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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-11-17 18:54:33 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-11-17 18:54:33 (GMT)
commit275119b5bd9891011490525b841b459bcf6fba50 (patch)
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Minor corrections (thanks to J.-P. Flori).
-rw-r--r--controle-20101123.tex18
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index 1e8452c..787399e 100644
--- a/controle-20101123.tex
+++ b/controle-20101123.tex
@@ -119,7 +119,7 @@ modulo $990$, dont le plus petit positif est $666$.
\ifcorrige\medbreak\else\relax\fi
-(C) Quels sont les entier entre $0$ et $100$ congrus à $12$ modulo $15$
+(C) Quels sont les entiers entre $0$ et $100$ congrus à $12$ modulo $15$
et à $2$ modulo $20$ ?
\begin{corrige}
@@ -139,7 +139,7 @@ et $100$ vérifiant cette congruence est $42$.
\ifcorrige\medbreak\else\relax\fi
-(D) Quels sont les entier entre $0$ et $9000$ congrus à $18$
+(D) Quels sont les entiers entre $0$ et $9000$ congrus à $18$
modulo $91$ et à $24$ modulo $105$ ?
\begin{corrige}
@@ -204,8 +204,9 @@ modulo $3\times 11\times 17 = 561$.
On admet que le polynôme suivant dans $\mathbb{F}_2[t]$ est
irréductible : $f := t^8 + t^4 + t^3 + t^2 + 1$.
-(1) Quel est le nombre d'éléments de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$ ? Que
-peut-on en dire et comment a-t-on l'habitude de le noter ?
+(1) Quel est le nombre d'éléments de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$ ? (Il
+s'agit comme d'habitude des polynômes modulo $f$.) Que peut-on en
+dire et comment le note-t-on ?
(2a) Dans $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, calculer les puissances $\bar t^i$ de
l'élément $\bar t$ représenté par $t$, pour $i$ allant de $0$ à $20$
@@ -219,9 +220,8 @@ t^{17}$ vaut $\bar t^3 + \bar t$, et que $\bar t^{85} = \bar t^{68}
\times \bar t^{17}$ vaut $\bar t^7 + \bar t^6 + \bar t^4 + \bar t^2 +
\bar t$.
-(3) On a $255 = 3 \times 5 \times 17$. L'élément $\bar t$ est-il
-primitif ? Si non, quel est son ordre multiplicatif ? Si oui,
-comment qualifie-t-on le polynôme $f$ ?
+(3) On a $255 = 3 \times 5 \times 17$. Quel est l'ordre multiplicatif
+de l'élément $\bar t$ ? Est-il primitif ?
(4) Donner un élément primitif de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, différent de
$\bar t$ si on a répondu ci-dessus que $\bar t$ était primitif.
@@ -296,8 +296,8 @@ $3{\times}5{\times}17{=}255$. Or dans les questions précédentes on a
calculé $\bar t^{15}, \bar t^{51}, \bar t^{85}$ et constaté qu'aucun
d'entre eux ne valait $1$ (et \textit{a fortiori} pas non plus $\bar
t^3$, $\bar t^5$ ou $\bar t^{17}$). On en déduit que l'ordre de $\bar
-t$ ne peut être que $255$, c'est-à-dire que $\bar t$ est primitif. On
-dit donc que le polynôme $f$ est primitif.
+t$ ne peut être que $255$, c'est-à-dire que $\bar t$ est primitif.
+(On dit donc que le polynôme $f$ est primitif.)
Ceci prouve que le morphisme $\psi\colon \mathbb{Z}/{255}\mathbb{Z}
\to \mathbb{F}_{256}^\times$ (du groupe additif des entiers