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path: root/controle-20101123.tex
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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-11-15 17:04:18 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-11-15 17:04:18 (GMT)
commite004ef08abcd53afcaa59a38b1ab037286425252 (patch)
tree3894b643bd7976a64d2fc330d2ae98f1fe151ad4 /controle-20101123.tex
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Another exercise (on finite fields).
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-rw-r--r--controle-20101123.tex35
1 files changed, 35 insertions, 0 deletions
diff --git a/controle-20101123.tex b/controle-20101123.tex
index 0ed9d5c..db39926 100644
--- a/controle-20101123.tex
+++ b/controle-20101123.tex
@@ -2,6 +2,7 @@
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{times}
% A tribute to the worthy AMS:
\usepackage{amsmath}
@@ -111,4 +112,38 @@ ci-dessus.)
%
%
%
+
+\exercice
+
+On admet que le polynôme suivant dans $\mathbb{F}_2[t]$ est
+irréductible : $f := t^8 + t^4 + t^3 + t^2 + 1$.
+
+(1) Quel est le nombre d'éléments de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$ ? Que
+peut-on en dire et comment a-t-on l'habitude de le noter ?
+
+(2) Dans $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, calculer les puissances $\bar t^i$ de
+l'élément $\bar t$ représenté par $t$, pour $i$ allant de $0$ à $20$
+inclus. (Ici, « calculer » sous-entend qu'on demande comme d'habitude
+le représentant standard, c'est-à-dire celui donné par un polynôme de
+degré $<\deg f$.)
+
+(3) On a $255 = 3 \times 5 \times 17$. L'élément $\bar t$ est-il
+primitif ? Si non, quel est son ordre multiplicatif ? Si oui,
+comment qualifie-t-on le polynôme $f$ du fait de cette propriété ?
+
+(4) Donner un élément primitif de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, différent de
+$\bar t$ (si on a répondu ci-dessus que $\bar t$ était primitif).
+Combien y en a-t-il ?
+
+(5) Quels sont les éléments $\bar\imath$ de $\mathbb{Z}/255\mathbb{Z}$
+vérifiant $15\bar\imath = \bar0$ ? Quels sont les éléments de
+$\mathbb{F}_2[t]/(f)$ vérifiant $x^{16} = x$ ? (Cette fois-ci, on ne
+demande pas nécessairement de les écrire sous la forme d'un
+représentant standard : n'importe quelle autre écriture conviendra.)
+Combien y en a-t-il et que peut-on dire de l'ensemble de ces
+éléments ?
+
+%
+%
+%
\end{document}