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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-11-15 16:40:43 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-11-15 16:40:43 (GMT)
commitc1167036138980c05e4e6d6c27b1fa651ee1fd54 (patch)
tree79d319ecaa72f2b18e254e0408f985ac9ae79284
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Start writing test for 2010. Two exercises on Z/mZ.
-rw-r--r--controle-20101123.tex114
1 files changed, 114 insertions, 0 deletions
diff --git a/controle-20101123.tex b/controle-20101123.tex
new file mode 100644
index 0000000..0ed9d5c
--- /dev/null
+++ b/controle-20101123.tex
@@ -0,0 +1,114 @@
+%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
+%
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}
+\newcommand\exercice{%
+\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
+\newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}}
+\newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}}
+\newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}}
+\newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}}
+\newcommand{\signe}{\operatorname{signe}}
+\newcommand{\tee}{\mathbin{\top}}
+\newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}}
+%
+\newif\ifcorrige
+\corrigetrue
+\newenvironment{corrige}%
+{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
+\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{INFMDI720\\Contrôle de connaissance --- Corrigé\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}}
+\else
+\title{INFMDI720\\Contrôle de connaissance\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}}
+\fi
+\author{}
+\date{23 novembre 2010}
+\maketitle
+\pretolerance=10000
+\tolerance=8000
+
+\vskip1truein\relax
+
+\textbf{Consignes :}
+
+Les exercices sont complètement indépendants. Ils pourront être
+traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître
+de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice.
+
+Le sujet étant volontairement trop long pour le temps imparti, il ne
+sera pas nécessaire de traiter tous les exercices pour avoir le
+maximum des points. Il est suggéré de prendre le temps de tous les
+lire, pour bien choisir ceux que l'on traitera.
+
+Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues.
+
+L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
+imprimées, livres) est autorisé.
+
+L'usage des calculatrices électroniques est interdit. (Certains
+exercices peuvent apparaître calculatoires, mais les calculs sont
+toujours faisables à la main en un temps raisonnable, parfois au prix
+de quelques astuces.)
+
+Durée : 1h30
+
+\newpage
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+(A) Quel entier entre $1500$ et $2500$ est congru à $36$ modulo $47$
+et à $49$ modulo $53$ ?
+
+(B) Quel est le plus petit entier naturel multiple de $9$ et de $11$
+et congru à $6$ modulo $10$ ?
+
+(C) Quels sont les entier entre $0$ et $100$ congrus à $6$ modulo $18$
+et à $15$ modulo $27$ ?
+
+(D) Quels sont les entier entre $0$ et $9000$ congrus à $18$
+modulo $91$ et à $24$ modulo $105$ ?
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+On a $561 = 3\times 11\times 17$.
+
+(1) Montrer que $n^{561} \equiv n \pmod{3}$ pour tout entier $n$, et
+de même $\mathop{\mathrm{mod}} 11$ et $\mathop{\mathrm{mod}} 17$.
+(Indication : la réponse à cette question doit faire intervenir le
+nombre $560$ et \emph{non pas} la factorisation de $561$ donnée
+ci-dessus.)
+
+(2) En déduire que $n^{561} \equiv n \pmod{561}$ pour tout entier $n$.
+
+%
+%
+%
+\end{document}