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authordavid <david>2009-11-16 09:51:17 +0000
committerdavid <david>2009-11-16 09:51:17 +0000
commitdb6440dbf54579845b9d65c622607ede2d77215c (patch)
treecc9d3a7764abd04c97830b18f8ca5545b5212071
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-rw-r--r--controle-20091124.tex33
1 files changed, 19 insertions, 14 deletions
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index 13ac0c2..8a99e0b 100644
--- a/controle-20091124.tex
+++ b/controle-20091124.tex
@@ -53,10 +53,13 @@
Les exercices sont complètement indépendants. Ils pourront être
traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître
-de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. À
-l'intérieur d'un exercice, les questions se suivent normalement dans
-un ordre logique, et il est vivement recommandé de les traiter dans
-cet ordre.
+de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice.
+
+À l'intérieur d'un exercice donné (sauf l'exercice 3), les parties
+A,B,C..., sont encore essentiellement indépendantes, mais comme elles
+peuvent se ressembler et s'éclairer les unes les autres il est
+recommandé de les traiter dans l'ordre. Les questions
+1,2,3... dépendent les unes des autres.
Le sujet étant volontairement trop long pour le temps imparti, il ne
sera pas nécessaire de traiter tous les exercices pour avoir le
@@ -66,9 +69,9 @@ lire, pour bien choisir ceux que l'on traitera.
Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues.
L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
-imprimées, livres) est autorisée.
+imprimées, livres) est autorisé.
-L'usage des calculatrices électroniques est interdite. (Certains
+L'usage des calculatrices électroniques est interdit. (Certains
exercices peuvent apparaître calculatoires, mais les calculs sont
toujours faisables à la main en un temps raisonnable, parfois au prix
de quelques astuces.)
@@ -93,12 +96,12 @@ euclidienne par $9$ d'un entier naturel écrit en décimal ?
$745\,330\,964 \times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,507\,306\,660$.
(B) (1) À quoi est congru $10^n$ modulo $11$ (en fonction
-éventuellement de l'entier naturel $n$) ? (2) Comment faire pour
-calculer très simplement le reste de la division euclidienne par $11$
-d'un entier naturel écrit en décimal ? (Remarque : le nombre $10$
-peut s'écrire d'une manière très simple modulo $11$...) (3) Montrer
-que la multiplication suivante est encore erronée : $745\,330\,964
-\times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,517\,306\,660$.
+éventuellement de l'entier naturel $n$) ? (Remarque : le nombre $10$
+peut s'écrire d'une manière très simple modulo $11$...) (2) Comment
+faire pour calculer très simplement le reste de la division
+euclidienne par $11$ d'un entier naturel écrit en décimal ?
+(3) Montrer que la multiplication suivante est encore erronée :
+$745\,330\,964 \times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,517\,306\,660$.
(C) (1) À quoi est congru $10^n$ modulo $7$, selon la valeur de $n$ ?
(2) Proposer une méthode (moins simple que celles données en A et B,
@@ -179,8 +182,10 @@ $\bar t$ est-il primitif dans $\mathbb{F}_2[t]/(t^5 + t^2 + 1)$ ?
$\mathbb{F}_2[t]$ : on a $t^{19}+1 = {(t+1)} \penalty0\,
{(t^{18}+t^{17}+t^{16} + \cdots + t^3+t^2+t+1)}$. On appellera
$\Phi_{19}$ le second facteur ($t^{18}+\cdots+t+1$). On \emph{admet}
-que $\Phi_{19}$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[t]$. (2) Quel est
-l'ordre multiplicatif de l'élément $\bar t$ (représent par $t$) dans
+que $\Phi_{19}$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[t]$.
+
+\leavevmode\hphantom{(D)} (2) Quel est l'ordre multiplicatif de
+l'élément $\bar t$ (représent par $t$) dans
$\mathbb{F}_2[t]/(t^{19}+1)$ ? Dans $\mathbb{F}_2[t]/(\Phi_{19})$ ?
Quel est le nombre d'éléments de ce dernier (on ne demande pas de
l'écrire en décimal) ? Est-ce un corps ? L'élément $\bar t$ est-il