summaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-10-18 22:25:39 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-10-18 22:25:39 (GMT)
commit5069fb30da57dcb5207cd7c95ad126bf13829a84 (patch)
tree6f88e657eb46b129db71944037f11427878ae628
parent0a28adf67a8539bf6f5d3fb4b0941c70530a05bb (diff)
downloadinfmdi720-5069fb30da57dcb5207cd7c95ad126bf13829a84.zip
infmdi720-5069fb30da57dcb5207cd7c95ad126bf13829a84.tar.gz
infmdi720-5069fb30da57dcb5207cd7c95ad126bf13829a84.tar.bz2
Another exercise.
-rw-r--r--exercices2.tex33
1 files changed, 33 insertions, 0 deletions
diff --git a/exercices2.tex b/exercices2.tex
index 89f8b69..c36ddd2 100644
--- a/exercices2.tex
+++ b/exercices2.tex
@@ -256,4 +256,37 @@ t^2+\bar t+1$.
%
%
%
+
+\exercice
+
+Calculer le pgcd dans $\mathbb{F}_{11}[t]$ de $t^2 - 2$ et $t^{11}-t$.
+En déduire que $2$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_{11}$
+(c'est-à-dire qu'il n'existe pas de $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel
+que $\alpha^2 = 2$ ; indication : de quels polynômes intéressants
+$\alpha$ serait-il racine ?).
+
+\begin{corrige}
+On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^{11}-t = (t^9 +
+2t^7 + 4t^5 - 3t^3 + 5t)\penalty0 (t^2-2) + 9t$, puis $t^2-2 =
+(5t)(9t) - 2$, le dernier reste est une constante donc le pgcd
+vaut $1$.
+
+S'il y avait un $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel que $\alpha^2 = 2$,
+alors il serait racine à la fois de $t^2 - 2$ en vertu de
+$\alpha^2=2$, et $t^{11} - t$ en vertu de $\alpha\in\mathbb{F}_{11}$
+(et du petit théorème de Fermat). C'est-à-dire que $t-\alpha$ serait
+un facteur commu à $t^2-2$ et $t^{11}-t$, et on vient de voir qu'il
+n'y en a pas.
+
+\emph{Remarque :} Vérifier que $t^2-2$ et $t^{11}-t$ sont premiers
+entre eux est une des parties du critère de Rabin pour vérifier que
+$t^2-2$ est irréductible. Ici, il n'y a pas besoin d'en faire plus :
+comme $t^2-2$ n'a pas de racine, cela signifie qu'il n'a pas de
+facteur de degré $1$, et comme il est de degré $2$, il est
+irréductible.
+\end{corrige}
+
+%
+%
+%
\end{document}