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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-11-16 14:08:06 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-11-16 14:08:06 (GMT)
commitb5da32b74347537c8c17b7d73a9a74a846e46251 (patch)
tree7ef0e8399962136a6e199b073c55d2e0ad45bc9c
parent8e2faac546057826f25b9a6f913c02b2fb2415aa (diff)
downloadinfmdi720-b5da32b74347537c8c17b7d73a9a74a846e46251.zip
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Solve exercise 2.
-rw-r--r--controle-20101123.tex28
1 files changed, 28 insertions, 0 deletions
diff --git a/controle-20101123.tex b/controle-20101123.tex
index 129d3a3..c884f88 100644
--- a/controle-20101123.tex
+++ b/controle-20101123.tex
@@ -167,6 +167,34 @@ ci-dessus.)
(2) En déduire que $n^{561} \equiv n \pmod{561}$ pour tout entier $n$.
+\begin{corrige}
+(1) On sait que $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$ pour tout entier $n$ non
+ multiple de $3$ (théorème d'Euler ou petit théorème de Fermat).
+ Comme $560$ est multiple de $2$, on a \textit{a fortiori} $n^{560}
+ \equiv 1 \pmod{3}$. Ceci permet d'affirmer $n^{561} \equiv n
+ \pmod{3}$ lorsque $n$ n'est pas multiple de $3$ ; or la même égalité
+ vaut encore pour $n \equiv 0 \pmod{3}$ (c'est simplement $0=0$). On
+ a bien prouvé $n^{561} \equiv n \pmod{3}$ pour tout $n$.
+
+De même : on sait que $n^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ pour tout entier $n$
+non multiple de $11$. Comme $560$ est multiple de $10$, on a
+\textit{a fortiori} $n^{560} \equiv 1 \pmod{11}$. Ceci permet
+d'affirmer $n^{561} \equiv n \pmod{11}$ pour $n$ non multiple de $11$,
+et c'est encore vrai pour $n$ multiple de $11$.
+
+De même : on sait que $n^{16} \equiv 1 \pmod{17}$ pour tout entier $n$
+non multiple de $17$. Comme $560$ est multiple de $16$, on a
+\textit{a fortiori} $n^{560} \equiv 1 \pmod{17}$. Ceci permet
+d'affirmer $n^{561} \equiv n \pmod{17}$ pour $n$ non multiple de $17$,
+et c'est encore vrai pour $n$ multiple de $17$.
+
+(2) On a montré $n^{561} \equiv n \pmod{3}$ et $n^{561} \equiv n
+\pmod{11}$ et $n^{561} \equiv n \pmod{17}$ pour tout entier $n$.
+Comme $3,11,17$ sont premiers entre eux deux à deux, le théorème
+chinois assure qu'on a alors la congruence $n^{561} \equiv n$
+modulo $3\times 11\times 17 = 561$.
+\end{corrige}
+
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