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authordavid <david>2008-11-26 23:35:52 (GMT)
committerdavid <david>2008-11-26 23:35:52 (GMT)
commit161fb17a167ab7ca2e081978c907eae7cd5ec0d0 (patch)
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-rw-r--r--controle-20081202.tex77
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index ea39f94..a0b3771 100644
--- a/controle-20081202.tex
+++ b/controle-20081202.tex
@@ -85,4 +85,81 @@ dénomination dans les deux calendriers (Tzolkin et Haab) à la fois ?
%
%
%
+
+\exercice
+
+Soit $n = 2^{100}$ et $N = 2^n = 2^{2^{100}}$.
+
+(1) Quel est le reste de la division euclidienne de $n$ par $3$ et par
+$5$ ?
+
+% Réponses : 1, 1
+
+(2) Quel est le reste de la division euclidienne de $n$ par $6$,
+par $10$ et par $4$ ?
+
+% Réponses : 4, 6, 0
+
+(3) Quel est le reste de la division euclidienne de $N$ par $9$,
+par $11$ et par $10$ ?
+
+% Réponses : 7, 9, 6
+
+(4) Quel est le reste de la division euclidienne de $N$ par $99$ ?
+Par $990$ ?
+
+% Réponses : 97, 196
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Montrer que $a^{31} \equiv a \pmod{341}$ pour tout $a \in \mathbb{Z}$
+(note : on a $341 = 11\times 31$).
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Montrer que tout $x \in \mathbb{F}_{32}^\times$ est primitif. Combien
+d'éléments de $\mathbb{F}_{64}^\times$ sont primitifs ?
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Une conjecture affirme que pour tout entier $n$ il existe $n' \neq n$
+tel que $\varphi(n') = \varphi(n)$ (où $\varphi$ désigne la fonction
+indicatrice d'Euler). On va voir qu'on peut montrer cette conjecture
+au moins pour les petites valeurs de $n$.
+
+(1) Si $n$ est impair, montrer que $\varphi(2n) = \varphi(n)$.
+
+(2) Si $n$ est pair mais non multiple de $4$, montrer que
+$\varphi(\frac{1}{2}n) = \varphi(n)$.
+
+(3) Si $n$ est multiple de $4$ mais non de $12$, montrer que
+$\varphi(\frac{3}{2}n) = \varphi(n)$.
+
+(4) Si $n$ est multiple de $12$ mais non de $36$, montrer
+que $\varphi(\frac{2}{3}n) = \varphi(n)$.
+
+(5) Si $n$ est multiple de $36$ mais non de $7\times 36$, montrer
+que $\varphi(\frac{7}{6}n) = \varphi(n)$.
+
+(6) Si $n$ est multiple de $7\times 36$ mais non de $7^2\times 36$,
+montrer que $\varphi(\frac{6}{7}n) = \varphi(n)$.
+
+(7) Montrer la vérité de la conjecture énoncée plus haut lorsque $n <
+(6\times 7 \times 43)^2$.
+
+%
+%
+%
\end{document}