
--- a/controle-20121127.tex
+++ b/controle-20121127.tex
@@ -137,7 +137,8 @@ On désignera par $\alpha \in E$ (plutôt que $\bar t$) la classe de $t$
modulo $f$.
(2) Que peut-on dire \textit{a priori} de l'ordre multiplicatif
-de $\alpha$ ?
+de $\alpha$ ? C'est-à-dire : quelles sont les valeurs \textit{a
+ priori} possibles ? (Remarque : $255 = 3 \times 5 \times 17$.)
(3) Calculer les valeurs de $\alpha^i$ dans $E$ (c'est-à-dire la
classe de $t^i$ modulo $f$) pour $i \leq 17$.
@@ -148,14 +149,14 @@ $\beta$ cet élément $\alpha^{17} \in E$.
(4) Calculer de même les valeurs de $\alpha^i$ les valeurs suivantes
de $i$ : $34$, $51$, $68$ et $85$ (c'est-à-dire les multiples de $17$
-jusqu'à $85$ inclus).
+jusqu'à $85$ inclus) ; si l'on préfère, ce sont les premières
+puissances de $\beta$.
Pour permettre de vérifier les calculs, on donne le dernier résultat :
$\alpha^{85} = \alpha^7 + \alpha^6 + \alpha^4 + \alpha^2 + \alpha$.
-(5) Que vaut l'ordre multiplicatif de $\alpha$ ? (Remarque : $255 = 3
-\times 5 \times 17$.) Quel est l'ordre multiplicatif de $\beta =
-\alpha^{17}$ ?
+(5) Que vaut l'ordre multiplicatif de $\alpha$ ? Quel est l'ordre
+multiplicatif de $\beta = \alpha^{17}$ ?
(6) Que vaut $\beta^{16}$ ?
@@ -169,13 +170,29 @@ P(\beta)$ qui à un polynôme $P \in \mathbb{F}_2[t]$ associe la valeur
de celui-ci en $\beta$. Par exemple, la question (7) signifie que
$\Phi(g) = 0$.
-(8) Pourquoi a-t-on $\Phi(h) = \Phi(h')$ si $h \equiv h' \pmod{g}$ ?
-En déduire qu'on peut définir une application $\varphi \colon K \to E$
-qui envoie la classe (modulo $g$) d'un polynôme $h \in
-\mathbb{F}_2[t]$ sur $\Phi(h) \in E$.
+(8) (a) Expliquer pourquoi $\Phi(h_1 + h_2) = \Phi(h_1) + \Phi(h_2)$
+et $\Phi(h_1 h_2) = \Phi(h_1)\, \Phi(h_2)$ pour tous $h_1,h_2 \in
+\mathbb{F}_2[t]$. (b) Montrer que $\Phi(h) = \Phi(h')$ si $h \equiv
+h' \pmod{g}$.
+
+(9) Déduire de (8b) qu'on peut définir une application $\varphi \colon
+K \to E$ qui envoie la classe (modulo $g$) d'un polynôme $h \in
+\mathbb{F}_2[t]$ sur $\Phi(h) \in E$. Déduire de (8a) que
+$\varphi(u_1 + u_2) = \varphi(u_1) + \varphi(u_2)$ et $\varphi(u_1
+u_2) = \varphi(u_1) \, \varphi(u_2)$ pour tous $u_1,u_2 \in K$.
+Comment qualifie-t-on $\Phi$ et $\varphi$ ?
On désignera par $\gamma \in K$ (plutôt que $\bar t$) la classe de $t$
-modulo $g$.
+modulo $g$. Ainsi, on a $\varphi(\gamma) = \beta$ (puisque $\Phi(t) =
+\beta$).
+
+(10) Montrer que le cardinal de l'image de $\varphi$, autrement dit,
+le nombre de valeurs distinctes atteintes par $\varphi$, vaut au
+moins $16$. (On pourra, par exemple, dire ce que vaut
+$\varphi(\gamma^i)$ et compter toutes les valeurs ainsi atteintes,
+sans oublier d'ajouter $\varphi(0)$.) En déduire que $\varphi$ est
+injective (=deux éléments distincts de $K$ ont toujours des images
+distinctes dans $E$), et que le polynôme $g$ est irréductible.
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