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diff --git a/controle-20121127.tex b/controle-20121127.tex index f332e5b..d402e5f 100644 --- a/controle-20121127.tex +++ b/controle-20121127.tex @@ -137,7 +137,8 @@ On désignera par $\alpha \in E$ (plutôt que $\bar t$) la classe de $t$ modulo $f$. (2) Que peut-on dire \textit{a priori} de l'ordre multiplicatif -de $\alpha$ ? +de $\alpha$ ? C'est-à-dire : quelles sont les valeurs \textit{a + priori} possibles ? (Remarque : $255 = 3 \times 5 \times 17$.) (3) Calculer les valeurs de $\alpha^i$ dans $E$ (c'est-à-dire la classe de $t^i$ modulo $f$) pour $i \leq 17$. @@ -148,14 +149,14 @@ $\beta$ cet élément $\alpha^{17} \in E$. (4) Calculer de même les valeurs de $\alpha^i$ les valeurs suivantes de $i$ : $34$, $51$, $68$ et $85$ (c'est-à-dire les multiples de $17$ -jusqu'à $85$ inclus). +jusqu'à $85$ inclus) ; si l'on préfère, ce sont les premières +puissances de $\beta$. Pour permettre de vérifier les calculs, on donne le dernier résultat : $\alpha^{85} = \alpha^7 + \alpha^6 + \alpha^4 + \alpha^2 + \alpha$. -(5) Que vaut l'ordre multiplicatif de $\alpha$ ? (Remarque : $255 = 3 -\times 5 \times 17$.) Quel est l'ordre multiplicatif de $\beta = -\alpha^{17}$ ? +(5) Que vaut l'ordre multiplicatif de $\alpha$ ? Quel est l'ordre +multiplicatif de $\beta = \alpha^{17}$ ? (6) Que vaut $\beta^{16}$ ? @@ -169,13 +170,29 @@ P(\beta)$ qui à un polynôme $P \in \mathbb{F}_2[t]$ associe la valeur de celui-ci en $\beta$. Par exemple, la question (7) signifie que $\Phi(g) = 0$. -(8) Pourquoi a-t-on $\Phi(h) = \Phi(h')$ si $h \equiv h' \pmod{g}$ ? -En déduire qu'on peut définir une application $\varphi \colon K \to E$ -qui envoie la classe (modulo $g$) d'un polynôme $h \in -\mathbb{F}_2[t]$ sur $\Phi(h) \in E$. +(8) (a) Expliquer pourquoi $\Phi(h_1 + h_2) = \Phi(h_1) + \Phi(h_2)$ +et $\Phi(h_1 h_2) = \Phi(h_1)\, \Phi(h_2)$ pour tous $h_1,h_2 \in +\mathbb{F}_2[t]$. (b) Montrer que $\Phi(h) = \Phi(h')$ si $h \equiv +h' \pmod{g}$. + +(9) Déduire de (8b) qu'on peut définir une application $\varphi \colon +K \to E$ qui envoie la classe (modulo $g$) d'un polynôme $h \in +\mathbb{F}_2[t]$ sur $\Phi(h) \in E$. Déduire de (8a) que +$\varphi(u_1 + u_2) = \varphi(u_1) + \varphi(u_2)$ et $\varphi(u_1 +u_2) = \varphi(u_1) \, \varphi(u_2)$ pour tous $u_1,u_2 \in K$. +Comment qualifie-t-on $\Phi$ et $\varphi$ ? On désignera par $\gamma \in K$ (plutôt que $\bar t$) la classe de $t$ -modulo $g$. +modulo $g$. Ainsi, on a $\varphi(\gamma) = \beta$ (puisque $\Phi(t) = +\beta$). + +(10) Montrer que le cardinal de l'image de $\varphi$, autrement dit, +le nombre de valeurs distinctes atteintes par $\varphi$, vaut au +moins $16$. (On pourra, par exemple, dire ce que vaut +$\varphi(\gamma^i)$ et compter toutes les valeurs ainsi atteintes, +sans oublier d'ajouter $\varphi(0)$.) En déduire que $\varphi$ est +injective (=deux éléments distincts de $K$ ont toujours des images +distinctes dans $E$), et que le polynôme $g$ est irréductible. % % |