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path: root/controle-20081202.tex
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authordavid <david>2008-11-27 01:46:37 +0000
committerdavid <david>2008-11-27 01:46:37 +0000
commit81d30f60e0f63c2d10fbdf90ee635fc13102fb86 (patch)
tree18190e59acffb2e3cdeb2db4a884d0a851d539c9 /controle-20081202.tex
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index 44a0052..34e3bd1 100644
--- a/controle-20081202.tex
+++ b/controle-20081202.tex
@@ -43,15 +43,23 @@ Les exercices sont complètement indépendants. Ils pourront être
traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître
de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. À
l'intérieur d'un exercice, les questions se suivent normalement dans
-un ordre logique, et il est recommandé de les traiter dans cet ordre.
+un ordre logique, et il est vivement recommandé de les traiter dans
+cet ordre.
+
+Le sujet étant volontairement trop long pour le temps imparti, il ne
+sera pas nécessaire de traiter tous les exercices pour avoir le
+maximum des points. Il est suggéré de prendre le temps de tous les
+lire, pour bien choisir ceux que l'on traitera.
+
+Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues.
L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, livres) est autorisée.
-L'usage des calculatrices électroniques n'est pas autorisée.
-(Certains exercices peuvent apparaître calculatoires, mais les calculs
-sont toujours faisables à la main en un temps raisonnable, parfois au
-prix de quelques astuces.)
+L'usage des calculatrices électroniques est interdites. (Certains
+exercices peuvent apparaître calculatoires, mais les calculs sont
+toujours faisables à la main en un temps raisonnable, parfois au prix
+de quelques astuces.)
\newpage
@@ -251,10 +259,37 @@ cas ($\ddagger$).
\exercice
+Soit $p$ un nombre premier congru à $5$ modulo $6$.
+
+(1) Y a-t-il des éléments d'ordre $3$ dans $\mathbb{F}_p^\times$ ?
+Quelles sont les solutions de $z^3 = 1$ dans $\mathbb{F}_p$ ?
+
+(2) Montrer que l'application $\mathbb{F}_p \to \mathbb{F}_p$ définie
+par $x \mapsto x^3$ est une bijection (c'est-à-dire que chaque valeur
+de la cible est atteinte une et une seule fois).
+
+(3) Si $a \in \mathbb{F}_p^\times$, à quoi est isomorphe
+$\mathbb{F}_p[t] / (t^3-a)$ ?
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
Montrer que tout $x \in \mathbb{F}_{32}^\times$ est primitif. Combien
d'éléments de $\mathbb{F}_{64}^\times$ sont primitifs ?
%
%
%
+
+\exercice
+
+Le polynôme $t^2 + 1 \in \mathbb{F}_3[t]$ est-il irréductible ?
+Est-il primitif ?
+
+%
+%
+%
\end{document}