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diff --git a/controle-20101123.tex b/controle-20101123.tex index 1e8452c..787399e 100644 --- a/controle-20101123.tex +++ b/controle-20101123.tex @@ -119,7 +119,7 @@ modulo $990$, dont le plus petit positif est $666$. \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi -(C) Quels sont les entier entre $0$ et $100$ congrus à $12$ modulo $15$ +(C) Quels sont les entiers entre $0$ et $100$ congrus à $12$ modulo $15$ et à $2$ modulo $20$ ? \begin{corrige} @@ -139,7 +139,7 @@ et $100$ vérifiant cette congruence est $42$. \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi -(D) Quels sont les entier entre $0$ et $9000$ congrus à $18$ +(D) Quels sont les entiers entre $0$ et $9000$ congrus à $18$ modulo $91$ et à $24$ modulo $105$ ? \begin{corrige} @@ -204,8 +204,9 @@ modulo $3\times 11\times 17 = 561$. On admet que le polynôme suivant dans $\mathbb{F}_2[t]$ est irréductible : $f := t^8 + t^4 + t^3 + t^2 + 1$. -(1) Quel est le nombre d'éléments de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$ ? Que -peut-on en dire et comment a-t-on l'habitude de le noter ? +(1) Quel est le nombre d'éléments de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$ ? (Il +s'agit comme d'habitude des polynômes modulo $f$.) Que peut-on en +dire et comment le note-t-on ? (2a) Dans $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, calculer les puissances $\bar t^i$ de l'élément $\bar t$ représenté par $t$, pour $i$ allant de $0$ à $20$ @@ -219,9 +220,8 @@ t^{17}$ vaut $\bar t^3 + \bar t$, et que $\bar t^{85} = \bar t^{68} \times \bar t^{17}$ vaut $\bar t^7 + \bar t^6 + \bar t^4 + \bar t^2 + \bar t$. -(3) On a $255 = 3 \times 5 \times 17$. L'élément $\bar t$ est-il -primitif ? Si non, quel est son ordre multiplicatif ? Si oui, -comment qualifie-t-on le polynôme $f$ ? +(3) On a $255 = 3 \times 5 \times 17$. Quel est l'ordre multiplicatif +de l'élément $\bar t$ ? Est-il primitif ? (4) Donner un élément primitif de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, différent de $\bar t$ si on a répondu ci-dessus que $\bar t$ était primitif. @@ -296,8 +296,8 @@ $3{\times}5{\times}17{=}255$. Or dans les questions précédentes on a calculé $\bar t^{15}, \bar t^{51}, \bar t^{85}$ et constaté qu'aucun d'entre eux ne valait $1$ (et \textit{a fortiori} pas non plus $\bar t^3$, $\bar t^5$ ou $\bar t^{17}$). On en déduit que l'ordre de $\bar -t$ ne peut être que $255$, c'est-à-dire que $\bar t$ est primitif. On -dit donc que le polynôme $f$ est primitif. +t$ ne peut être que $255$, c'est-à-dire que $\bar t$ est primitif. +(On dit donc que le polynôme $f$ est primitif.) Ceci prouve que le morphisme $\psi\colon \mathbb{Z}/{255}\mathbb{Z} \to \mathbb{F}_{256}^\times$ (du groupe additif des entiers |