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authordavid <david>2009-11-17 20:44:48 +0000
committerdavid <david>2009-11-17 20:44:48 +0000
commitf97882e820c7f15710d2774db728867ae406266c (patch)
treed23e4cdbf7fd250b08d5d775997b97d993314b01 /controle-20091124.tex
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Correct 4(B).
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index f29d01c..b527022 100644
--- a/controle-20091124.tex
+++ b/controle-20091124.tex
@@ -520,6 +520,26 @@ dire de $\mathbb{F}_3[t]/(t^2 + t)$ ? (Plusieurs réponses
possibles.)
\begin{corrige}
+(B) (1) Le polynôme $f = t^2 + t \in \mathbb{F}_3[t]$ s'annule en $0$
+ et en $-1$ : ce sont les deux racines de $f$, et on a donc $f =
+ t(t+1)$, qui est la décomposition en facteurs irréductibles de ce
+ polynôme.
+
+\leavevmode\hphantom{(B)} (2) On peut dire que puisque $f = t^2 + t$
+n'est pas irréductible, l'anneau $\mathbb{F}_3[t]/(f)$ n'est pas un
+corps : et d'ailleurs ni $\bar t$ ni $\bar t + 1$ n'est inversible
+dans cet anneau puisque leur produit est $\bar t^2 + \bar t = 0$ (ce
+n'est pas un anneau intègre). On peut aussi être plus précis :
+puisque $f = t(t+1)$, le théorème chinois assure que
+$\mathbb{F}_3[t]/(f) \cong \mathbb{F}_3[t]/(t) \times
+\mathbb{F}_3[t]/(t+1)$ (où $\cong$ signifie « isomorphe »),
+c'est-à-dire en fait $\mathbb{F}_3[t]/(f) \cong \mathbb{F}_3 \times
+\mathbb{F}_3$ avec un isomorphisme $\mathbb{F}_3[t]/(f) \to
+\mathbb{F}_3 \times \mathbb{F}_3$ qui envoie la classe dans
+$\mathbb{F}_3[t]/(f)$ d'un polynôme $u \in \mathbb{F}_3[t]$ sur le
+couple $(u(0), u(-1))$ formé des valeurs en $0$ et $-1$ de $u$ ; le
+fait qu'on ait $\bar t \cdot (\bar t + 1) = 0$ se traduit,
+\textit{via} cet isomorphism, en $(0,-1)\cdot (1,0) = (0,0)$.
\end{corrige}
\ifcorrige\medbreak\else\relax\fi