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authordavid <david>2008-10-19 22:53:13 +0000
committerdavid <david>2008-10-19 22:53:13 +0000
commita7d606004af4ebe845afbf36a72735967e55a7dd (patch)
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-rw-r--r--rappels-maths.tex25
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--- a/rappels-maths.tex
+++ b/rappels-maths.tex
@@ -41,7 +41,7 @@
\maketitle
{\footnotesize
\begin{center}
-CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.8 2008-10-19 22:44:33 david Exp $=
+CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.9 2008-10-19 22:53:13 david Exp $=
\end{center}
\par}
\pretolerance=10000
@@ -1076,11 +1076,11 @@ polynôme $f \in \mathbb{F}_p[t]$ irréductible de degré $d$
Si $q = p^d$ et $q' = p^{\prime d'}$, alors $\mathbb{F}_q$ est contenu
dans $\mathbb{F}_{q'}$ (plus proprement : $\mathbb{F}_{q'}$ contient
un sous-corps ayant $q$ éléments) si et seulement si : (1) $p=p'$ et
-(2) $d|d'$. Cela équivaut encore à : $q'$ est une puissance de $q$.
-(Exemple : $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $\mathbb{F}_{16}$ mais pas
-dans $\mathbb{F}_8$.) Lorsque c'est le cas, alors $\mathbb{F}_{q'}
-\cong \mathbb{F}_q[t]/(f)$ pour un certain polynôme $f \in
-\mathbb{F}_q[t]$ irréductible de degré $d'/d$.
+(2) $d|d'$. Cela équivaut encore à : $q'$ est une puissance de $q$,
+soit $q' = q^e$. (Exemple : $\mathbb{F}_4$ est contenu dans
+$\mathbb{F}_{16}$ mais pas dans $\mathbb{F}_8$.) Lorsque c'est le
+cas, alors $\mathbb{F}_{q'} \cong \mathbb{F}_q[t]/(f)$ pour un certain
+polynôme $f \in \mathbb{F}_q[t]$ irréductible de degré $e = d'/d$.
On va voir plus loin comment tester l'irréductibilité d'un polynôme
sur un corps fini, et comment en produire.
@@ -1089,7 +1089,8 @@ sur un corps fini, et comment en produire.
\subsection{Polynôme minimal}
[Dans les quelques sections qui suivent, le cas important est $q = p$
- premier. On peut ignorer le cas plus général.]
+ premier (lire alors $p^d$ pour $q^e$). On peut ignorer le cas plus
+ général.]
Rappel : dans $\mathbb{F}_q[t]/(f)$ (avec $f$ irréductible unitaire
pour fixer les idées), on a $f(\bar t) = 0$, c'est-à-dire que $\bar t$
@@ -1100,7 +1101,7 @@ d'un unique polynôme irréductible unitaire sur $\mathbb{F}_q$, et
celui-ci est de degré divisant $e$.
Ce polynôme s'appelle \textbf{polynôme minimal} de $x$
-sur $\mathbb{F}_q$, et son degré ($\leq e$, donc) s'appelle le
+sur $\mathbb{F}_q$, et son degré (divisant $e$, donc) s'appelle le
\textbf{degré} de $x$ sur $\mathbb{F}_q$.
Naturellement, dans $\mathbb{F}_q[t]/(f)$, avec $f$ irréductible
@@ -1142,10 +1143,11 @@ suivantes :
\item $x$ et $x'$ ont le même polynôme minimal sur $\mathbb{F}_q$,
\item il existe $i$ (qu'on peut prendre entre $0$ et $e-1$) tel que
$x' = x^{q^i}$ (= on passe de l'un à l'autre en appliquant
- suffisamment de fois le Frobenius).
+ suffisamment de fois le Frobenius $\Frob_q$).
\end{itemize}
Le nombre d'éléments conjugués à $x$ (en comptant $x$ lui-même) est le
-degré de $x$. On parle d'un ensemble complet de conjugués.
+degré de $x$. On parle d'un ensemble complet de conjugués
+(sur $\mathbb{F}_q$).
%
\subsection{Factorisation de $t^{q^e}-t$}
@@ -1176,7 +1178,8 @@ Le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré $e$ dans
$\mathbb{F}_q[t]$ est approximativement $\frac{1}{e}q^e$ (l'erreur est
$O(q^{e/2})$). Autrement dit, la probabilité qu'un polynôme unitaire
aléatoire dans $\mathbb{F}_q[t]$ soit irréductible est
-environ $\frac{1}{e}$. (Cf. théorème des nombres premiers.)
+environ $\frac{1}{e}$ où $e$ est son degré. (Cf. théorème des nombres
+premiers.)
\medbreak