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diff --git a/exercices.tex b/exercices.tex index 69b61d6..d512820 100644 --- a/exercices.tex +++ b/exercices.tex @@ -1,7 +1,8 @@ %% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt]{article} \usepackage[francais]{babel} -\usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: \usepackage{amsmath} @@ -24,12 +25,13 @@ \newcommand{\signe}{\operatorname{signe}} \newcommand{\tee}{\mathbin{\top}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}} +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % \newif\ifcorrige \corrigetrue \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% -\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} {{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% \ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} % @@ -37,9 +39,9 @@ % \begin{document} \ifcorrige -\title{INFMDI720\\Exercices --- Corrigé\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} +\title{INFMDI720\\Exercices --- Corrigé\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} \else -\title{INFMDI720\\Exercices\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} +\title{INFMDI720\\Exercices\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} \fi \author{} \date{} @@ -53,115 +55,115 @@ \exercice -(A) Quel entier entre $0$ et $100$ est congru à $19$ modulo $13$ et à -$13$ modulo $19$ ? +(A) Quel entier entre $0$ et $100$ est congru à $19$ modulo $13$ et à +$13$ modulo $19$ ? \begin{corrige} -(A) Commençons par trouver un entier qui convient. On pourrait se +(A) Commençons par trouver un entier qui convient. On pourrait se rendre compte que $19+13 = 32$ convient pour des raisons de - symétrie. Pour procéder de façon plus systématique, cherchons une - relation de Bézout entre $19$ et $13$, qui sont visiblement premiers - entre eux (et ceci va de toute façon le confirmer) : on a $19 = 1\times 13 + - 6$ puis $13 = 2\times 6 + 1$ donc le pgcd est bien $1$, et on a $1 = - 13 - 2\times 6 = 3\times 13 - 2\times 19$. Ainsi, d'après un - résultat du cours (version « effective » du théorème chinois), un - nombre congru à $19$ (soit $6$) modulo $13$ et à $13$ modulo $19$ - est donné par $3 \times 13 \times 13 - 2 \times 19 \times 6$ : ceci + symétrie. Pour procéder de façon plus systématique, cherchons une + relation de Bézout entre $19$ et $13$, qui sont visiblement premiers + entre eux (et ceci va de toute façon le confirmer) : on a $19 = 1\times 13 + + 6$ puis $13 = 2\times 6 + 1$ donc le pgcd est bien $1$, et on a $1 = + 13 - 2\times 6 = 3\times 13 - 2\times 19$. Ainsi, d'après un + résultat du cours (version « effective » du théorème chinois), un + nombre congru à $19$ (soit $6$) modulo $13$ et à $13$ modulo $19$ + est donné par $3 \times 13 \times 13 - 2 \times 19 \times 6$ : ceci vaut $279$, mais pour simplifier les calculs on pouvait calculer $3\times 13 \equiv 1 \pmod{19}$ et $-2 \times 6 \equiv 1 \pmod{13}$, - donc il reste $13 + 19 = 32$. En tout état de cause, comme $13$ et - $19$ sont premiers entre eux, les nombres congrus à $x$ modulo $13$ - et à $y$ modulo $19$, quels que soient $x$ et $y$ entiers, forment - une unique classe de congruence modulo $13 \times 19 = 247$ (qu'il - n'était pas vraiment nécessaire de calculer, seul importe que ce - soit $>100$, ce qui est évident), donc dès qu'on a trouvé un nombre - vérifiant les congruences demandées (en l'occurrence $32$), on sait - que les autres sont les nombres qui lui sont congrus modulo $13 + donc il reste $13 + 19 = 32$. En tout état de cause, comme $13$ et + $19$ sont premiers entre eux, les nombres congrus à $x$ modulo $13$ + et à $y$ modulo $19$, quels que soient $x$ et $y$ entiers, forment + une unique classe de congruence modulo $13 \times 19 = 247$ (qu'il + n'était pas vraiment nécessaire de calculer, seul importe que ce + soit $>100$, ce qui est évident), donc dès qu'on a trouvé un nombre + vérifiant les congruences demandées (en l'occurrence $32$), on sait + que les autres sont les nombres qui lui sont congrus modulo $13 \times 19$, et en particulier il n'y en a pas d'autre entre $0$ - et $100$. + et $100$. \end{corrige} \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi -(B) Quel entier à trois chiffres en base $10$ se termine par $23$ et -est multiple de $19$ ? +(B) Quel entier à trois chiffres en base $10$ se termine par $23$ et +est multiple de $19$ ? \begin{corrige} -(B) Se terminer par $23$ en base $10$ signifie être congru à $23$ - modulo $100$. Cherchons une relation de Bézout entre $100$ et $19$ - qui sont premiers entre eux : on a $100 = 5\times 19 + 5$ et $19 = +(B) Se terminer par $23$ en base $10$ signifie être congru à $23$ + modulo $100$. Cherchons une relation de Bézout entre $100$ et $19$ + qui sont premiers entre eux : on a $100 = 5\times 19 + 5$ et $19 = 3\times 5 + 4$ et $5 = 1\times 4 + 1$ donc $1 = 5 - 4 = 4 \times 5 - 19 = 4 - \times 100 - 21 \times 19$. Ainsi, d'après un résultat du cours - (version « effective » du théorème chinois), un nombre congru à $23$ - modulo $100$ et à $0$ modulo $19$ (i.e., divisible par $19$) est - donné par $- 21 \times 19 \times 23$ : ceci vaut $-9177$, mais pour + \times 100 - 21 \times 19$. Ainsi, d'après un résultat du cours + (version « effective » du théorème chinois), un nombre congru à $23$ + modulo $100$ et à $0$ modulo $19$ (i.e., divisible par $19$) est + donné par $- 21 \times 19 \times 23$ : ceci vaut $-9177$, mais pour simplifier les calculs on pouvait calculer $-21\times 23 \equiv -83 \equiv 17 \pmod{100}$ et ainsi $- 21 \times 19 \times 23 \equiv 17 - \times 19 = 323 \pmod{1900}$. Le nombre $323$ répond aux conditions - demandées, et comme tout les entiers congrus à $23$ modulo $100$ et - à $0$ modulo $19$ forment une unique classe de congruence - modulo $1900$, on a trouvé le seul nombre à trois chiffres. + \times 19 = 323 \pmod{1900}$. Le nombre $323$ répond aux conditions + demandées, et comme tout les entiers congrus à $23$ modulo $100$ et + à $0$ modulo $19$ forment une unique classe de congruence + modulo $1900$, on a trouvé le seul nombre à trois chiffres. \end{corrige} \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi -(C) Quel entier entre $0$ et $100$ est congru respectivement à -$1,2,3,4$ modulo $2,3,5,7$ ? (C'est-à-dire : congru à $1$ modulo $2$, -et à $2$ modulo $3$, et à $3$ modulo $5$, et à $4$ modulo $7$.) +(C) Quel entier entre $0$ et $100$ est congru respectivement à +$1,2,3,4$ modulo $2,3,5,7$ ? (C'est-à -dire : congru à $1$ modulo $2$, +et à $2$ modulo $3$, et à $3$ modulo $5$, et à $4$ modulo $7$.) \begin{corrige} -(C) Les nombres $2,3,5,7$ sont premiers entre eux deux à deux. - Commençons par trouver des solutions à deux congruences - simultanées : comme les nombres sont assez petits, il est plus - simple de le faire par tâtonnement : par exemple, $5$ est congru à - $1$ modulo $2$ et à $2$ modulo $3$, cela se trouve immédiatement en - parcourant les entiers de $0$ à $5$ ou plus astucieusement ceux qui - vérifient une des deux congruences pour chercher ceux qui vérifient +(C) Les nombres $2,3,5,7$ sont premiers entre eux deux à deux. + Commençons par trouver des solutions à deux congruences + simultanées : comme les nombres sont assez petits, il est plus + simple de le faire par tâtonnement : par exemple, $5$ est congru à + $1$ modulo $2$ et à $2$ modulo $3$, cela se trouve immédiatement en + parcourant les entiers de $0$ à $5$ ou plus astucieusement ceux qui + vérifient une des deux congruences pour chercher ceux qui vérifient l'autre. Comme on va vouloir mettre ensuite ensemble deux - congruences de ce genre, il vaut mieux les trouver de même taille - et, si possible, vérifiant une relation de Bézout simple : le plus - économique est donc de mettre $2$ avec $7$ et $3$ avec $5$, ce qui a - le bon goût que $1\times 15 - 1\times 14 = 1$ est une relation de Bézout évidente - entre $3\times 5$ et $2\times 7$. Par tâtonnement, on trouve que - $11$ (et exactement les nombres de sa classe modulo $14$) est congru - à $1$ modulo $2$ et à $4$ modulo $7$, et que $8$ (et exactement les - nombres de sa classe modulo $15$) est congru à $2$ modulo $3$ et à - $3$ modulo $5$. Avec la relation de Bézout $1\times 15 - 1\times 14 - = 1$, toujours en appliquant la même version « effective » du - théorème chinois, on voit que les entiers vérifiant les quatre - congruences demandées sont exactement la classe de $1\times 15\times + congruences de ce genre, il vaut mieux les trouver de même taille + et, si possible, vérifiant une relation de Bézout simple : le plus + économique est donc de mettre $2$ avec $7$ et $3$ avec $5$, ce qui a + le bon goût que $1\times 15 - 1\times 14 = 1$ est une relation de Bézout évidente + entre $3\times 5$ et $2\times 7$. Par tâtonnement, on trouve que + $11$ (et exactement les nombres de sa classe modulo $14$) est congru + à $1$ modulo $2$ et à $4$ modulo $7$, et que $8$ (et exactement les + nombres de sa classe modulo $15$) est congru à $2$ modulo $3$ et à + $3$ modulo $5$. Avec la relation de Bézout $1\times 15 - 1\times 14 + = 1$, toujours en appliquant la même version « effective » du + théorème chinois, on voit que les entiers vérifiant les quatre + congruences demandées sont exactement la classe de $1\times 15\times 11 - 1\times 14\times 8 = 53$ modulo $15 \times 14 = 210$, donc le - seul entre $0$ et $100$ est $53$. + seul entre $0$ et $100$ est $53$. \end{corrige} \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi -(D) Déterminer tous les entiers entre $0$ et $2009$ congrus à $1$ -modulo chacun des nombres $7$, $11$ et $13$. (C'est-à-dire : congrus -à $1$ modulo $7$, et à $1$ modulo $11$, et à $1$ modulo $13$.) -(Indication : y-t-il un nombre évident qui répond à cette condition ?) +(D) Déterminer tous les entiers entre $0$ et $2009$ congrus à $1$ +modulo chacun des nombres $7$, $11$ et $13$. (C'est-à -dire : congrus +à $1$ modulo $7$, et à $1$ modulo $11$, et à $1$ modulo $13$.) +(Indication : y-t-il un nombre évident qui répond à cette condition ?) \begin{corrige} -(D) Comme le suggère l'indication, il y a un nombre évident congru à - $1$ modulo $7$ et $11$ et $13$ à la fois, c'est $1$ lui-même. Le - théorème chinois assure que, comme $7$ et $11$ et $13$ sont premiers - entre eux deux à deux, les entiers congrus à $1$ modulo chacun d'eux +(D) Comme le suggère l'indication, il y a un nombre évident congru à + $1$ modulo $7$ et $11$ et $13$ à la fois, c'est $1$ lui-même. Le + théorème chinois assure que, comme $7$ et $11$ et $13$ sont premiers + entre eux deux à deux, les entiers congrus à $1$ modulo chacun d'eux forment une classe de congruence modulo $7 \times 11 \times 13 = - 1001$. Les nombres entre $0$ et $2009$ vérifiant les congruences - demandées sont donc : $1$, $1002$ et $2003$. + 1001$. Les nombres entre $0$ et $2009$ vérifiant les congruences + demandées sont donc : $1$, $1002$ et $2003$. \end{corrige} \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi -(E) Déterminer tous les entiers entre $0$ et $100\,000$ congrus à -$192$ modulo $300$ et à $169$ modulo $305$. +(E) Déterminer tous les entiers entre $0$ et $100\,000$ congrus à +$192$ modulo $300$ et à $169$ modulo $305$. \begin{corrige} -(E) Un entier congru à $192$ modulo $300$ est (comme $5|300$) congru à - $192 \equiv 2$ modulo $5$, et un entier congru à $169$ modulo $305$ - est (comme $5|305$) congru à $169 \equiv 4$ modulo $5$. Comme $2 - \not\equiv 4 \pmod{5}$, il n'existe \emph{aucun} entier vérifiant - les deux congruences demandées. +(E) Un entier congru à $192$ modulo $300$ est (comme $5|300$) congru à + $192 \equiv 2$ modulo $5$, et un entier congru à $169$ modulo $305$ + est (comme $5|305$) congru à $169 \equiv 4$ modulo $5$. Comme $2 + \not\equiv 4 \pmod{5}$, il n'existe \emph{aucun} entier vérifiant + les deux congruences demandées. \end{corrige} % @@ -170,16 +172,16 @@ $192$ modulo $300$ et à $169$ modulo $305$. \exercice -(A) Pour chaque élément de $\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$, calculer son +(A) Pour chaque élément de $\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$, calculer son ordre additif et, si cela a un sens, son ordre multiplicatif. Quels -sont les entiers primitifs modulo $18$ ? +sont les entiers primitifs modulo $18$ ? -(B) Dresser la table d'un isomorphisme entre le groupe additif -$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (pour un $n$ à déterminer) et le groupe +(B) Dresser la table d'un isomorphisme entre le groupe additif +$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (pour un $n$ à déterminer) et le groupe multiplicatif $(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$. -(C) Que vaut $7^{333\,333}$ modulo $18$ ? Que vaut $5^{6\,000\,004}$ -modulo $18$ ? +(C) Que vaut $7^{333\,333}$ modulo $18$ ? Que vaut $5^{6\,000\,004}$ +modulo $18$ ? \begin{corrige} (A)\strut\par{\footnotesize @@ -206,27 +208,27 @@ $\bar{17}$&$18$&$2$\\ \end{tabular} \par} -Il existe donc des éléments primitifs, il en existe -$\varphi(\varphi(18)) = \varphi(6) = 2$, à savoir $\bar 5$ et -$\bar{11}$. (Les entiers primitifs modulo $18$ sont donc ceux congrus -à $5$ ou $11$ modulo $18$.) +Il existe donc des éléments primitifs, il en existe +$\varphi(\varphi(18)) = \varphi(6) = 2$, à savoir $\bar 5$ et +$\bar{11}$. (Les entiers primitifs modulo $18$ sont donc ceux congrus +à $5$ ou $11$ modulo $18$.) -(B) Une fois choisi un élément primitif, disons $g = \bar 5$, +(B) Une fois choisi un élément primitif, disons $g = \bar 5$, l'isomorphisme $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \to -(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$ est donné par $\bar k \mapsto g^k$, -soit ici : +(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$ est donné par $\bar k \mapsto g^k$, +soit ici : \begin{tabular}{c|cccccc} $\bar k \in \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$&$\bar 0$&$\bar 1$&$\bar 2$&$\bar 3$&$\bar 4$&$\bar 5$\\\hline $g^k \in (\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$&$\bar 1$&$\bar 5$&$\bar 7$&$\bar{17}$&$\bar{13}$&$\bar{11}$\\ \end{tabular} -(C) On vient de voir que l'ordre de $\bar 7$ dans -$(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$ vaut $3$, donc $7^{3k} \equiv 1 -\pmod{18}$ pour tout $k$ et en particulier pour $k = 111\,111$, de +(C) On vient de voir que l'ordre de $\bar 7$ dans +$(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$ vaut $3$, donc $7^{3k} \equiv 1 +\pmod{18}$ pour tout $k$ et en particulier pour $k = 111\,111$, de sorte que $7^{333\,333} \equiv 1 \pmod{18}$. Pour ce qui est de $5^{6\,000\,004}$, il suffit de chercher la valeur en regard de -$6\,000\,004$ modulo $6$ dans le tableau ci-dessus : on a $5^6 \equiv +$6\,000\,004$ modulo $6$ dans le tableau ci-dessus : on a $5^6 \equiv 1 \pmod{18}$ donc $5^{6\,000\,000} \equiv 1$ donc $5^{6\,000\,004} \equiv 5^4 \equiv 13 \pmod{18}$. \end{corrige} @@ -237,34 +239,34 @@ $6\,000\,004$ modulo $6$ dans le tableau ci-dessus : on a $5^6 \equiv \exercice -(A) Calculer $\varphi(3\,125)$. Que vaut $2^{5\,000\,000}$ -modulo $3\,125$ ? +(A) Calculer $\varphi(3\,125)$. Que vaut $2^{5\,000\,000}$ +modulo $3\,125$ ? -(B) Que vaut $2^{5\,000\,000}$ modulo $32$ ? +(B) Que vaut $2^{5\,000\,000}$ modulo $32$ ? -(C) Sachant que $293\times 32 - 3\times 3\,125 = 1$, quels sont les -cinq derniers chiffres en base $10$ de $2^{5\,000\,000}$ ? +(C) Sachant que $293\times 32 - 3\times 3\,125 = 1$, quels sont les +cinq derniers chiffres en base $10$ de $2^{5\,000\,000}$ ? \begin{corrige} -(A) On a $3\,125 = 5^5$ donc $\varphi(3\,125) = 4\times 5^4 = 2\,500$. - Comme $2$ est premier avec $3\,125$, le théorème d'Euler entraîne +(A) On a $3\,125 = 5^5$ donc $\varphi(3\,125) = 4\times 5^4 = 2\,500$. + Comme $2$ est premier avec $3\,125$, le théorème d'Euler entraîne que $2^{2\,500} \equiv 1 \pmod{3\,125}$, donc $2^{5\,000\,000} \equiv 1 \pmod{3\,125}$ (puisque $2\,500\,|\,5\,000\,000$). -(B) (Attention à ne pas chercher à appliquer le théorème d'Euler ! - $2$ n'est pas du tout premier avec $32$...) On a $32 = 2^5$ donc - $32 | 2^{5\,000\,000}$, c'est-à-dire que $2^{5\,000\,000} \equiv 0 +(B) (Attention à ne pas chercher à appliquer le théorème d'Euler ! + $2$ n'est pas du tout premier avec $32$...) On a $32 = 2^5$ donc + $32 | 2^{5\,000\,000}$, c'est-à -dire que $2^{5\,000\,000} \equiv 0 \pmod{32}$. -(C) Trouver les cinq derniers chiffres de $2^{5\,000\,000}$ en - base $10$ revient à calculer ce nombre modulo $100\,000 = 10^5 = 2^5 +(C) Trouver les cinq derniers chiffres de $2^{5\,000\,000}$ en + base $10$ revient à calculer ce nombre modulo $100\,000 = 10^5 = 2^5 \times 5^5 = 32 \times 3\,125$. On vient de le calculer modulo $32$ - (il vaut $0$) et modulo $3\,125$ (il vaut $1$). Le théorème chinois + (il vaut $0$) et modulo $3\,125$ (il vaut $1$). Le théorème chinois assure donc que $2^{5\,000\,000}$ est, modulo $100\,000$, l'unique classe de congruence possible qui vaut $0$ modulo $32$ et $1$ - modulo $3\,125$. C'est donc $293\times 32 = 1 + 3\times 3\,125 = + modulo $3\,125$. C'est donc $293\times 32 = 1 + 3\times 3\,125 = 9\,376$. Les cinq derniers chiffres de $2^{5\,000\,000}$ en - base $10$ sont donc : $09376$. + base $10$ sont donc : $09376$. \end{corrige} % @@ -275,55 +277,55 @@ cinq derniers chiffres en base $10$ de $2^{5\,000\,000}$ ? Les nombres $593$ et $1\,187$ sont premiers. -(A) Expliquer brièvement pourquoi, si $b^2 = \bar 1$ avec $b \in +(A) Expliquer brièvement pourquoi, si $b^2 = \bar 1$ avec $b \in \mathbb{Z}/1187\mathbb{Z}$ alors $b = \bar 1$ ou $b = -\bar 1$ -(indication : factoriser $b^2 - \bar 1$). +(indication : factoriser $b^2 - \bar 1$). -(B) Quelles sont les valeurs possibles de $a^{593}$ modulo $1\,187$ -(pour $a$ un entier quelconque) ? +(B) Quelles sont les valeurs possibles de $a^{593}$ modulo $1\,187$ +(pour $a$ un entier quelconque) ? -(C) Montrer que $a^{593} \equiv -1 \pmod{1\,187}$ si et seulement si -$a$ est primitif modulo $1\,187$ \emph{ou} $a \equiv -1 +(C) Montrer que $a^{593} \equiv -1 \pmod{1\,187}$ si et seulement si +$a$ est primitif modulo $1\,187$ \emph{ou} $a \equiv -1 \pmod{1\,187}$. \begin{corrige} -(A) Si $b^2 = \bar 1$ avec $b \in \mathbb{Z}/1187\mathbb{Z}$, alors +(A) Si $b^2 = \bar 1$ avec $b \in \mathbb{Z}/1187\mathbb{Z}$, alors $(b-\bar 1)(b+\bar 1) = b^2 - \bar 1 = \bar 0$. Comme $\mathbb{Z}/1187\mathbb{Z}$ est un corps (et en particulier, un - anneau intègre), un produit ne peut être nul que si un des deux + anneau intègre), un produit ne peut être nul que si un des deux facteurs est nul, donc soit $b - \bar 1 = \bar 0$, soit $b + \bar 1 - = \bar 0$, c'est-à-dire soit $b = \bar 1$ soit $b = -\bar 1$. + = \bar 0$, c'est-à -dire soit $b = \bar 1$ soit $b = -\bar 1$. -(B) On a $1\,186 = 2\times 593$. Le théorème d'Euler ou de Fermat +(B) On a $1\,186 = 2\times 593$. Le théorème d'Euler ou de Fermat assure que $a^{1\,186} \equiv 1 \pmod{1\,187}$ pour tout $a$ non - multiple de $1\,187$, c'est-à-dire $(a^{593})^2 \equiv 1 - \pmod{1\,187}$ : d'après ce qu'on vient de voir, ceci signifie que + multiple de $1\,187$, c'est-à -dire $(a^{593})^2 \equiv 1 + \pmod{1\,187}$ : d'après ce qu'on vient de voir, ceci signifie que $a^{593}\equiv 1$ ou $a^{593}\equiv -1$. (Et ces deux cas se produisent effectivement, comme le montrent les exemples de $a=1$ et - $a=-1$.) Enfin, si $a$ est multiple de $1\,187$, on a évidemment + $a=-1$.) Enfin, si $a$ est multiple de $1\,187$, on a évidemment $a^{593} \equiv 0^{593} = 0 \pmod{1\,187}$. Les trois valeurs - possibles sont donc : $+1, -1, 0$. + possibles sont donc : $+1, -1, 0$. -(Remarquons que les deux sous-questions ci-dessus n'ont pas utilisé le - fait que $593$ était premier, et fonctionnaient également en - remplaçant $1\,187$ par n'importe quel nombre premier $p$ impair et +(Remarquons que les deux sous-questions ci-dessus n'ont pas utilisé le + fait que $593$ était premier, et fonctionnaient également en + remplaçant $1\,187$ par n'importe quel nombre premier $p$ impair et $593$ par $(p-1)/2$.) -(C) Tout d'abord, si $a^{593} \not\equiv 0 \pmod{1\,187}$ alors $a$ - n'est pas multiple de $1\,187$, c'est-à-dire qu'il est premier avec +(C) Tout d'abord, si $a^{593} \not\equiv 0 \pmod{1\,187}$ alors $a$ + n'est pas multiple de $1\,187$, c'est-à -dire qu'il est premier avec $1\,187$. Lorsque c'est le cas, l'ordre multiplicatif de $a$ doit - diviser $\varphi(1\,187) = 2\times 593$ : les diviseurs de ce nombre - sont $1$, $2$, $593$ et $1\,186$. Le seul élément (de n'importe - quel groupe, noté multiplicativement) dont l'ordre est $1$ est $1$ - (le neutre) ; la première question montre que le seul élément de - $(\mathbb{Z}/1187\mathbb{Z})^\times$ dont l'ordre est $2$ est $-1$ ; + diviser $\varphi(1\,187) = 2\times 593$ : les diviseurs de ce nombre + sont $1$, $2$, $593$ et $1\,186$. Le seul élément (de n'importe + quel groupe, noté multiplicativement) dont l'ordre est $1$ est $1$ + (le neutre) ; la première question montre que le seul élément de + $(\mathbb{Z}/1187\mathbb{Z})^\times$ dont l'ordre est $2$ est $-1$ ; si l'ordre de $a$ est $593$ (en particulier, $a$ n'est pas primitif), alors $a^{593} \equiv 1 \pmod{1\,187}$. Enfin, si - l'ordre de $a$ est $1\,186$, c'est-à-dire si $a$ est primitif, alors - $a^{593}$ ne peut pas valoir $1$, et doit donc valoir $-1$. Tout - ceci mis ensemble, on a bien : $a^{593} \equiv -1 \pmod{1\,187}$ si + l'ordre de $a$ est $1\,186$, c'est-à -dire si $a$ est primitif, alors + $a^{593}$ ne peut pas valoir $1$, et doit donc valoir $-1$. Tout + ceci mis ensemble, on a bien : $a^{593} \equiv -1 \pmod{1\,187}$ si et seulement si $a \equiv -1 \pmod{1\,187}$ ou bien $a$ est primitif - modulo $1\,187$. + modulo $1\,187$. \end{corrige} % diff --git a/exercices2.tex b/exercices2.tex index c36ddd2..7cee362 100644 --- a/exercices2.tex +++ b/exercices2.tex @@ -1,7 +1,7 @@ %% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt]{article} \usepackage[francais]{babel} -\usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: @@ -25,12 +25,13 @@ \newcommand{\signe}{\operatorname{signe}} \newcommand{\tee}{\mathbin{\top}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}} +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % \newif\ifcorrige \corrigetrue \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% -\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} {{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% \ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} % @@ -38,9 +39,9 @@ % \begin{document} \ifcorrige -\title{INFMDI720\\Exercices --- Corrigé\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} +\title{INFMDI720\\Exercices --- Corrigé\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} \else -\title{INFMDI720\\Exercices\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} +\title{INFMDI720\\Exercices\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} \fi \author{} \date{} @@ -54,42 +55,42 @@ \exercice -Déterminer une relation de Bézout entre les polynômes $A = t^7 - t^6 + +Déterminer une relation de Bézout entre les polynômes $A = t^7 - t^6 + t^4 - t + 1$ et $B = t^6 + t^5 - t^4 + t^3 + t^2 + 1$ dans $\mathbb{F}_3[t]$. Quel est l'inverse de $\bar B$ dans -$\mathbb{F}_3[t]/(A)$ ? +$\mathbb{F}_3[t]/(A)$ ? \begin{corrige} -On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^7 - t^6 + t^4 - +On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^7 - t^6 + t^4 - t + 1 = (t+1)\penalty0 (t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1) + (t^4+t^3-t^2+t)$, puis $t^6 + t^5 - t^4 + t^3 + t^2 + 1 = t^2(t^4+t^3-t^2+t) + (t^2+1)$, puis $t^4 + t^3 - t^2 + t = (t^2+t+1)\penalty0 (t^2+1) - 1$. Le pgcd -de $A$ et $B$ est donc $1$ (ou $-1$, mais on a choisi de le prendre +de $A$ et $B$ est donc $1$ (ou $-1$, mais on a choisi de le prendre unitaire). -On calcule alors des relations $UP + VQ = D$ comme suit : +On calcule alors des relations $UP + VQ = D$ comme suit : \begin{itemize} -\item[$\bullet$] $U= -1$ ; $P= t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= t^2+t+1$ ; $Q= - t^2+1$ ; $D= 1$ (d'après la dernière division effectuée). -\item[$\bullet$] $U= -t^2$ ; $P= t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= 1$ ; $Q= - t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= t^2+1$ (d'après l'avant-dernière - division effectuée). -\item[$\bullet$] $U= -t^2(t^2+t+1)-1 = -t^4-t^3-t^2-1$ ; $P= - t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= t^2+t+1$ ; $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= 1$ - (en remplaçant la valeur de $t^2+1$ donnée par la dernière égalité à - la place du $Q$ de l'égalité précédente). -\item[$\bullet$] $U= 1$ ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$ ; $V= -(t+1)$ ; $Q= - t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= t^4+t^3-t^2+t$ (d'après la première - division effectuée). -\item[$\bullet$] $U= -t^4-t^3-t^2-1$ ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$ ; $V= - (t^2+t+1) - (-t^4-t^3-t^2-1)\penalty0 (t+1) = t^5-t^4-t^3-t^2-t-1$ ; - $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= 1$ (en remplaçant la valeur de - $t^4+t^3-t^2+t$ donnée par la dernière égalité à la place du $P$ de - l'égalité précédente. +\item[$\bullet$] $U= -1$ ; $P= t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= t^2+t+1$ ; $Q= + t^2+1$ ; $D= 1$ (d'après la dernière division effectuée). +\item[$\bullet$] $U= -t^2$ ; $P= t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= 1$ ; $Q= + t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= t^2+1$ (d'après l'avant-dernière + division effectuée). +\item[$\bullet$] $U= -t^2(t^2+t+1)-1 = -t^4-t^3-t^2-1$ ; $P= + t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= t^2+t+1$ ; $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= 1$ + (en remplaçant la valeur de $t^2+1$ donnée par la dernière égalité à + la place du $Q$ de l'égalité précédente). +\item[$\bullet$] $U= 1$ ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$ ; $V= -(t+1)$ ; $Q= + t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= t^4+t^3-t^2+t$ (d'après la première + division effectuée). +\item[$\bullet$] $U= -t^4-t^3-t^2-1$ ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$ ; $V= + (t^2+t+1) - (-t^4-t^3-t^2-1)\penalty0 (t+1) = t^5-t^4-t^3-t^2-t-1$ ; + $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= 1$ (en remplaçant la valeur de + $t^4+t^3-t^2+t$ donnée par la dernière égalité à la place du $P$ de + l'égalité précédente. \end{itemize} -On a donc trouvé la relation de Bézout : $(-t^4-t^3-t^2-1) \penalty0 +On a donc trouvé la relation de Bézout : $(-t^4-t^3-t^2-1) \penalty0 (t^7-t^6+t^4-t+1) + (t^5-t^4-t^3-t^2-t-1) \penalty0 (t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1) = 1$. @@ -104,54 +105,54 @@ t^3-\bar t^2-\bar t-1$. \exercice -(A) On admet que le polynôme $P := t^4 + t^3 + t^2 + t + 1 \in -\mathbb{F}_3[t]$ est irréductible. Combien d'éléments a $F := -\mathbb{F}_3[t]/(P)$ ? +(A) On admet que le polynôme $P := t^4 + t^3 + t^2 + t + 1 \in +\mathbb{F}_3[t]$ est irréductible. Combien d'éléments a $F := +\mathbb{F}_3[t]/(P)$ ? -(B) Quel est l'ordre (additif) de $\bar t$ dans le groupe additif -de $F$ ? +(B) Quel est l'ordre (additif) de $\bar t$ dans le groupe additif +de $F$ ? -(C) Calculer $\bar t^4$ et $\bar t^5$. Quel est l'ordre +(C) Calculer $\bar t^4$ et $\bar t^5$. Quel est l'ordre (multiplicatif) de $\bar t$ dans le groupe multiplicatif $F^\times$ -des éléments non-nuls de $F$ ? L'élément $\bar t$ est-il primitif ? -Le polynôme $P$ est-il primitif ? +des éléments non-nuls de $F$ ? L'élément $\bar t$ est-il primitif ? +Le polynôme $P$ est-il primitif ? -(D) Quels sont les conjugués de $\bar t$ (=ses images successives par -le morphisme de Frobenius) ? Quel est le degré de $\bar t$ ? +(D) Quels sont les conjugués de $\bar t$ (=ses images successives par +le morphisme de Frobenius) ? Quel est le degré de $\bar t$ ? \begin{corrige} -(A) Le nombre d'éléments de $F$ est $3^{\deg P} = 3^4 = 81$ (comme le - nombre de polynômes de degré $<4$ sur $\mathbb{F}_3$). On peut donc +(A) Le nombre d'éléments de $F$ est $3^{\deg P} = 3^4 = 81$ (comme le + nombre de polynômes de degré $<4$ sur $\mathbb{F}_3$). On peut donc noter $F = \mathbb{F}_{81}$. Il s'agit d'un corps, puisque $P$ est - irréductible. - -(B) Les multiples additifs de $\bar t$ sont $0$, $\bar t$ et $2\bar t - = -\bar t$, après quoi on retombe sur $0$ (la caractéristique de $F$ - est $3$). L'ordre additif de $\bar t$, comme celui de n'importe - quel élément non nul dans un corps de caractéristique $3$, est - donc $3$. - -(C) On a $\bar t^4 = -\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$ comme il - résulte d'une division euclidienne (évidente) de $t^4$ par $P$. Par - conséquent, $\bar t^5 = -\bar t^4 - \bar t^3 - \bar t^2 - \bar t = - 1$ (on peut aussi faire la division euclidienne de $t^5$ par $P$). - Ceci signifie que l'ordre multiplicatif de $\bar t$ divise $5$, - c'est-à-dire qu'il vaut $1$ ou $5$. Comme il ne vaut pas $1$ - (puisque $\bar t$ ne vaut pas $1$), il vaut $5$. De fait, les - puissances de $\bar t$ sont : $1$, $\bar t$, $\bar t^2$, $\bar t^3$ - et $-\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$, après quoi on retombe - sur $1$. Comme $F^\times$ a $80$ éléments, $\bar t$ n'est pas - primitif (un élément primitif est un élément d'ordre - multiplicatif $80$). Ceci signifie précisément que le polynôme $P$ + irréductible. + +(B) Les multiples additifs de $\bar t$ sont $0$, $\bar t$ et $2\bar t + = -\bar t$, après quoi on retombe sur $0$ (la caractéristique de $F$ + est $3$). L'ordre additif de $\bar t$, comme celui de n'importe + quel élément non nul dans un corps de caractéristique $3$, est + donc $3$. + +(C) On a $\bar t^4 = -\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$ comme il + résulte d'une division euclidienne (évidente) de $t^4$ par $P$. Par + conséquent, $\bar t^5 = -\bar t^4 - \bar t^3 - \bar t^2 - \bar t = + 1$ (on peut aussi faire la division euclidienne de $t^5$ par $P$). + Ceci signifie que l'ordre multiplicatif de $\bar t$ divise $5$, + c'est-à -dire qu'il vaut $1$ ou $5$. Comme il ne vaut pas $1$ + (puisque $\bar t$ ne vaut pas $1$), il vaut $5$. De fait, les + puissances de $\bar t$ sont : $1$, $\bar t$, $\bar t^2$, $\bar t^3$ + et $-\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$, après quoi on retombe + sur $1$. Comme $F^\times$ a $80$ éléments, $\bar t$ n'est pas + primitif (un élément primitif est un élément d'ordre + multiplicatif $80$). Ceci signifie précisément que le polynôme $P$ n'est pas primitif. -(D) Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^3$ - dans $F$. Les conjugués de $\bar t$, c'est-à-dire ses images - successives par le Frobenius sont : $\bar t$ lui-même, $\bar t^3$, +(D) Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^3$ + dans $F$. Les conjugués de $\bar t$, c'est-à -dire ses images + successives par le Frobenius sont : $\bar t$ lui-même, $\bar t^3$, puis $\bar t^9 = \bar t^4 = -\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$ (car - $\bar t^5 = 1$ à ce qu'on a vu), et ensuite on retombe sur $\bar - t^{81} = \bar t$. Le degré de $\bar t$ est $4$ (c'est forcément le - degré de $P$). + $\bar t^5 = 1$ à ce qu'on a vu), et ensuite on retombe sur $\bar + t^{81} = \bar t$. Le degré de $\bar t$ est $4$ (c'est forcément le + degré de $P$). \end{corrige} % @@ -160,29 +161,29 @@ le morphisme de Frobenius) ? Quel est le degré de $\bar t$ ? \exercice -(A) On admet que le polynôme $P := t^4 + t + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$ -est irréductible. Combien d'éléments a $F := \mathbb{F}_2[t]/(P)$ ? +(A) On admet que le polynôme $P := t^4 + t + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$ +est irréductible. Combien d'éléments a $F := \mathbb{F}_2[t]/(P)$ ? -(B) Dresser la liste des puissances successives de $\bar t$ dans $F$. -Quel est l'ordre de $\bar t$ ? Est-il primitif ? Quel est l'inverse -de $\bar t$ ? Quels sont tous les éléments primitifs de $F$ ? Quel -est l'ordre multiplicatif de $\bar t^3$ ? Même question pour $\bar +(B) Dresser la liste des puissances successives de $\bar t$ dans $F$. +Quel est l'ordre de $\bar t$ ? Est-il primitif ? Quel est l'inverse +de $\bar t$ ? Quels sont tous les éléments primitifs de $F$ ? Quel +est l'ordre multiplicatif de $\bar t^3$ ? Même question pour $\bar t^5$. -(C) Quels sont les conjugués de $\bar t$ ? Quel est son degré ? -Mêmes questions pour $\bar t^3$. Mêmes questions pour $\bar t^5$. +(C) Quels sont les conjugués de $\bar t$ ? Quel est son degré ? +Mêmes questions pour $\bar t^3$. Mêmes questions pour $\bar t^5$. -(D) Quels sont les éléments de l'unique corps à $4$ éléments contenu -dans $F$ ? +(D) Quels sont les éléments de l'unique corps à $4$ éléments contenu +dans $F$ ? \begin{corrige} -(A) Le nombre d'éléments de $F$ est $2^{\deg P} = 2^4 = 16$ (comme le - nombre de polynômes de degré $<4$ sur $\mathbb{F}_2$). On peut donc +(A) Le nombre d'éléments de $F$ est $2^{\deg P} = 2^4 = 16$ (comme le + nombre de polynômes de degré $<4$ sur $\mathbb{F}_2$). On peut donc noter $F = \mathbb{F}_{16}$. Il s'agit d'un corps, puisque $P$ est - irréductible. + irréductible. -(B) On calcule successivement en multipliant par $t$ et en se - rappelant que $t^4 \equiv t+1 \pmod{P}$ : +(B) On calcule successivement en multipliant par $t$ et en se + rappelant que $t^4 \equiv t+1 \pmod{P}$ : \begin{tabular}{r|l} $i$&$\bar t^i$\\\hline @@ -204,52 +205,52 @@ $14$&$\bar t^4+\bar t^3+\bar t = \bar t^3+1$\\\hline $15$&$\bar t^4+\bar t = 1$\\ \end{tabular} -L'ordre de $\bar t$ est donc $15$, il est primitif puisque $\#F^\times -= \#F-1 = 15$, tous les éléments non-nuls de $F$ ont été listés -ci-dessus et on a même, plus précisément, établi un isomorphisme de +L'ordre de $\bar t$ est donc $15$, il est primitif puisque $\#F^\times += \#F-1 = 15$, tous les éléments non-nuls de $F$ ont été listés +ci-dessus et on a même, plus précisément, établi un isomorphisme de groupes $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}) \to F^\times$ par $\bar\imath -\mapsto \bar t^i$. Cet isomorphisme permet de répondre facilement aux -questions suivantes : l'inverse de $\bar t$ est celui qui correspond à -l'opposé de $1$, soit $\bar t^{14} = \bar t^3+1$. Les éléments -primitifs sont ceux qui correspondent aux générateurs de -$\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ (c'est-à-dire les classes des nombres +\mapsto \bar t^i$. Cet isomorphisme permet de répondre facilement aux +questions suivantes : l'inverse de $\bar t$ est celui qui correspond à +l'opposé de $1$, soit $\bar t^{14} = \bar t^3+1$. Les éléments +primitifs sont ceux qui correspondent aux générateurs de +$\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ (c'est-à -dire les classes des nombres premiers avec $15$, soit $\bar 1$, $\bar 2$, $\bar 4$, $\bar 7$, $\bar 8$, $\bar{11}$, $\bar{13}$, $\bar{14}$), donc $\bar t$, $\bar t^2$, $\bar t^4 = \bar t+1$, $\bar t^7 = \bar t^3+\bar t+1$, $\bar t^8 = \bar t^2+1$, $\bar t^{11} = \bar t^3+\bar t^2+\bar t$, $\bar t^{13} = \bar t^3+\bar t^2+1$ et $\bar t^{14} = \bar t^3+1$. L'ordre -(multiplicatif) de $\bar t^3$ dans $F^\times$ est le même que l'ordre -(additif) de $3$ dans $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$, soit $5$, et de même -l'ordre multiplicatif de $\bar t^5$ dans $F^\times$ est $3$. - -(C) Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^2$ -dans $F$. Les conjugués de $\bar t$, c'est-à-dire ses images -successives par le Frobenius sont : $\bar t$ lui-même, $\bar t^2$, -$\bar t^4 = \bar t+1$, $\bar t^8 = \bar t^2+1$ après quoi on retombe -sur $\bar t^{16} = \bar t$. Le degré de $\bar t$ est $4$ (c'est -forcément le degré de $P$). Pour ce qui est du degré de $\bar t^3$, -ses images successives par le Frobenius sont : $\bar t^3$ lui-même, +(multiplicatif) de $\bar t^3$ dans $F^\times$ est le même que l'ordre +(additif) de $3$ dans $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$, soit $5$, et de même +l'ordre multiplicatif de $\bar t^5$ dans $F^\times$ est $3$. + +(C) Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^2$ +dans $F$. Les conjugués de $\bar t$, c'est-à -dire ses images +successives par le Frobenius sont : $\bar t$ lui-même, $\bar t^2$, +$\bar t^4 = \bar t+1$, $\bar t^8 = \bar t^2+1$ après quoi on retombe +sur $\bar t^{16} = \bar t$. Le degré de $\bar t$ est $4$ (c'est +forcément le degré de $P$). Pour ce qui est du degré de $\bar t^3$, +ses images successives par le Frobenius sont : $\bar t^3$ lui-même, $\bar t^6 = \bar t^3+\bar t^2$, $\bar t^{12} = \bar t^3+\bar t^2+\bar -t+1$ et $\bar t^{24} = \bar t^9 = \bar t^3+\bar t$, après quoi on -retombe sur $\bar t^{48} = \bar t^3$ ; donc le degré de $\bar t^3$ est -également $4$. Enfin, pour calculer le degré de $\bar t^5$, on a ses -images successives qui sont $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ lui-même et +t+1$ et $\bar t^{24} = \bar t^9 = \bar t^3+\bar t$, après quoi on +retombe sur $\bar t^{48} = \bar t^3$ ; donc le degré de $\bar t^3$ est +également $4$. Enfin, pour calculer le degré de $\bar t^5$, on a ses +images successives qui sont $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ lui-même et $\bar t^{10} = \bar t^2+\bar t+1$, puis $\bar t^{20} = \bar t^5$, donc -il n'y a que deux conjugués (en comptant $\bar t^5$ lui-même), et son -degré est $2$. - -(D) On sait que $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $F = \mathbb{F}_{16}$ -car $16$ est une puissance de $4$, et on sait qu'alors $\mathbb{F}_4 = -\{x\in F : x^4=x\}$. Une façon de trouver ces éléments est de -réécrire $x^4 = x$ comme $(x^2)^2 = x$ (on retombe sur $x$ après deux -applications du Frobenius : ou encore, le degré de $x$ est $1$ -ou $2$) ; les éléments vérifiant ceci sont $0$ et $1$, bien sûr, et +il n'y a que deux conjugués (en comptant $\bar t^5$ lui-même), et son +degré est $2$. + +(D) On sait que $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $F = \mathbb{F}_{16}$ +car $16$ est une puissance de $4$, et on sait qu'alors $\mathbb{F}_4 = +\{x\in F : x^4=x\}$. Une façon de trouver ces éléments est de +réécrire $x^4 = x$ comme $(x^2)^2 = x$ (on retombe sur $x$ après deux +applications du Frobenius : ou encore, le degré de $x$ est $1$ +ou $2$) ; les éléments vérifiant ceci sont $0$ et $1$, bien sûr, et aussi $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ comme on vient de le voir, et -forcément $\bar t^5 + 1 = \bar t^2+\bar t+1$ (puisqu'un corps est -stable ar addition). Une autre façon de résoudre $x^4 = x$ est de le -réécrire comme $x=0$ ou bien $x^3 = 1$, c'est-à-dire qu'il s'agit de -$0$ et des éléments d'ordre divisant $3$, donc, d'après l'isomorphisme -déjà déterminé, $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ et $\bar t^{10} = \bar +forcément $\bar t^5 + 1 = \bar t^2+\bar t+1$ (puisqu'un corps est +stable ar addition). Une autre façon de résoudre $x^4 = x$ est de le +réécrire comme $x=0$ ou bien $x^3 = 1$, c'est-à -dire qu'il s'agit de +$0$ et des éléments d'ordre divisant $3$, donc, d'après l'isomorphisme +déjà déterminé, $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ et $\bar t^{10} = \bar t^2+\bar t+1$. \end{corrige} @@ -260,30 +261,30 @@ t^2+\bar t+1$. \exercice Calculer le pgcd dans $\mathbb{F}_{11}[t]$ de $t^2 - 2$ et $t^{11}-t$. -En déduire que $2$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_{11}$ -(c'est-à-dire qu'il n'existe pas de $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel -que $\alpha^2 = 2$ ; indication : de quels polynômes intéressants -$\alpha$ serait-il racine ?). +En déduire que $2$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_{11}$ +(c'est-à -dire qu'il n'existe pas de $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel +que $\alpha^2 = 2$ ; indication : de quels polynômes intéressants +$\alpha$ serait-il racine ?). \begin{corrige} -On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^{11}-t = (t^9 + +On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^{11}-t = (t^9 + 2t^7 + 4t^5 - 3t^3 + 5t)\penalty0 (t^2-2) + 9t$, puis $t^2-2 = (5t)(9t) - 2$, le dernier reste est une constante donc le pgcd -vaut $1$. +vaut $1$. S'il y avait un $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel que $\alpha^2 = 2$, -alors il serait racine à la fois de $t^2 - 2$ en vertu de +alors il serait racine à la fois de $t^2 - 2$ en vertu de $\alpha^2=2$, et $t^{11} - t$ en vertu de $\alpha\in\mathbb{F}_{11}$ -(et du petit théorème de Fermat). C'est-à-dire que $t-\alpha$ serait -un facteur commu à $t^2-2$ et $t^{11}-t$, et on vient de voir qu'il +(et du petit théorème de Fermat). C'est-à -dire que $t-\alpha$ serait +un facteur commu à $t^2-2$ et $t^{11}-t$, et on vient de voir qu'il n'y en a pas. -\emph{Remarque :} Vérifier que $t^2-2$ et $t^{11}-t$ sont premiers -entre eux est une des parties du critère de Rabin pour vérifier que -$t^2-2$ est irréductible. Ici, il n'y a pas besoin d'en faire plus : +\emph{Remarque :} Vérifier que $t^2-2$ et $t^{11}-t$ sont premiers +entre eux est une des parties du critère de Rabin pour vérifier que +$t^2-2$ est irréductible. Ici, il n'y a pas besoin d'en faire plus : comme $t^2-2$ n'a pas de racine, cela signifie qu'il n'a pas de -facteur de degré $1$, et comme il est de degré $2$, il est -irréductible. +facteur de degré $1$, et comme il est de degré $2$, il est +irréductible. \end{corrige} % diff --git a/rappels-maths.tex b/rappels-maths.tex index 50168cf..8df213a 100644 --- a/rappels-maths.tex +++ b/rappels-maths.tex @@ -1,8 +1,8 @@ %% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt]{article} \usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: \usepackage{amsmath} @@ -18,10 +18,10 @@ \newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection] \newcommand\thingy{% \refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} } -\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition} +\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition} \newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition} \newtheorem{lem}[comcnt]{Lemme} -\newtheorem{thm}[comcnt]{Théorème} +\newtheorem{thm}[comcnt]{Théorème} \newtheorem{cor}[comcnt]{Corollaire} \newtheorem{rmk}[comcnt]{Remarque} \newtheorem{exmps}[comcnt]{Exemples} @@ -33,6 +33,7 @@ \newcommand{\tee}{\mathbin{\top}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % % % @@ -60,185 +61,185 @@ On appelle $\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$ l'ensemble des entiers relatifs. Il a pour sous-ensemble $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}$ l'ensemble des entiers naturels (ou positifs). -Sur $\mathbb{Z}$ on a les opérations : $+$ (addition) et $\times$ -(multiplication) ; et les éléments remarquables : $0$, $1$. Ces -données vérifient les propriétés suivantes : +Sur $\mathbb{Z}$ on a les opérations : $+$ (addition) et $\times$ +(multiplication) ; et les éléments remarquables : $0$, $1$. Ces +données vérifient les propriétés suivantes : \begin{enumerate} -\item Associativité de l'addition : $x+(y+z) = (x+y)+z$ -\item Neutralité de zéro pour l'addition : $0+x = x+0 = x$ -\item Existence d'opposés (=symétriques pour l'addition) : (pour - chaque $x$, il existe un élément noté $-x$ tel que) $x + (-x) = (-x) +\item Associativité de l'addition : $x+(y+z) = (x+y)+z$ +\item Neutralité de zéro pour l'addition : $0+x = x+0 = x$ +\item Existence d'opposés (=symétriques pour l'addition) : (pour + chaque $x$, il existe un élément noté $-x$ tel que) $x + (-x) = (-x) + x = 0$ -\item Commutativité de l'addition : $y+x = x+y$ -\item Distributivité de la multiplication sur l'addition : $x(y+z) = +\item Commutativité de l'addition : $y+x = x+y$ +\item Distributivité de la multiplication sur l'addition : $x(y+z) = xy + xz$ et $(x+y)z=xz+yz$ -\item Associativité de la multiplication : $x(yz) = (xy)z$ -\item Neutralité de un pour la multiplication : $1x = x1 = x$ -\item Commutativité de la multiplication : $yx = xy$ +\item Associativité de la multiplication : $x(yz) = (xy)z$ +\item Neutralité de un pour la multiplication : $1x = x1 = x$ +\item Commutativité de la multiplication : $yx = xy$ \end{enumerate} -Les trois premières propriétés traduisent le fait que $\mathbb{Z}$ est -un \emph{groupe} pour l'addition ; les quatre premières, que -$\mathbb{Z}$ est un \emph{groupe abélien} pour l'addition ; les sept -premières propriétés traduisent le fait que $\mathbb{Z}$ est un -\emph{anneau} ; les huit propriétés réunies traduisent le fait que +Les trois premières propriétés traduisent le fait que $\mathbb{Z}$ est +un \emph{groupe} pour l'addition ; les quatre premières, que +$\mathbb{Z}$ est un \emph{groupe abélien} pour l'addition ; les sept +premières propriétés traduisent le fait que $\mathbb{Z}$ est un +\emph{anneau} ; les huit propriétés réunies traduisent le fait que $\mathbb{Z}$ est un \textbf{anneau commutatif}. -Mieux : c'est un \emph{anneau intègre} : si $uv=0$ alors $u=0$ ou -$v=0$ (la réciproque est vraie dans n'importe quel anneau : $0x = x0 = +Mieux : c'est un \emph{anneau intègre} : si $uv=0$ alors $u=0$ ou +$v=0$ (la réciproque est vraie dans n'importe quel anneau : $0x = x0 = 0$). -Éléments inversibles : un \textbf{inversible} ou une \textbf{unité} -(dans un anneau commutatif) est un élément $x$ tel qu'il existe $y$ +Éléments inversibles : un \textbf{inversible} ou une \textbf{unité} +(dans un anneau commutatif) est un élément $x$ tel qu'il existe $y$ tel que $xy = 1$. Dans $\mathbb{Z}$, les inversibles sont $1$ et $-1$. -On a aussi sur $\mathbb{Z}$ une relation d'ordre : c'est-à-dire une -relation réflexive (on a toujours $x\leq x$), antisymétrique (si +On a aussi sur $\mathbb{Z}$ une relation d'ordre : c'est-à -dire une +relation réflexive (on a toujours $x\leq x$), antisymétrique (si $x\leq y$ et $y\leq x$ alors $x=y$) et transitive (si $x\leq y$ et $y\leq z$ alors $x\leq z$). % -\subsection{Écriture $b$-adique} +\subsection{Écriture $b$-adique} -Si $b\geq 2$ est un entier naturel, tout entier naturel $A$ s'écrit de -façon unique $A = \sum_{i=0}^{+\infty} a_i b^i$ avec $0\leq a_i<b$ -entiers naturels « presque tous nuls » (c'est-à-dire nuls sauf un -nombre fini : donc la somme peut en fait s'écrire $A = +Si $b\geq 2$ est un entier naturel, tout entier naturel $A$ s'écrit de +façon unique $A = \sum_{i=0}^{+\infty} a_i b^i$ avec $0\leq a_i<b$ +entiers naturels « presque tous nuls » (c'est-à -dire nuls sauf un +nombre fini : donc la somme peut en fait s'écrire $A = \sum_{i=0}^{n-1} a_i b^i$). Les $a_i$ s'appellent les \emph{chiffres} -de cette écriture $b$-adique, $a_0$ s'appelant le chiffre des -\emph{unités} ou chiffre \emph{de poids faible}. +de cette écriture $b$-adique, $a_0$ s'appelant le chiffre des +\emph{unités} ou chiffre \emph{de poids faible}. -Écriture usuelle : $b=10$. Informatique : $b=2$ (les chiffres portent -alors le nom de \emph{bits}). Un nombre « de $n$ bits » signifie : -inférieur à $2^n$. +Écriture usuelle : $b=10$. Informatique : $b=2$ (les chiffres portent +alors le nom de \emph{bits}). Un nombre « de $n$ bits » signifie : +inférieur à  $2^n$. -Multiplier par $b$ revient à décaler tous les chiffres d'un cran vers +Multiplier par $b$ revient à décaler tous les chiffres d'un cran vers le poids fort (et mettre un $0$ comme nouveau chiffre de poids faible). % -\subsection{Remarques sur la complexité des opérations} +\subsection{Remarques sur la complexité des opérations} -Addition de nombres de $n$ bits : algorithme naïf en $O(n)$. +Addition de nombres de $n$ bits : algorithme naïf en $O(n)$. -Multiplication : plus compliqué. +Multiplication : plus compliqué. -Algorithme naïf en $O(n^2)$ (appris à l'école primaire). +Algorithme naïf en $O(n^2)$ (appris à l'école primaire). -\emph{Multiplication de Karatsuba} : utilise récursivement l'identité +\emph{Multiplication de Karatsuba} : utilise récursivement l'identité ${(a_1 w + a_0)} \penalty0 {(b_1 w + b_0)} = a_1 b_1 w^2 +[(a_1+a_0)(b_1+b_0)-a_1 b_1-a_0 b_0] w + a_0 b_0$ (avec $a_0,a_1$ les -moitiés de poids respectivement faible et fort des chiffres du nombre -$A = a_1 w + a_0$ à multiplier et $b_0,b_1$ les moitiés de poids -faible et fort du nombre $B = b_1 w + b_0$ ; ici, $w$ vaut $2^{n/2}$ +moitiés de poids respectivement faible et fort des chiffres du nombre +$A = a_1 w + a_0$ à multiplier et $b_0,b_1$ les moitiés de poids +faible et fort du nombre $B = b_1 w + b_0$ ; ici, $w$ vaut $2^{n/2}$ si on travaille en binaire sur des nombres de $n$ bits), pour une -complexité en $O(n^{\frac{\log 3}{\log 2}})$ (soit -$O(n^{1.58\ldots})$). Facile à implémenter. +complexité en $O(n^{\frac{\log 3}{\log 2}})$ (soit +$O(n^{1.58\ldots})$). Facile à implémenter. -\emph{Multiplication de Strassen} : par transformée de Fourier -rapide, complexité en $O(n\,\log^2 n)$, difficile à implémenter. -Amélioration de Schönhage : $O(n\,\log n\,\log\log n)$ --- -complètement théorique. +\emph{Multiplication de Strassen} : par transformée de Fourier +rapide, complexité en $O(n\,\log^2 n)$, difficile à implémenter. +Amélioration de Schönhage : $O(n\,\log n\,\log\log n)$ --- +complètement théorique. % -\subsection{Divisiblité (exacte)} +\subsection{Divisiblité (exacte)} Si $a$ et $b$ sont deux entiers, on dit que $b$ divise $a$, et on note $b|a$, lorsqu'il existe $q \in \mathbb{Z}$ tel que $a = bq$. -Cette relation est réflexive (on a $a|a$ pour tout $a$) et transitive -(si $b|a$ et $c|b$ alors $c|a$). Elle n'est pas tout à fait -antisymétrique, mais c'est vrai dans les entiers naturels : si $a$ et +Cette relation est réflexive (on a $a|a$ pour tout $a$) et transitive +(si $b|a$ et $c|b$ alors $c|a$). Elle n'est pas tout à fait +antisymétrique, mais c'est vrai dans les entiers naturels : si $a$ et $b$ sont des entiers naturels tels que $b|a$ et $a|b$ alors $b=a$ (dans les entiers relatifs, on peut aussi avoir $b=-a$). -Note : Les entiers $1$ et $-1$ divisent tous les entiers. L'entier +Note : Les entiers $1$ et $-1$ divisent tous les entiers. L'entier $0$ est divisible par tous les entiers. % \subsection{Nombres premiers} -Un \textbf{nombre premier} $p$ est un entier (par convention : -positif) divisible seulement par $1$, $-1$, lui-même et son opposé ; +Un \textbf{nombre premier} $p$ est un entier (par convention : +positif) divisible seulement par $1$, $-1$, lui-même et son opposé ; mais par convention, $1$ et $-1$ (et $0$...) ne sont pas premiers. -Les premiers nombres premiers sont donc : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, +Les premiers nombres premiers sont donc : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$, $59$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $97$... \medbreak -Sur leur répartition : +Sur leur répartition : -Il y en a une infinité (Euclide). +Il y en a une infinité (Euclide). Pour tout $x>1$, il y a toujours un nombre premier $p$ tel que $x < p -< 2x$ (\v Ceby\v sëv : « postulat de Bertrand », démontré en 1850). -De façon équivalente : si $p$ est premier, alors le nombre premier qui -le suit immédiatement est $<2p$. - -Le nombre $\pi(x)$ de nombres premiers $\leq x$ est équivalent à -$\frac{x}{\ln x}$ lorsque $x\to +\infty$ (Hadamard \& de la Vallée -Poussin : « théorème des nombres premiers », démontré en 1896). -Moralement : la probabilité qu'un nombre de $n$ bits aléatoire soit +< 2x$ (\v Ceby\v sëv : « postulat de Bertrand », démontré en 1850). +De façon équivalente : si $p$ est premier, alors le nombre premier qui +le suit immédiatement est $<2p$. + +Le nombre $\pi(x)$ de nombres premiers $\leq x$ est équivalent à +$\frac{x}{\ln x}$ lorsque $x\to +\infty$ (Hadamard \& de la Vallée +Poussin : « théorème des nombres premiers », démontré en 1896). +Moralement : la probabilité qu'un nombre de $n$ bits aléatoire soit premier est environ $\frac{1}{n\,\ln 2}$. -Beaucoup de questions ouvertes. Par exemple : Conjecture des nombres -premiers jumeaux : existe-t-il une infinité de nombres premiers $p$ +Beaucoup de questions ouvertes. Par exemple : Conjecture des nombres +premiers jumeaux : existe-t-il une infinité de nombres premiers $p$ tels que $p+2$ soit aussi premier (tels que $3$, $5$, $11$, $17$, -$29$, $41$, $59$, $71$...) ? +$29$, $41$, $59$, $71$...) ? \smallbreak -\textbf{Lemme de Gauß :} pour $p$ premier, si $p$ divise $ab$ alors -$p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$. +\textbf{Lemme de Gauß :} pour $p$ premier, si $p$ divise $ab$ alors +$p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$. % -\subsection{Décomposition en facteurs premiers} +\subsection{Décomposition en facteurs premiers} -Pour tout entier $n$ \emph{non nul}, il existe une écriture -\emph{unique} (à l'ordre près) de $n$ comme produit d'une \emph{unité} -($1$ ou $-1$) et de nombres premiers : en regroupant les facteurs -premiers $p$, +Pour tout entier $n$ \emph{non nul}, il existe une écriture +\emph{unique} (à l'ordre près) de $n$ comme produit d'une \emph{unité} +($1$ ou $-1$) et de nombres premiers : en regroupant les facteurs +premiers $p$, \[ n = u\, 2^{v_2(n)} \, 3^{v_3(n)} \cdots p^{v_p(n)}\cdots \] Ici, $v_p(n)$ (un entier naturel) est l'exposant de la plus grande -puissance de $p$ qui divise $n$ : on l'appelle \emph{valuation -$p$-adique} de $n$. Presque tous ces nombres sont nuls, ce qui permet +puissance de $p$ qui divise $n$ : on l'appelle \emph{valuation +$p$-adique} de $n$. Presque tous ces nombres sont nuls, ce qui permet de donner un sens au produit infini. Dire que $b|a$ signifie $v_p(b) -\leq v_p(a)$ pour tout $p$. +\leq v_p(a)$ pour tout $p$. -Quant à $u$, c'est simplement le signe de $n$. +Quant à $u$, c'est simplement le signe de $n$. -Exemple : $7920 = 2^4\times 3^2\times 5\times 11$, c'est-à-dire que +Exemple : $7920 = 2^4\times 3^2\times 5\times 11$, c'est-à -dire que $v_2(7920)=4$, $v_3(7920)=2$, $v_5(7920)=1$, $v_7(7920)=0$, $v_{11}(7920)=1$, et $v_p(7920)=0$ pour n'importe quel nombre premier $p\geq 13$. % -\subsection{Remarques sur la complexité} +\subsection{Remarques sur la complexité} Toujours pour des nombres de $n$ bits. -\textbf{Tests de primalité :} \emph{polynomiaux}. Un test polynomial -\emph{déterministe} est connu depuis seulement récemment -(Agrawal-Kayal-Saxena), démontrablement en $O(n^{12})$, sans doute -meilleur ($O(n^3)$ ?). En pratique, des tests probabilistes sont -suffisants et plus efficaces (p.e., Miller-Rabin « pratiquement » en -$O(n^2)$) éventuellement complétés par des certificats de primalité +\textbf{Tests de primalité :} \emph{polynomiaux}. Un test polynomial +\emph{déterministe} est connu depuis seulement récemment +(Agrawal-Kayal-Saxena), démontrablement en $O(n^{12})$, sans doute +meilleur ($O(n^3)$ ?). En pratique, des tests probabilistes sont +suffisants et plus efficaces (p.e., Miller-Rabin « pratiquement » en +$O(n^2)$) éventuellement complétés par des certificats de primalité (p.e., test d'Atkin). -\textbf{Algorithmes de factorisation :} \emph{lents}. Font appel à -des résultats difficiles de théorie algébrique et analytique des -nombres. La meilleure méthode connue (« méthode du crible général de -corps de nombres ») a une complexité « attendue » (et heuristique) en +\textbf{Algorithmes de factorisation :} \emph{lents}. Font appel à +des résultats difficiles de théorie algébrique et analytique des +nombres. La meilleure méthode connue (« méthode du crible général de +corps de nombres ») a une complexité « attendue » (et heuristique) en $O(e^{n^{1/3}\,(\log n)^{2/3}\,(\textrm{cte}+o(1))})$ (avec $\textrm{cte} \approx 2$). -On ne pourra donc pas envisager d'utiliser la décomposition en +On ne pourra donc pas envisager d'utiliser la décomposition en facteurs premiers pour calculer les pgcd. % @@ -246,21 +247,21 @@ facteurs premiers pour calculer les pgcd. Si $n$ est un entier et $p$ un nombre premier, $v_p(n)$ est l'exposant de la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$. Si $a/b$ est un -rationnel, on pose $v_p(a/b) = v_p(a)-v_p(b)$ (ne dépend pas de la -représentation $a/b$ choisie). Par convention, $v_p(0) = +\infty$. +rationnel, on pose $v_p(a/b) = v_p(a)-v_p(b)$ (ne dépend pas de la +représentation $a/b$ choisie). Par convention, $v_p(0) = +\infty$. -Quelle est la valuation $2$-adique de $192$ ? $3$-adique ? -$5$-adique ? Quelles sont les valuations $p$-adiques de -$-\frac{24}{11}$, pour tous les $p$ possibles ? +Quelle est la valuation $2$-adique de $192$ ? $3$-adique ? +$5$-adique ? Quelles sont les valuations $p$-adiques de +$-\frac{24}{11}$, pour tous les $p$ possibles ? -Propriétés de $v_p$ : produit (cf. lemme de Gauß) : on a $v_p(xy) = -v_p(x) + v_p(y)$ ; inégalité sur la somme : on a $v_p(x+y) \geq -\min(v_p(x), v_p(y))$ avec égalité si $v_p(x) \neq v_p(y)$. Dire que +Propriétés de $v_p$ : produit (cf. lemme de Gauß) : on a $v_p(xy) = +v_p(x) + v_p(y)$ ; inégalité sur la somme : on a $v_p(x+y) \geq +\min(v_p(x), v_p(y))$ avec égalité si $v_p(x) \neq v_p(y)$. Dire que $x \in \mathbb{Q}$ est entier signifie exactement $v_p(x) \geq 0$ pour -tout $p$. +tout $p$. -Remarque : calculer $v_p(n)$, pour un $n$ donné et un $p$ premier -donné, est facile. Ce qui est difficile dans la décomposition en +Remarque : calculer $v_p(n)$, pour un $n$ donné et un $p$ premier +donné, est facile. Ce qui est difficile dans la décomposition en facteurs premiers, c'est de trouver tous les $p$ tels que $v_p(n) > 0$ (ou en fait, en trouver \emph{un}). @@ -268,88 +269,88 @@ facteurs premiers, c'est de trouver tous les $p$ tels que $v_p(n) > 0$ \subsection{Division euclidienne} Si $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel \emph{non nul}, -il existe un unique couple $(q,r)$ tel que : +il existe un unique couple $(q,r)$ tel que : \begin{itemize} \item $q$ est un entier relatif, \item $r$ est un entier naturel tel que $0\leq r<b$, et \item $a = bq + r$. \end{itemize} On dit que $q$ est le \emph{quotient} et $r$ le \emph{reste} de la -\textbf{division euclidienne} de $a$ par $b$. (On appelle aussi $a$ +\textbf{division euclidienne} de $a$ par $b$. (On appelle aussi $a$ le \emph{dividende} et $b$ le \emph{diviseur}.) -Si $b\geq 2$, dans l'écriture $b$-adique de $a$, le dernier chiffre -($a_0$ avec les notations précédentes) est égal au reste $r$ de la -division euclidienne de $a$ par $b$. +Si $b\geq 2$, dans l'écriture $b$-adique de $a$, le dernier chiffre +($a_0$ avec les notations précédentes) est égal au reste $r$ de la +division euclidienne de $a$ par $b$. -Dire que $r=0$ signifie exactement que $b$ divise $a$ (la division +Dire que $r=0$ signifie exactement que $b$ divise $a$ (la division euclidienne est alors \emph{exacte}). -Exemple : le reste de la division euclidienne de $a$ (un entier -quelconque) par $2$ vaut : $0$ lorsque $a$ est \emph{pair}, et $1$ -lorsque $a$ est \emph{impair} ; ce sont les seules deux valeurs +Exemple : le reste de la division euclidienne de $a$ (un entier +quelconque) par $2$ vaut : $0$ lorsque $a$ est \emph{pair}, et $1$ +lorsque $a$ est \emph{impair} ; ce sont les seules deux valeurs possibles. \medbreak -\textbf{Algorithme naïf :} (celui de l'école primaire) en $O(n^2)$. +\textbf{Algorithme naïf :} (celui de l'école primaire) en $O(n^2)$. -\textbf{Algorithme sophistiqué :} en $O(n\,\log n\,\log\log n)$ avec -Schönhage-Strassen + méthode de Newton (+ subtilités). +\textbf{Algorithme sophistiqué :} en $O(n\,\log n\,\log\log n)$ avec +Schönhage-Strassen + méthode de Newton (+ subtilités). -Méthode de Newton : on inverse $b$ (en précision fixe) en itérant $x +Méthode de Newton : on inverse $b$ (en précision fixe) en itérant $x \leftarrow 2x - bx^2$. -Souvent implémentée \textbf{en matériel} pour certaines tailles -d'entiers (p. ex., division entière de 128 bits par 64 bits). +Souvent implémentée \textbf{en matériel} pour certaines tailles +d'entiers (p. ex., division entière de 128 bits par 64 bits). % \subsection{PGCD} Si $m_1,\ldots,m_\ell$ sont des entiers, on dit qu'un entier $c$ est -un \textbf{plus grand commun diviseur} (en abrégé : \emph{pgcd}) des -$m_i$ lorsque : +un \textbf{plus grand commun diviseur} (en abrégé : \emph{pgcd}) des +$m_i$ lorsque : \begin{itemize} \item $c$ divise chaque $m_i$ (i.e, $c$ est un diviseur commun - des $m_i$), et + des $m_i$), et \item tout entier $d$ qui divise chaque $m_i$ (i.e., tout diviseur commun des $m_i$) divise aussi $c$. \end{itemize} -En principe, le pgcd des $m_i$ est défini au signe près (si $c$ est un -pgcd des $m_i$ alors $-c$ l'est aussi) : en imposant qu'il soit -positif il devient unique et on parle alors \emph{du} pgcd des $m_i$. +En principe, le pgcd des $m_i$ est défini au signe près (si $c$ est un +pgcd des $m_i$ alors $-c$ l'est aussi) : en imposant qu'il soit +positif il devient unique et on parle alors \emph{du} pgcd des $m_i$. -Exemple : le pgcd de $6$ et $10$ est $2$ ; le pgcd de - $6$, $10$ et $15$ est $1$. +Exemple : le pgcd de $6$ et $10$ est $2$ ; le pgcd de + $6$, $10$ et $15$ est $1$. \medbreak -Le pgcd \emph{existe} toujours : on peut le trouver à partir de la -décomposition en facteurs premiers par +Le pgcd \emph{existe} toujours : on peut le trouver à partir de la +décomposition en facteurs premiers par \[ v_p(\pgcd(m_1,\ldots,m_\ell)) = \min(v_p(m_1),\ldots,v_p(m_\ell)) \] -(pour tout nombre premier $p$). Mais ce n'est pas une méthode -efficace de calcul ! +(pour tout nombre premier $p$). Mais ce n'est pas une méthode +efficace de calcul ! -\textbf{Notation :} Parfois $m_1\wedge \cdots \wedge m_\ell$, mais -cette notation peut être utilisée pour d'autres sortes de bornes inf. +\textbf{Notation :} Parfois $m_1\wedge \cdots \wedge m_\ell$, mais +cette notation peut être utilisée pour d'autres sortes de bornes inf. Certains textes anglais utilisent $(m,m')$ pour le pgcd de deux -entiers. La notation $\pgcd(\cdots)$ est évidemment la plus claire. +entiers. La notation $\pgcd(\cdots)$ est évidemment la plus claire. \medbreak -\textbf{Quelques propriétés :} +\textbf{Quelques propriétés :} \begin{itemize} -\item le pgcd d'un seul entier $m$ est $|m|$ (et le pgcd de zéro -entiers est $0$), +\item le pgcd d'un seul entier $m$ est $|m|$ (et le pgcd de zéro +entiers est $0$), \item le pgcd est associatif (par exemple\\ $\pgcd(m_1,m_2,m_3) = \pgcd(\pgcd(m_1,m_2),m_3)$), \item le produit est distributif sur le pgcd\\ ($\pgcd(cm_1,\ldots,cm_\ell) = |c|\,\pgcd(m_1,\ldots,m_\ell)$), -\item on peut toujours effacer des $0$ d'un pgcd, -\item dès qu'un des entiers est $1$ ou $-1$, le pgcd est $1$, -\item le pgcd d'une famille infinie se définit sans difficulté. +\item on peut toujours effacer des $0$ d'un pgcd, +\item dès qu'un des entiers est $1$ ou $-1$, le pgcd est $1$, +\item le pgcd d'une famille infinie se définit sans difficulté. \end{itemize} % @@ -357,142 +358,142 @@ entiers est $0$), Lorsque $\pgcd(m_1,\ldots,m_\ell)=1$, on dit que les $m_i$ sont \textbf{premiers entre eux} \emph{dans leur ensemble}. Cela signifie -qu'il n'existe aucun nombre premier (ou : aucun nombre autre que $\pm -1$) qui divise tous les $m_i$ à la fois. +qu'il n'existe aucun nombre premier (ou : aucun nombre autre que $\pm +1$) qui divise tous les $m_i$ à la fois. Lorsque $\pgcd(m_i,m_j)=1$ pour tous $i\neq j$, on dit que les $m_i$ -sont premiers entre eux \emph{deux à deux}. +sont premiers entre eux \emph{deux à deux}. -Bien entendu, pour seulement deux nombres, ces définitions coïncident, +Bien entendu, pour seulement deux nombres, ces définitions coïncident, et on dit simplement qu'ils sont premiers entre eux. -Exemple : $6, 10, 15$ sont premiers entre eux dans leur ensemble, mais -pas deux à deux. +Exemple : $6, 10, 15$ sont premiers entre eux dans leur ensemble, mais +pas deux à deux. -\textbf{Lemme de Gauß amélioré :} Si $m$ et $n$ sont premiers entre -eux, être multiple de $m$ et de $n$ équivaut à être multiple de $mn$. +\textbf{Lemme de Gauß amélioré :} Si $m$ et $n$ sont premiers entre +eux, être multiple de $m$ et de $n$ équivaut à être multiple de $mn$. -\textbf{Dirichlet :} La probabilité pour que deux entiers « tirés au - hasard » soient premiers entre eux est $\frac{6}{\pi^2}$ -(c'est-à-dire que la probabilité que deux entiers tirés au hasard +\textbf{Dirichlet :} La probabilité pour que deux entiers « tirés au + hasard » soient premiers entre eux est $\frac{6}{\pi^2}$ +(c'est-à -dire que la probabilité que deux entiers tirés au hasard entre $0$ et $N-1$ soient premiers entre eux tend vers $\frac{6}{\pi^2}$ quand $N \to +\infty$). % \subsection{PPCM} -Définition analogue au pgcd (un ppcm de $m_1,\ldots,m_\ell$ est un -multiple commun à tous les $m_i$ qui divise n'importe quel autre -multiple commun ; par convention, on prend celui qui est positif). -Exemple : le ppcm de $6$ et $10$ est $30$ ; le ppcm de $6$, $10$ et -$15$ est aussi $30$. Lien avec la DFP (pour un nombre fini -d'entiers) : $v_p(\ppcm(m_1,\ldots,m_\ell)) = +Définition analogue au pgcd (un ppcm de $m_1,\ldots,m_\ell$ est un +multiple commun à tous les $m_i$ qui divise n'importe quel autre +multiple commun ; par convention, on prend celui qui est positif). +Exemple : le ppcm de $6$ et $10$ est $30$ ; le ppcm de $6$, $10$ et +$15$ est aussi $30$. Lien avec la DFP (pour un nombre fini +d'entiers) : $v_p(\ppcm(m_1,\ldots,m_\ell)) = \max(v_p(m_1),\ldots,v_p(m_\ell))$. Le ppcm d'une famille infinie -d'entiers est défini, mais parfois surprenant (quel est le ppcm de -tous les nombres premiers ?). +d'entiers est défini, mais parfois surprenant (quel est le ppcm de +tous les nombres premiers ?). -Remarque : pour deux nombres, on a $\ppcm(m,m') \times \pgcd(m,m') = +Remarque : pour deux nombres, on a $\ppcm(m,m') \times \pgcd(m,m') = |mm'|$. % -\subsection{Relation de Bézout} +\subsection{Relation de Bézout} -Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux (c'est-à-dire $\pgcd(a,b) = 1$) +Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux (c'est-à -dire $\pgcd(a,b) = 1$) il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$ (on verra -pourquoi plus loin) : on appelle cette égalité une \textbf{relation de - Bézout}\footnote{Étienne Bézout (1730--1783), avec un accent aigu.} -entre $a$ et $b$. +pourquoi plus loin) : on appelle cette égalité une \textbf{relation de + Bézout}\footnote{Étienne Bézout (1730--1783), avec un accent aigu.} +entre $a$ et $b$. -Réciproquement, l'existence d'une relation de Bézout entre $a$ et $b$ -implique que $a$ et $b$ sont premiers entre eux (et alors les -coefficients, $u$ et $v$, sont aussi premiers entre eux). En effet, +Réciproquement, l'existence d'une relation de Bézout entre $a$ et $b$ +implique que $a$ et $b$ sont premiers entre eux (et alors les +coefficients, $u$ et $v$, sont aussi premiers entre eux). En effet, tout diviseur commun de $a$ et $b$ doit diviser $au+bv$. -Exemple : $42\times 38 - 55 \times 29 = 1$ constitue une relation de -Bézout entre $42$ et $55$. On verra plus loin comment obtenir une -relation de Bézout. +Exemple : $42\times 38 - 55 \times 29 = 1$ constitue une relation de +Bézout entre $42$ et $55$. On verra plus loin comment obtenir une +relation de Bézout. -Naturellement, ajouter $b$ à $u$ et $-a$ à $v$ donne une nouvelle -relation de Bézout entre $a$ et $b$. Donc il n'y a pas unicité. +Naturellement, ajouter $b$ à  $u$ et $-a$ à  $v$ donne une nouvelle +relation de Bézout entre $a$ et $b$. Donc il n'y a pas unicité. Si $au + bv = \pm 1$ on dit parfois que les rationnels $a/b$ et $-v/u$ -(écrits sous forme irréductible) sont \emph{adjacents}. +(écrits sous forme irréductible) sont \emph{adjacents}. \medbreak -Plus généralement, si $\pgcd(a,b) = d$, on peut trouver $u$ et $v$ +Plus généralement, si $\pgcd(a,b) = d$, on peut trouver $u$ et $v$ tels que $au+bv = d$ (en fait, il existe $d',d''$ avec $d=d'd''$ tels que $a/d'$ et $b/d''$ soient premiers entre eux, et si -$(a/d')u_0+(b/d'')v_0 = 1$ est une relation de Bézout entre eux, alors +$(a/d')u_0+(b/d'')v_0 = 1$ est une relation de Bézout entre eux, alors on a $a(d''u_0)+b(d'v_0) = d$). % \subsection{Algorithme d'Euclide} -Soit à calculer le pgcd de deux entiers $a$ et $b$. -\textbf{L'algorithme d'Euclide} pour ce faire est le suivant : +Soit à calculer le pgcd de deux entiers $a$ et $b$. +\textbf{L'algorithme d'Euclide} pour ce faire est le suivant : \begin{itemize} -\item Initialiser : $(m,n) \leftarrow (|a|,|b|)$. -\item Tant que $n\neq 0$, répéter : +\item Initialiser : $(m,n) \leftarrow (|a|,|b|)$. +\item Tant que $n\neq 0$, répéter : \begin{itemize} -\item Faire $(m,n) \leftarrow (n,r)$ où $r$ est le reste de la division +\item Faire $(m,n) \leftarrow (n,r)$ où $r$ est le reste de la division euclidienne $m=nq+r$ de $m$ par $n$. \end{itemize} -\item Renvoyer $m$ (le pgcd recherché). +\item Renvoyer $m$ (le pgcd recherché). \end{itemize} \smallskip -\textbf{Invariant :} $\pgcd(m,n) = \pgcd(a,b)$ (constant) ; -l'algorithme termine car $n$ décroît strictement à chaque étape (et +\textbf{Invariant :} $\pgcd(m,n) = \pgcd(a,b)$ (constant) ; +l'algorithme termine car $n$ décroît strictement à chaque étape (et reste un entier naturel). \medbreak -Exemple : soit à calculer le pgcd de $a=98$ et -$b=77$ : +Exemple : soit à calculer le pgcd de $a=98$ et +$b=77$ : \begin{itemize} -\item $(m,n)=(98,77)$ ; division euclidienne $98 = 77\times 1 + 21$ ; -\item $(m,n)=(77,21)$ ; division euclidienne $77 = 21\times 3 + 14$ ; -\item $(m,n)=(21,14)$ ; division euclidienne $21 = 14\times 1 + 7$ ; -\item $(m,n)=(14,7)$ ; division euclidienne $14 = 7\times 2 + 0$ ; -\item $(m,n)=(7,0)$ ; on renvoie $7$. +\item $(m,n)=(98,77)$ ; division euclidienne $98 = 77\times 1 + 21$ ; +\item $(m,n)=(77,21)$ ; division euclidienne $77 = 21\times 3 + 14$ ; +\item $(m,n)=(21,14)$ ; division euclidienne $21 = 14\times 1 + 7$ ; +\item $(m,n)=(14,7)$ ; division euclidienne $14 = 7\times 2 + 0$ ; +\item $(m,n)=(7,0)$ ; on renvoie $7$. \end{itemize} \medbreak -\textbf{Algorithme d'Euclide « étendu »} : L'idée est -de « remonter » les coefficients dans l'algorithme d'Euclide : la -dernière division $m=nq+1$ donne une relation $1 = m-nq$ puis on -remplace $n$ (qui est lui-même un reste de division euclidienne) et -ainsi de suite jusqu'à trouver une relation entre les entiers $a$ et -$b$ de départ. +\textbf{Algorithme d'Euclide « étendu »} : L'idée est +de « remonter » les coefficients dans l'algorithme d'Euclide : la +dernière division $m=nq+1$ donne une relation $1 = m-nq$ puis on +remplace $n$ (qui est lui-même un reste de division euclidienne) et +ainsi de suite jusqu'à trouver une relation entre les entiers $a$ et +$b$ de départ. -En mémoire constante, cela donne : +En mémoire constante, cela donne : -Soit à calculer une relation de Bézout entre deux entiers $a$ et $b$ -(premiers entre eux) : +Soit à calculer une relation de Bézout entre deux entiers $a$ et $b$ +(premiers entre eux) : \begin{itemize} \item $(m,n,u,v,u',v') \leftarrow (|a|,|b|,\signe(a),0,0,\signe(b))$. -\item Tant que $n\neq 0$, répéter : +\item Tant que $n\neq 0$, répéter : \begin{itemize} -\item Division euclidienne de $m$ par $n$ : soit $m = +\item Division euclidienne de $m$ par $n$ : soit $m = nq+r$. \item Remplacer $(m,n,u,v,u',v') \leftarrow (n,r,u',v',u-qu',v-qv')$. \end{itemize} -\item Vérifier $m=1$ (le pgcd est bien $1$). -\item Les coefficients recherchés sont $u$ et $v$ (on a $au+bv = 1$). +\item Vérifier $m=1$ (le pgcd est bien $1$). +\item Les coefficients recherchés sont $u$ et $v$ (on a $au+bv = 1$). \end{itemize} -\textbf{Invariants :} $au+bv=m$ et $au'+bv'=n$. +\textbf{Invariants :} $au+bv=m$ et $au'+bv'=n$. \smallbreak -Dans la pratique, à la main, on procède ainsi : pour calculer une -relation de Bézout entre $64$ et $47$, on effectue les divisions +Dans la pratique, à la main, on procède ainsi : pour calculer une +relation de Bézout entre $64$ et $47$, on effectue les divisions euclidiennes successives $64 = 1\times 47 + 17$, $47 = 2\times 17 + -13$, $17 = 1\times 13 + 4$, $13 = 3\times 4 + 1$ jusqu'à tomber sur le -reste $1$. Puis on réécrit ce reste en partant de la dernière -division $1 = 13 - 3\times 4$ et en remplaçant successivement le reste -de chaque division (les à l'envers) par une combinaison du dividende -et du diviseur : $4 = 17 - 1\times 13$ donc $1 = 13 - +13$, $17 = 1\times 13 + 4$, $13 = 3\times 4 + 1$ jusqu'à tomber sur le +reste $1$. Puis on réécrit ce reste en partant de la dernière +division $1 = 13 - 3\times 4$ et en remplaçant successivement le reste +de chaque division (les à l'envers) par une combinaison du dividende +et du diviseur : $4 = 17 - 1\times 13$ donc $1 = 13 - 3\times(17-1\times 13) = 4\times 13 - 3\times 17$ puis $13 = 47 - 2\times 17$ donc $1 = 4\times (47 - 2\times 17) - 3\times 17 = 4\times 47 - 11\times 17$ et enfin $17 = 1\times 64 - 47$ donc $1 = 4\times 47 @@ -503,88 +504,88 @@ et du diviseur : $4 = 17 - 1\times 13$ donc $1 = 13 - \subsection{Congruence} -Soit $m$ un entier fixé pour le moment : +Soit $m$ un entier fixé pour le moment : Si $x$ et $x'$ sont entiers, on dit que $x$ et $x'$ sont -\textbf{congrus} modulo $m$, noté $x \equiv x' \pmod{m}$, lorsque -$x-x'$ est multiple de $m$. Relation réflexive, symétrique, +\textbf{congrus} modulo $m$, noté $x \equiv x' \pmod{m}$, lorsque +$x-x'$ est multiple de $m$. Relation réflexive, symétrique, transitive. Dire $x \equiv 0 \pmod{m}$ signifie simplement que $x$ est multiple -de $m$. +de $m$. -Compatibilité avec les opérations : (à $m$ fixé,) si $x\equiv x'$ et -$y \equiv y'$ alors $x+y \equiv x'+y'$ et $xy \equiv x'y'$. À $m$ -variable : si $m|m'$ alors $x \equiv x' \pmod{m'}$ implique $x\equiv -x' \pmod{m}$ (la congruence modulo $m'$ est \emph{plus fine} que -modulo $m$). +Compatibilité avec les opérations : (à $m$ fixé,) si $x\equiv x'$ et +$y \equiv y'$ alors $x+y \equiv x'+y'$ et $xy \equiv x'y'$. À $m$ +variable : si $m|m'$ alors $x \equiv x' \pmod{m'}$ implique $x\equiv +x' \pmod{m}$ (la congruence modulo $m'$ est \emph{plus fine} que +modulo $m$). -Représentants : si $m \geq 1$ alors chaque entier est congru -modulo $m$ à l'un des nombres $0,1,2,\ldots,(m-1)$ (le reste de sa -division euclidienne par $m$ !). +Représentants : si $m \geq 1$ alors chaque entier est congru +modulo $m$ à l'un des nombres $0,1,2,\ldots,(m-1)$ (le reste de sa +division euclidienne par $m$ !). Exemple de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ avec pair=$\bar 0$ et impair=$\bar 1$. -On veut définir $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} = \{\bar 0, \bar 1, \bar 2, -\ldots, \overline{m-1}\}$ de façon analogue : pour ajouter $\bar x$ et -$\bar y$, on consière $\bar x + \bar y = \overline{x+y}$ et $\bar x\, -\bar y = \overline{xy}$. Reste à savoir ce que la barre veut dire ! +On veut définir $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} = \{\bar 0, \bar 1, \bar 2, +\ldots, \overline{m-1}\}$ de façon analogue : pour ajouter $\bar x$ et +$\bar y$, on consière $\bar x + \bar y = \overline{x+y}$ et $\bar x\, +\bar y = \overline{xy}$. Reste à savoir ce que la barre veut dire ! % -\subsection{Généralité sur les quotients} +\subsection{Généralité sur les quotients} -Généralité : soit $E$ un ensemble et $\sim$ une relation d'équivalence -(i.e., réflexive, symétrique, transitive) sur $E$, on appelle -$E/{\sim}$ l'ensemble des classes d'équivalence de $E$ modulo $\sim$ -(la classe d'équivalence d'un élément $x\in E$ est l'ensemble des -éléments $x'\in E$ tels que $x\sim x'$). On note $\pi \colon E \to +Généralité : soit $E$ un ensemble et $\sim$ une relation d'équivalence +(i.e., réflexive, symétrique, transitive) sur $E$, on appelle +$E/{\sim}$ l'ensemble des classes d'équivalence de $E$ modulo $\sim$ +(la classe d'équivalence d'un élément $x\in E$ est l'ensemble des +éléments $x'\in E$ tels que $x\sim x'$). On note $\pi \colon E \to (E/{\sim})$ la fonction qui envoie $x\in E$ sur sa classe -d'équivalence $\pi(x) = \bar x$. Ainsi : $\pi(x) = \pi(x')$ ssi $x -\sim x'$. (Moralement : on a transformé la relation d'équivalence -$\sim$ en une vraie égalité.) +d'équivalence $\pi(x) = \bar x$. Ainsi : $\pi(x) = \pi(x')$ ssi $x +\sim x'$. (Moralement : on a transformé la relation d'équivalence +$\sim$ en une vraie égalité.) -Si on a sur $E$ une opération binaire, disons, $\tee$, telle que $x +Si on a sur $E$ une opération binaire, disons, $\tee$, telle que $x \sim x'$ et $y \sim y'$ impliquent $(x\tee y) \sim (x'\tee y')$ (on -dit que $\sim$ est \emph{compatible} avec l'opération $\tee$), alors -on peut définir une opération binaire $\mathbin{\bar\top}$ sur +dit que $\sim$ est \emph{compatible} avec l'opération $\tee$), alors +on peut définir une opération binaire $\mathbin{\bar\top}$ sur $E/{\sim}$ par $\pi(x) \mathbin{\bar\top} \pi(y) = \pi(x\tee y)$. -L'application $\pi\colon E \to (E/{\sim})$ préserve alors l'opération +L'application $\pi\colon E \to (E/{\sim})$ préserve alors l'opération $\tee$ et on dit qu'il s'agit d'un \emph{morphisme} (d'ensembles munis -d'une opération binaire $\tee$). +d'une opération binaire $\tee$). % \subsection{Calculs dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$} -Vision concrète de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ pour $m\geq 1$ : on +Vision concrète de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ pour $m\geq 1$ : on travaille avec les nombres $0,\ldots,m-1$ (qui sont des -\emph{représentants} arbitraires des $m$ classes de congruences -modulo $m$). Les opérations sont faites dans les entiers mais ensuite -on se ramène à une classe représentée par un entier entre $0$ et $m-1$ -en effectuant une division euclidienne par $m$. +\emph{représentants} arbitraires des $m$ classes de congruences +modulo $m$). Les opérations sont faites dans les entiers mais ensuite +on se ramène à une classe représentée par un entier entre $0$ et $m-1$ +en effectuant une division euclidienne par $m$. -Exemple : si $m=10$, on a $\bar 8 + \bar 5 = \bar 3$ et $\bar 8 \times +Exemple : si $m=10$, on a $\bar 8 + \bar 5 = \bar 3$ et $\bar 8 \times \bar 5 = \bar 0$. -(Note : en fait, pour l'addition, il suffit de soustraire -éventuellement $m$ si le résultat l'excède : pas besoin de faire une +(Note : en fait, pour l'addition, il suffit de soustraire +éventuellement $m$ si le résultat l'excède : pas besoin de faire une vraie division euclidienne.) Les ordinateurs travaillent naturellement dans $\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z}$ avec $r$ valant typiquement $16$, $32$ ou $64$. -Note importante : Le choix des représentants $0,\ldots,m-1$ est -arbitraire : on pourrait tout aussi bien choisir $1,\ldots,m$ ou bien +Note importante : Le choix des représentants $0,\ldots,m-1$ est +arbitraire : on pourrait tout aussi bien choisir $1,\ldots,m$ ou bien $-\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor,\ldots,\lfloor\frac{m}{2}\rfloor$ (ou -encore des choses tout à fait arbitraires). +encore des choses tout à fait arbitraires). \medbreak -Et si $m\leq 1$ ? +Et si $m\leq 1$ ? \begin{itemize} -\item On a $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z} = \{\bar 0\}$, et les opérations +\item On a $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z} = \{\bar 0\}$, et les opérations sont triviales ($\bar 0 + \bar 0 = \bar 0$ et $\bar 0 \times \bar 0 = \bar 0$). \item On a $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} = \mathbb{Z}$. @@ -592,105 +593,105 @@ Et si $m\leq 1$ ? \mathbb{Z}/(-m)\mathbb{Z}$. \end{itemize} -En général quand on parle de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ on sous-entend -$m\geq 1$, parfois même $m \geq 2$ ! +En général quand on parle de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ on sous-entend +$m\geq 1$, parfois même $m \geq 2$ ! % -\subsection{Premières propriétés de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$} +\subsection{Premières propriétés de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$} -C'est un anneau commutatif. Il n'est \emph{pas intègre} en général : +C'est un anneau commutatif. Il n'est \emph{pas intègre} en général : on peut avoir $ab=\bar 0$ dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ alors que $a -\neq \bar 0$ et $b \neq \bar 0$ (exemple : $\bar 2 \times \bar 5 = +\neq \bar 0$ et $b \neq \bar 0$ (exemple : $\bar 2 \times \bar 5 = \bar 0$ dans $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$). -Surjection canonique : c'est l'application $\pi\colon \mathbb{Z} \to +Surjection canonique : c'est l'application $\pi\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ qui envoie $x\in\mathbb{Z}$ sur sa classe de -congruence modulo $m$. C'est un \emph{morphisme d'anneaux}, i.e., il -préserve l'addition et la multiplication et envoie $0$ et $1$ sur -$\bar 0$ et $\bar 1$. +congruence modulo $m$. C'est un \emph{morphisme d'anneaux}, i.e., il +préserve l'addition et la multiplication et envoie $0$ et $1$ sur +$\bar 0$ et $\bar 1$. Si $m|m'$, il y a une application naturelle $\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z} -\to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ car les classes modulo $m'$ sont plus -fines que modulo $m$. (Exemple : connaître la congruence modulo $4$ -permet de connaître la congruence modulo $2$.) C'est également un +\to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ car les classes modulo $m'$ sont plus +fines que modulo $m$. (Exemple : connaître la congruence modulo $4$ +permet de connaître la congruence modulo $2$.) C'est également un morphisme d'anneaux. -\textbf{Attention !} le paragraphe précédent signifie que quand -$m|m'$, on peut réduire modulo $m$ un élément de -$\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z}$. Ceci n'a pas de sens sans l'hypothèse -$m|m'$ ! Par exemple, donné un élément de $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}$, -il y a un sens à parler de sa classe modulo $5$ ou modulo $4$ ou -modulo $2$ (c'est-à-dire dire s'il est pair ou impair...) ; en -revanche, il n'y a \emph{aucun sens} à parler de sa classe modulo $3$ -(ou même à se demander s'il est multiple de $3$). Le théorème -« chinois » précisera cette idée. +\textbf{Attention !} le paragraphe précédent signifie que quand +$m|m'$, on peut réduire modulo $m$ un élément de +$\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z}$. Ceci n'a pas de sens sans l'hypothèse +$m|m'$ ! Par exemple, donné un élément de $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}$, +il y a un sens à parler de sa classe modulo $5$ ou modulo $4$ ou +modulo $2$ (c'est-à -dire dire s'il est pair ou impair...) ; en +revanche, il n'y a \emph{aucun sens} à parler de sa classe modulo $3$ +(ou même à se demander s'il est multiple de $3$). Le théorème +« chinois » précisera cette idée. % \subsection{Inversibles de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$} Si $a$ et $m$ sont premiers entre eux, alors on sait qu'on peut -trouver une relation de Bézout $au + mv = 1$. On a alors $\bar a \bar -u = \bar 1$ : on dit que $\bar a$ est \emph{(multiplicativement) - inversible} dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, ou est une \emph{unité} -de cet anneau. Réciproquement, si on peut trouver $\bar u$ tel que -$\bar a \bar u = \bar 1$, alors $a$ est premier à $m$. +trouver une relation de Bézout $au + mv = 1$. On a alors $\bar a \bar +u = \bar 1$ : on dit que $\bar a$ est \emph{(multiplicativement) + inversible} dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, ou est une \emph{unité} +de cet anneau. Réciproquement, si on peut trouver $\bar u$ tel que +$\bar a \bar u = \bar 1$, alors $a$ est premier à  $m$. On appelle $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ l'ensemble des inversibles multiplicatifs de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. C'est un -groupe pour la multiplication (plus généralement, dans tout anneau -commutatif $A$, l'ensemble des inversibles/unités de $A$ forme un -groupe noté $A^\times$). +groupe pour la multiplication (plus généralement, dans tout anneau +commutatif $A$, l'ensemble des inversibles/unités de $A$ forme un +groupe noté $A^\times$). Si $\bar a$ est inversible dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, on pourra -noter $\bar a^{-1}$ son inverse (qui est évidemment de nouveau -inversible...). On le calcule à partir d'une relation de Bézout. -Attention, il n'est pas évident de relier $\bar a^{-1}$ avec le -rationnel $1/a$ ! +noter $\bar a^{-1}$ son inverse (qui est évidemment de nouveau +inversible...). On le calcule à partir d'une relation de Bézout. +Attention, il n'est pas évident de relier $\bar a^{-1}$ avec le +rationnel $1/a$ ! -Exemple : dans $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$, les éléments $\bar 1, \bar +Exemple : dans $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$, les éléments $\bar 1, \bar 3, \bar 7, \bar 9$ sont inversibles, et leurs inverses sont $\bar 1^{-1} = \bar 1, \bar 3^{-1} = \bar 7, \bar 7^{-1} = \bar 3, \bar 9^{-1} = \bar 9$. On note $\varphi(m)$ le cardinal de -$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ : la fonction $\varphi$ s'appelle -\emph{fonction indicatrice d'Euler} ; elle compte donc le nombre -d'entiers entre $0$ et $m-1$ premiers avec $m$ (exemple : $\varphi(10) +$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ : la fonction $\varphi$ s'appelle +\emph{fonction indicatrice d'Euler} ; elle compte donc le nombre +d'entiers entre $0$ et $m-1$ premiers avec $m$ (exemple : $\varphi(10) = 4$). On verra plus loin comment la calculer. -Note : on a deux involutions importantes sur -$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ : l'une est $\bar a \mapsto -\bar -a$, et l'autre est $\bar a \mapsto \bar a^{-1}$. Comme la première +Note : on a deux involutions importantes sur +$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ : l'une est $\bar a \mapsto -\bar +a$, et l'autre est $\bar a \mapsto \bar a^{-1}$. Comme la première n'a pas de point fixe (pour $m>2$), $\varphi(m)$ est toujours \emph{pair} (sauf pour $m=2$). Si $p$ est premier, alors tous les nombres entre $1$ et $p-1$ sont -premiers avec $p$ : $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times = \{\bar +premiers avec $p$ : $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times = \{\bar 1,\ldots, \overline{p-1}\}$ (et notamment $\varphi(p) = p-1$). Tous -les éléments de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sont inversibles sauf $\bar -0$ : on dit que l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un \emph{corps} -et on le note $\mathbb{F}_p$. +les éléments de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sont inversibles sauf $\bar +0$ : on dit que l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un \emph{corps} +et on le note $\mathbb{F}_p$. % -\subsection{Théorème chinois} +\subsection{Théorème chinois} Si $m$ et $n$ sont deux naturels non nuls \textbf{premiers entre eux}, -considérons l'application dont les composantes sont les deux -surjections canoniques : +considérons l'application dont les composantes sont les deux +surjections canoniques : \[ \mathbb{Z}/(mn)\mathbb{Z} \to (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \] Autrement dit, il s'agit de l'application qui envoie un entier $z$ -modulo $mn$ sur sa classe modulo $m$ et sa classe modulo $n$. +modulo $mn$ sur sa classe modulo $m$ et sa classe modulo $n$. Il s'agit d'un \emph{morphisme d'anneaux} (car les surjections -canoniques en sont !) : +canoniques en sont !) : \begin{itemize} \item il est injectif car un entier multiple de $m$ et de $n$ -est multiple de $mn$ (lemme de Gauß), -\item il est surjectif car les cardinaux coïncident ($mn$ au départ et -à l'arrivée), +est multiple de $mn$ (lemme de Gauß), +\item il est surjectif car les cardinaux coïncident ($mn$ au départ et +à l'arrivée), \end{itemize} c'est donc un \textbf{isomorphisme}. @@ -699,17 +700,17 @@ $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$... \smallbreak -Concrètement, le théorème chinois signifie : lorsque $m$ et $n$ sont -premiers entre eux, se donner un entier modulo $mn$ revient au même -que se donner cet entier modulo $m$ et modulo $n$ séparément (et, de +Concrètement, le théorème chinois signifie : lorsque $m$ et $n$ sont +premiers entre eux, se donner un entier modulo $mn$ revient au même +que se donner cet entier modulo $m$ et modulo $n$ séparément (et, de plus, toutes les combinaisons d'une classe modulo $m$ et d'une classe -modulo $n$ sont possibles pour une unique classe modulo $mn$). +modulo $n$ sont possibles pour une unique classe modulo $mn$). % -\subsection{Théorème chinois explicite} +\subsection{Théorème chinois explicite} -Si on a une relation de Bézout $um+vn=1$, alors l'isomorphisme chinois -a pour réciproque +Si on a une relation de Bézout $um+vn=1$, alors l'isomorphisme chinois +a pour réciproque \[ \begin{array}{c} (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to @@ -718,36 +719,36 @@ a pour réciproque \end{array} \] -(Remarque : dans cette expression, on peut se contenter de calculer -$uy$ modulo $n$ avant de le multiplier par $m$, et de même $vx$ -modulo $m$ avant de le multiplier par $n$, ce qui est parfois plus -efficace que de faire tout le calcul modulo $mn$.) +(Remarque : dans cette expression, on peut se contenter de calculer +$uy$ modulo $n$ avant de le multiplier par $m$, et de même $vx$ +modulo $m$ avant de le multiplier par $n$, ce qui est parfois plus +efficace que de faire tout le calcul modulo $mn$.) -Exemple : trouver le nombre entre $0$ et $100$ congru à $9$ -modulo $11$ et à $3$ modulo $13$. (Relation de Bézout : $6\times 11 - -5 \times 13 = 1$ ; ensuite, $6 \times 11 \times 3 - 5 \times 13 \times +Exemple : trouver le nombre entre $0$ et $100$ congru à $9$ +modulo $11$ et à $3$ modulo $13$. (Relation de Bézout : $6\times 11 - +5 \times 13 = 1$ ; ensuite, $6 \times 11 \times 3 - 5 \times 13 \times 9 \equiv 5\times 11 - 1\times 13 \equiv 42 \pmod{11\times 13}$.) \medskip -Généralisations du théorème chinois : +Généralisations du théorème chinois : \begin{itemize} -\item Si $m$ et $n$ ne sont pas premiers entre eux, toute donnée d'une +\item Si $m$ et $n$ ne sont pas premiers entre eux, toute donnée d'une classe $x$ modulo $m$ et d'une classe $y$ modulo $n$ ne permet pas - forcément de retrouver une classe modulo $mn$ (il faut, et il - suffit, pour cela, que $x$ et $y$ soient « compatibles », - c'est-à-dire congrus modulo $d = \pgcd(m,n)$). Lorsque $x$ et $y$ + forcément de retrouver une classe modulo $mn$ (il faut, et il + suffit, pour cela, que $x$ et $y$ soient « compatibles », + c'est-à -dire congrus modulo $d = \pgcd(m,n)$). Lorsque $x$ et $y$ sont compatibles, alors on retrouve une unique classe modulo $\ppcm(m,n)$ (pour faire le calcul en pratique, diviser les nombres - $m,n$ par $d',d''$ tels que $d'd''=d$ pour se ramener à deux nombres + $m,n$ par $d',d''$ tels que $d'd''=d$ pour se ramener à deux nombres $m/d'$ et $n/d''$ premiers entre eux). -\item Si $m_1,\ldots,m_k$ sont premiers entre eux \emph{deux à deux}, - alors la donnée d'une classe modulo le produit $m_1\cdots m_k$ - équivaut à la donnée de classes modulo chacun des $m_i$ (pour faire +\item Si $m_1,\ldots,m_k$ sont premiers entre eux \emph{deux à deux}, + alors la donnée d'une classe modulo le produit $m_1\cdots m_k$ + équivaut à la donnée de classes modulo chacun des $m_i$ (pour faire le calcul en pratique, on utilise les classes modulo $m_1,m_2$ pour trouver une classe modulo $m_1 m_2$, puis celle-ci et la classe - modulo $m_3$ déterminent une classe modulo $m_1 m_2 m_3$, etc.). -\item En combinant ces deux généralisations : connaissant la classe + modulo $m_3$ déterminent une classe modulo $m_1 m_2 m_3$, etc.). +\item En combinant ces deux généralisations : connaissant la classe d'un entier modulo $m_1,\ldots,m_k$, on peut retrouver sa classe modulo $\ppcm(m_1,\ldots,m_k)$. \end{itemize} @@ -756,785 +757,785 @@ Généralisations du théorème chinois : \subsection{Calcul de l'indicatrice d'Euler} Si $m$ et $n$ (naturels non nuls) sont premiers entre eux, par le -théorème chinois on a $(\mathbb{Z}/(mn)\mathbb{Z})^\times \cong +théorème chinois on a $(\mathbb{Z}/(mn)\mathbb{Z})^\times \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$, donc \[ \varphi(mn) = \varphi(m)\,\varphi(n) \] -Si $p$ est premier alors $\varphi(p^r) = (p-1)\,p^{r-1}$ (car être -premier avec $p^r$ équivaut à être premier à $p$, et c'est le cas de -$p-1$ entiers sur $p$). +Si $p$ est premier alors $\varphi(p^r) = (p-1)\,p^{r-1}$ (car être +premier avec $p^r$ équivaut à être premier à  $p$, et c'est le cas de +$p-1$ entiers sur $p$). -On en déduit : +On en déduit : \[ \varphi(n) = n\,\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right) \] -où $p$ parcourt les premiers divisant $n$. +où $p$ parcourt les premiers divisant $n$. -Exemple : $\varphi(63) = \frac{2}{3}\times\frac{6}{7}\times 63 = 36$. +Exemple : $\varphi(63) = \frac{2}{3}\times\frac{6}{7}\times 63 = 36$. -(Intuitivement : parmi les $n$ entiers de $0$ à $n-1$, pour chacun des +(Intuitivement : parmi les $n$ entiers de $0$ à $n-1$, pour chacun des nombres premiers $p$ divisant $n$, il y a une proportion -$\frac{p-1}{p}$ des nombres qui ne sont pas multiples de $p$, et -toutes ces propriétés sont indépendantes --- c'est essentiellement le -théorème chinois --- donc la proportion des nombres qui ne sont -multiples d'aucun des $p$ divisant $n$ est le produit des +$\frac{p-1}{p}$ des nombres qui ne sont pas multiples de $p$, et +toutes ces propriétés sont indépendantes --- c'est essentiellement le +théorème chinois --- donc la proportion des nombres qui ne sont +multiples d'aucun des $p$ divisant $n$ est le produit des $\frac{p-1}{p}$.) -\textbf{Algorithmiquement :} \emph{lent} en général (demande de -connaître la d.f.p.). +\textbf{Algorithmiquement :} \emph{lent} en général (demande de +connaître la d.f.p.). % -\subsection{Notions de théorie des groupes} +\subsection{Notions de théorie des groupes} -Un \textbf{groupe} est un ensemble $G$ muni d'une opération binaire -$\star$ (c'est-à-dire une application $G\times G \to G$ dont on note -$g \star g'$ l'image d'un couple $(g,g')$) et d'un élément remarquable -$e$ tels que : +Un \textbf{groupe} est un ensemble $G$ muni d'une opération binaire +$\star$ (c'est-à -dire une application $G\times G \to G$ dont on note +$g \star g'$ l'image d'un couple $(g,g')$) et d'un élément remarquable +$e$ tels que : \begin{itemize} -\item Associativité de $\star$ : $x\star(y\star z) = (x\star y)\star z$ -\item Neutralité de $e$ pour $\star$ : $e\star x = x\star e = x$ -\item Existence de symétriques : pour chaque $x$, il existe un élément - noté $x'$ tel que) $x \star x' = x' \star x = e$ +\item Associativité de $\star$ : $x\star(y\star z) = (x\star y)\star z$ +\item Neutralité de $e$ pour $\star$ : $e\star x = x\star e = x$ +\item Existence de symétriques : pour chaque $x$, il existe un élément + noté $x'$ tel que) $x \star x' = x' \star x = e$ \end{itemize} Lorsque de plus la loi $\star$ est commutative ($y\star x = x\star -y$), on parle de \emph{groupe abélien} (ou commutatif). +y$), on parle de \emph{groupe abélien} (ou commutatif). -Exemples : l'addition sur les nombres réels (la loi $\star$ étant -l'addition et le neutre $e$ étant le nombre $0$), ou sur les -complexes, ou sur les entiers ; la multiplication sur les nombres -réels non nuls (la loi $\star$ étant la multiplication et le neutre -$e$ étant le nombre $1$), ou sur les réels strictement positifs, ou -sur les complexes non nuls ; la composition des isométries du plan (la -loi $\star$ étant la composition et le neutre $e$ étant l'identité). +Exemples : l'addition sur les nombres réels (la loi $\star$ étant +l'addition et le neutre $e$ étant le nombre $0$), ou sur les +complexes, ou sur les entiers ; la multiplication sur les nombres +réels non nuls (la loi $\star$ étant la multiplication et le neutre +$e$ étant le nombre $1$), ou sur les réels strictement positifs, ou +sur les complexes non nuls ; la composition des isométries du plan (la +loi $\star$ étant la composition et le neutre $e$ étant l'identité). -Contre-exemple : la multiplication sur les entiers (ou même sur les +Contre-exemple : la multiplication sur les entiers (ou même sur les entiers non nuls) \emph{ne forme pas} un groupe, faute d'inverses pour -les entiers autres que $\pm 1$. - -Généralement, un groupe est noté soit de façon multiplicative (on -écrit $xy$ au lieu de $x\star y$ et $1$ au lieu de $e$, et dans ce cas -on note $x^m$ l'élément $x\star x\star \cdots x$ avec $m$ fois $x$ et -$x^{-1}$ le symétrique de $x$, alors appelé « inverse »), soit de -façon additive (on écrit $x+y$ au lieu de $x\star y$ et $0$ au lieu -de $e$, et dans ce cas on note $mx$ l'élément $x + x + + \cdots + x$ -avec $m$ fois $x$, et $-x$ le symétrique de $x$, alors appelé -« opposé »). Très souvent on utilise une de ces deux notations de -façon implicite. La notation additive est en principe réservée aux -groupes abéliens (mais on n'en rencontrera pas de non-abéliens dans ce +les entiers autres que $\pm 1$. + +Généralement, un groupe est noté soit de façon multiplicative (on +écrit $xy$ au lieu de $x\star y$ et $1$ au lieu de $e$, et dans ce cas +on note $x^m$ l'élément $x\star x\star \cdots x$ avec $m$ fois $x$ et +$x^{-1}$ le symétrique de $x$, alors appelé « inverse »), soit de +façon additive (on écrit $x+y$ au lieu de $x\star y$ et $0$ au lieu +de $e$, et dans ce cas on note $mx$ l'élément $x + x + + \cdots + x$ +avec $m$ fois $x$, et $-x$ le symétrique de $x$, alors appelé +« opposé »). Très souvent on utilise une de ces deux notations de +façon implicite. La notation additive est en principe réservée aux +groupes abéliens (mais on n'en rencontrera pas de non-abéliens dans ce cours). \smallbreak Un \textbf{morphisme} de groupe $\psi\colon G \to G'$ est une -application qui préserve la composition ($\psi(x\star y) = \psi(x) -\star \psi(y)$), et du coupb forcément aussi l'élément neutre -($\psi(e) = e$) et les symétriques (le symétrique de $\psi(x)$ est -l'image du symétrique de $x$). Un \textbf{isomorphisme} de groupes -est un morphisme bijectif ; moralement : les groupes $G$ et $G'$ sont -abstraitement « le même » (mais éventuellement notés ou étiquetés -différemment). Attention ! On aura souvent affaire, par exemple, à -un morphisme entre un groupe noté additivement et un groupe noté -multiplicativement : dans ce cas, cela signifie $\psi(x+y) = -\psi(x)\,\psi(y)$. Exemple : l'exponentielle (de base $e$, disons) -constitue un isomorphisme entre le groupe additif des réels et le -groupe multiplicatif des réels non nuls. +application qui préserve la composition ($\psi(x\star y) = \psi(x) +\star \psi(y)$), et du coupb forcément aussi l'élément neutre +($\psi(e) = e$) et les symétriques (le symétrique de $\psi(x)$ est +l'image du symétrique de $x$). Un \textbf{isomorphisme} de groupes +est un morphisme bijectif ; moralement : les groupes $G$ et $G'$ sont +abstraitement « le même » (mais éventuellement notés ou étiquetés +différemment). Attention ! On aura souvent affaire, par exemple, à +un morphisme entre un groupe noté additivement et un groupe noté +multiplicativement : dans ce cas, cela signifie $\psi(x+y) = +\psi(x)\,\psi(y)$. Exemple : l'exponentielle (de base $e$, disons) +constitue un isomorphisme entre le groupe additif des réels et le +groupe multiplicatif des réels non nuls. L'\textbf{ordre d'un groupe} est simplement son cardinal, lorsque -celui-ci est fini. L'\textbf{ordre d'un élément} $g$ dans un groupe +celui-ci est fini. L'\textbf{ordre d'un élément} $g$ dans un groupe fini est le plus petit $m\geq 1$ tel que $g^m = 1$ (en notation -multiplicative ; en notation additive, cela s'écrirait : $mg = 0$, -i.e., un multiple de $g$) ; c'est aussi le nombre de puissances -distinctes (en notation additive : de multiples distincts) de -l'élément $g$. Lorsque $g$ est d'ordre $m$, on a $g^m = 1$ mais aussi -$g^{m'} = 1$ si et seulement si $m'$ est multiple de $m$. +multiplicative ; en notation additive, cela s'écrirait : $mg = 0$, +i.e., un multiple de $g$) ; c'est aussi le nombre de puissances +distinctes (en notation additive : de multiples distincts) de +l'élément $g$. Lorsque $g$ est d'ordre $m$, on a $g^m = 1$ mais aussi +$g^{m'} = 1$ si et seulement si $m'$ est multiple de $m$. Un \textbf{sous-groupe} $H$ d'un groupe $G$ est un sous-ensemble de -$G$ qui est lui-même un groupe pour la même opération et le même -élément neutre ; c'est-à-dire, c'est une partie $H$ de $G$ telle que +$G$ qui est lui-même un groupe pour la même opération et le même +élément neutre ; c'est-à -dire, c'est une partie $H$ de $G$ telle que $1 \in H$ et que $x,y \in H \limp xy \in H$ et que $x \in H \limp -x^{-1} \in H$ (cette dernière partie étant d'ailleurs automatique si -le groupe $G$ est fini). (Exemple : pour la multiplication, les -nombres réels strictement positifs forment un sous-groupe du groupe -des nombres réels non nuls.) - -Le sous-groupe engendré par une partie $E$ d'un groupe $G$ est le plus -petit sous-groupe contenant $E$ (c'est-à-dire l'intersection de tous -les sous-groupes de $G$ contenant $E$). On utilisera cette notion -seulement dans le cas suivant : le \emph{sous-groupe engendré par un - unique élément} $g$ de $G$ : c'est l'ensemble des puissances de $g$ -(en notation additive : multiples). L'ordre $m$ de ce sous-groupe est -l'ordre de $g$. Ce sous-groupe est isomorphe à +x^{-1} \in H$ (cette dernière partie étant d'ailleurs automatique si +le groupe $G$ est fini). (Exemple : pour la multiplication, les +nombres réels strictement positifs forment un sous-groupe du groupe +des nombres réels non nuls.) + +Le sous-groupe engendré par une partie $E$ d'un groupe $G$ est le plus +petit sous-groupe contenant $E$ (c'est-à -dire l'intersection de tous +les sous-groupes de $G$ contenant $E$). On utilisera cette notion +seulement dans le cas suivant : le \emph{sous-groupe engendré par un + unique élément} $g$ de $G$ : c'est l'ensemble des puissances de $g$ +(en notation additive : multiples). L'ordre $m$ de ce sous-groupe est +l'ordre de $g$. Ce sous-groupe est isomorphe à $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, avec $\bar k \mapsto g^k$. \smallbreak -\textbf{Théorème de Lagrange :} Dans un groupe fini, l'ordre de tout +\textbf{Théorème de Lagrange :} Dans un groupe fini, l'ordre de tout sous-groupe divise l'ordre du groupe. En particulier, l'ordre d'un -élément divise l'ordre du groupe : si $G$ est un groupe fini et $g \in +élément divise l'ordre du groupe : si $G$ est un groupe fini et $g \in G$ alors $g^{\#G} = 1$. % \subsection{Groupes cycliques} On dit qu'un groupe fini $G$ est \textbf{cyclique} lorsqu'il existe un -élément $g$ (appelé \emph{générateur} de $G$) tel que tout élément de +élément $g$ (appelé \emph{générateur} de $G$) tel que tout élément de $G$ soit de la forme $g^k$ (une puissance de $g$, en notation -multiplicative ; en notation additive, cela s'écrirait : $kg$, i.e., -un multiple de $g$), autrement dit : le sous-groupe engendré par $g$ -est $G$ tout entier. Ou encore : $G$ est cyclique de générateur $g$ -si et seulement si l'ordre de $g$ est égal à l'ordre de $G$. +multiplicative ; en notation additive, cela s'écrirait : $kg$, i.e., +un multiple de $g$), autrement dit : le sous-groupe engendré par $g$ +est $G$ tout entier. Ou encore : $G$ est cyclique de générateur $g$ +si et seulement si l'ordre de $g$ est égal à l'ordre de $G$. Le groupe \emph{additif} $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ est cyclique, avec -pour générateur $1$ (mais ce n'est pas le seul possible ! -cf. ci-dessous). Réciproquement, tout groupe cyclique est isomorphe à -$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, avec $m$ l'ordre d'un générateur $g$ (qui -est donc aussi l'ordre du groupe et ne dépend pas du générateur). -D'où une autre définition possible : un groupe cyclique $G$ [de - générateur $g$] est un groupe isomorphe à $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ -[avec $1$ correspondant à $g$]. - -Quels sont tous les générateurs de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (comme -groupe additif !) ? Réponse : ce sont précisément les classes modulo -$m$ des entiers premiers à $m$, c'est-à-dire les inversibles de -$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (comme anneau !). (Démonstration : si $\bar +pour générateur $1$ (mais ce n'est pas le seul possible ! +cf. ci-dessous). Réciproquement, tout groupe cyclique est isomorphe à +$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, avec $m$ l'ordre d'un générateur $g$ (qui +est donc aussi l'ordre du groupe et ne dépend pas du générateur). +D'où une autre définition possible : un groupe cyclique $G$ [de + générateur $g$] est un groupe isomorphe à $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ +[avec $1$ correspondant à  $g$]. + +Quels sont tous les générateurs de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (comme +groupe additif !) ? Réponse : ce sont précisément les classes modulo +$m$ des entiers premiers à  $m$, c'est-à -dire les inversibles de +$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (comme anneau !). (Démonstration : si $\bar a$ engendre le groupe additif $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, alors en -particulier il doit engendrer $\bar 1$, c'est-à-dire qu'on peut écrire +particulier il doit engendrer $\bar 1$, c'est-à -dire qu'on peut écrire $\bar 1 = \bar a + \bar a + \cdots + \bar a$, avec $u$ fois $\bar a$ disons, donc $\bar a \bar u = \bar 1$ dans l'anneau $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, et $\bar a$ y est bien inversible. -Réciproquement, si $\bar a \bar u = \bar 1$, et si $\bar a + \bar a + -\cdots + \bar a = 0$, avec $k$ fois $\bar a$, alors en multipliant par +Réciproquement, si $\bar a \bar u = \bar 1$, et si $\bar a + \bar a + +\cdots + \bar a = 0$, avec $k$ fois $\bar a$, alors en multipliant par $\bar u$ on a $\bar 1 + \bar 1 + \cdots + \bar 1 = 0$, soit $\bar k = -0$, donc $k$ est multiple de $m$ : ceci prouve que l'ordre de $\bar a$ -ne peut pas être plus petit que $m$.) +0$, donc $k$ est multiple de $m$ : ceci prouve que l'ordre de $\bar a$ +ne peut pas être plus petit que $m$.) Ainsi, pour $m$ entier naturel non nul et $a$ entier, il y a -équivalence entre : +équivalence entre : \begin{itemize} \item les entiers $a$ et $m$ sont premiers entre eux, -\item l'élément $\bar a$ a pour ordre (additif) $m$ dans le groupe +\item l'élément $\bar a$ a pour ordre (additif) $m$ dans le groupe $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, -\item l'élément $\bar a$ est générateur du groupe +\item l'élément $\bar a$ est générateur du groupe $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, -\item l'élément $\bar a$ est inversible dans l'anneau +\item l'élément $\bar a$ est inversible dans l'anneau $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, -\item l'élément $\bar a$ appartient au groupe +\item l'élément $\bar a$ appartient au groupe $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ des inversible de l'anneau $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. \end{itemize} En particulier, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ admet $\varphi(m)$ -générateurs. Comme un groupe cyclique d'ordre $m$ est la même chose -que (un groupe isomorphe à) $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, on en déduit : -le nombre de générateurs de n'import quel groupe cyclique d'ordre $m$ +générateurs. Comme un groupe cyclique d'ordre $m$ est la même chose +que (un groupe isomorphe à ) $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, on en déduit : +le nombre de générateurs de n'import quel groupe cyclique d'ordre $m$ est $\varphi(m)$. -Attention ! on parlera aussi, plus loin, des générateurs du groupe +Attention ! on parlera aussi, plus loin, des générateurs du groupe \emph{multiplicatif} $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ (et de la -question de savoir s'il y en a). Il ne faut pas confondre ! +question de savoir s'il y en a). Il ne faut pas confondre ! \medbreak -De façon générale, l'ordre additif de $\bar a$ dans +De façon générale, l'ordre additif de $\bar a$ dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ vaut exactement $m/\pgcd(a,m)$. % -\subsection{Théorème d'Euler} +\subsection{Théorème d'Euler} -Si $m$ est un entier naturel non nul et $a$ un entier premier à $m$, +Si $m$ est un entier naturel non nul et $a$ un entier premier à  $m$, alors \[ a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m} \] -Démonstration : l'élément $\bar a \in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ -a un ordre qui d'après Lagrange doit diviser l'ordre du groupe, -i.e. $\varphi(m)$. - -\textbf{Attention !} ne pas confondre l'ordre (« additif ») d'un -élément du groupe additif $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ et l'ordre -(« multiplicatif ») d'un élément du groupe multiplicatif -$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$. Exemple : quel est l'ordre de $2$ -dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ ? (réponse : $7$ car $2+2+2+2+2+2+2 = -0$ dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ et qu'on ne trouve pas $0$ avant) ; -et dans $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times$ ? (réponse : $3$ car +Démonstration : l'élément $\bar a \in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ +a un ordre qui d'après Lagrange doit diviser l'ordre du groupe, +i.e. $\varphi(m)$. + +\textbf{Attention !} ne pas confondre l'ordre (« additif ») d'un +élément du groupe additif $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ et l'ordre +(« multiplicatif ») d'un élément du groupe multiplicatif +$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$. Exemple : quel est l'ordre de $2$ +dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ ? (réponse : $7$ car $2+2+2+2+2+2+2 = +0$ dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ et qu'on ne trouve pas $0$ avant) ; +et dans $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times$ ? (réponse : $3$ car $2\times 2\times 2 = 1$ dans $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times$ et qu'on ne trouve pas $1$ avant). -Pour que l'ordre multiplicatif d'un élément $x$ dans -$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ soit défini, il faut (et il suffit) que cet -élément $x$ soit dans $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ (car c'est lui +Pour que l'ordre multiplicatif d'un élément $x$ dans +$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ soit défini, il faut (et il suffit) que cet +élément $x$ soit dans $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ (car c'est lui le groupe multiplicatif), et dans ce cas l'ordre additif vaut -forcément $m$ car $x$ est un générateur du groupe cyclique +forcément $m$ car $x$ est un générateur du groupe cyclique $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. \smallbreak -Cas particulier du théorème d'Euler : le « petit théorème de - Fermat » : si $p$ est premier, alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ -lorsque $a$ n'est pas multiple de $p$ ; donc, pour tout entier $a$ on +Cas particulier du théorème d'Euler : le « petit théorème de + Fermat » : si $p$ est premier, alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ +lorsque $a$ n'est pas multiple de $p$ ; donc, pour tout entier $a$ on a \[ a^p \equiv a \pmod{p} \] -Ceci fournit une condition \emph{nécessaire} mais non suffisante pour +Ceci fournit une condition \emph{nécessaire} mais non suffisante pour qu'un nombre soit premier. % -\subsection{Éléments primitifs} +\subsection{Éléments primitifs} Soit $m$ un entier naturel non nul. On dit que $g \in -(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ est (un résidu) \textbf{primitif} +(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ est (un résidu) \textbf{primitif} (modulo~$m$) lorsqu'il engendre $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ -(comme groupe abélien multiplicatif) --- ce qui entraîne que +(comme groupe abélien multiplicatif) --- ce qui entraîne que $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ est cyclique. -Autrement dit, $g^{\varphi(m)}=1$ est optimal : dire que $g$ est -primitif modulo $m$ signifie que son ordre multiplicatif est +Autrement dit, $g^{\varphi(m)}=1$ est optimal : dire que $g$ est +primitif modulo $m$ signifie que son ordre multiplicatif est exactement $\varphi(m)$ (et pas un autre diviseur de $\varphi(m)$). -Exemple : les puissances de $\bar 2$ modulo $9$ sont : $\bar 2,\bar -4,\bar 8,\bar 7,\bar 5,\bar 1$ ; il y en a bien $\varphi(9)=6$ donc -$2$ est primitif modulo $9$. +Exemple : les puissances de $\bar 2$ modulo $9$ sont : $\bar 2,\bar +4,\bar 8,\bar 7,\bar 5,\bar 1$ ; il y en a bien $\varphi(9)=6$ donc +$2$ est primitif modulo $9$. \smallbreak -\textbf{Attention !} Ne pas confondre : +\textbf{Attention !} Ne pas confondre : \begin{itemize} -\item $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (groupe \emph{additif}, d'élément -neutre $0$) est d'ordre $m$ et est \emph{toujours} cyclique (avec pour -générateurs au moins $1$ et $-1$, et tous les éléments de +\item $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (groupe \emph{additif}, d'élément +neutre $0$) est d'ordre $m$ et est \emph{toujours} cyclique (avec pour +générateurs au moins $1$ et $-1$, et tous les éléments de $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$). \item $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ (groupe \emph{multiplicatif}, -d'élément neutre $1$) est d'ordre $\varphi(m)$ et est \emph{parfois} -cyclique (auquel cas ses générateurs s'appellent éléments +d'élément neutre $1$) est d'ordre $\varphi(m)$ et est \emph{parfois} +cyclique (auquel cas ses générateurs s'appellent éléments \emph{primitifs} et il y en a $\varphi(\varphi(m))$). \end{itemize} \medbreak -\textbf{Théorème :} +\textbf{Théorème :} \begin{itemize} \item Si $p$ est un nombre premier impair, alors $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ est cyclique, i.e., il existe des - éléments primitifs modulo $p$. (Il en existe exactement + éléments primitifs modulo $p$. (Il en existe exactement $\varphi(p-1)$.) \item Si $p$ est un nombre premier impair et $r\geq 2$, alors $(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^\times$ est cyclique, i.e., il existe - des éléments primitifs modulo $p^r$. (Il en existe exactement - $\varphi(p^{r-1}(p-1))$.) \emph{Mieux} : $g$ est primitif modulo + des éléments primitifs modulo $p^r$. (Il en existe exactement + $\varphi(p^{r-1}(p-1))$.) \emph{Mieux} : $g$ est primitif modulo $p^r$ si et seulement si il l'est modulo $p^2$. \item Si $p=2$ et $1\leq r\leq 2$, alors $(\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z})^\times$ est trivialement cyclique. \item Si $p=2$ et $r \geq 3$, alors - $(\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z})^\times$ \emph{n'est pas} cyclique : il - est produit d'un groupe cyclique d'ordre $2$ engendré par $-1$ et - d'un groupe cyclique d'ordre $2^{r-2}$ engendré par $5$ (l'ordre - maximal possible d'un élément est $2^{r-2}$). + $(\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z})^\times$ \emph{n'est pas} cyclique : il + est produit d'un groupe cyclique d'ordre $2$ engendré par $-1$ et + d'un groupe cyclique d'ordre $2^{r-2}$ engendré par $5$ (l'ordre + maximal possible d'un élément est $2^{r-2}$). \end{itemize} % -\section{Polynômes} +\section{Polynômes} -\subsection{Définition, structure d'anneau et degré} +\subsection{Définition, structure d'anneau et degré} -Soit $k$ un anneau commutatif quelconque (par exemple : $\mathbb{Z}$), -typiquement un corps (exemples importants : $\mathbb{F}_p = +Soit $k$ un anneau commutatif quelconque (par exemple : $\mathbb{Z}$), +typiquement un corps (exemples importants : $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ou bien $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$). -Un \textbf{polynôme} en $t$ à coefficients dans $k$ est une somme -formelle $f = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots$ avec $a_i \in k$ où -\emph{seul un nombre fini} des $a_i$ est non nul (sinon on parle de -\textbf{série formelle}). Autrement dit, on peut écrire $f = a_0 + -a_1 t + \cdots + a_n t^n$ pour un certain $n$ (et si on impose $a_n -\neq 0$, ceci définit $n$, qui s'appellera alors le degré de $f$). +Un \textbf{polynôme} en $t$ à coefficients dans $k$ est une somme +formelle $f = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots$ avec $a_i \in k$ où +\emph{seul un nombre fini} des $a_i$ est non nul (sinon on parle de +\textbf{série formelle}). Autrement dit, on peut écrire $f = a_0 + +a_1 t + \cdots + a_n t^n$ pour un certain $n$ (et si on impose $a_n +\neq 0$, ceci définit $n$, qui s'appellera alors le degré de $f$). -\textbf{Opérations :} +\textbf{Opérations :} \begin{itemize} -\item Addition : terme à terme ($c_i = a_i+b_i$). -\item Multiplication : « produit de Cauchy » en développant +\item Addition : terme à terme ($c_i = a_i+b_i$). +\item Multiplication : « produit de Cauchy » en développant formellement ($c_i = \sum_{j=0}^{j=i} a_j b_{i-j}$). \end{itemize} Si $k$ est un anneau commutatif, alors $k[t]$ aussi. -\textbf{Degré} d'un polynôme : $\deg f =$ le plus grand $i$ tel que -$a_i \neq 0$ (le degré du polynôme nul est question de convention). -On peut donc écrire un polynôme de degré $\leq N$ comme $a_0 + \cdots -+ a_N t^N$ ; si $a_N = 1$ on dit que $f$ est \textbf{unitaire}. Plus -généralement, le coefficient $a_{\deg f}$ s'appelle \emph{coefficient - dominant} de $f$. +\textbf{Degré} d'un polynôme : $\deg f =$ le plus grand $i$ tel que +$a_i \neq 0$ (le degré du polynôme nul est question de convention). +On peut donc écrire un polynôme de degré $\leq N$ comme $a_0 + \cdots ++ a_N t^N$ ; si $a_N = 1$ on dit que $f$ est \textbf{unitaire}. Plus +généralement, le coefficient $a_{\deg f}$ s'appelle \emph{coefficient + dominant} de $f$. -\textbf{Propriétés} du degré : +\textbf{Propriétés} du degré : \begin{itemize} -\item $\deg (f+g) \leq \max(\deg f, \deg g)$ (avec égalité si $\deg f +\item $\deg (f+g) \leq \max(\deg f, \deg g)$ (avec égalité si $\deg f \neq \deg g$) -\item $\deg (fg) = \deg f + \deg g$ (dès que $k$ est \emph{intègre}, +\item $\deg (fg) = \deg f + \deg g$ (dès que $k$ est \emph{intègre}, en particulier sur un corps) \end{itemize} -Si $k$ est un anneau commutatif intègre, alors $k[t]$ aussi. +Si $k$ est un anneau commutatif intègre, alors $k[t]$ aussi. -Attention, $k[t]$ n'est jamais un corps ! (Car $t$ n'a pas d'inverse +Attention, $k[t]$ n'est jamais un corps ! (Car $t$ n'a pas d'inverse pour la multiplication.) \medbreak -À souligner : \emph{analogie} importante entre les polyômes, notamment -dans $\mathbb{F}_p[t]$, et l'écriture en base $p$ des entiers. -Différence importante : pas de retenue pour les polynômes. +À souligner : \emph{analogie} importante entre les polyômes, notamment +dans $\mathbb{F}_p[t]$, et l'écriture en base $p$ des entiers. +Différence importante : pas de retenue pour les polynômes. -Complexité des opérations : cf. entiers. +Complexité des opérations : cf. entiers. % -\subsection{Opérations spécifiques aux polynômes} +\subsection{Opérations spécifiques aux polynômes} -\textbf{Évaluation} de polynômes : si $f = a_0 + \cdots + a_N t^N$ et -$x$ est dans $k$ ou $k[t]$ (ou plus généralement une « $k$-algèbre »), -on définit $f(x) = a_0 + \cdots + a_N x^N$. +\textbf{Évaluation} de polynômes : si $f = a_0 + \cdots + a_N t^N$ et +$x$ est dans $k$ ou $k[t]$ (ou plus généralement une « $k$-algèbre »), +on définit $f(x) = a_0 + \cdots + a_N x^N$. -Cas particulier : \textbf{composition} : si $g \in k[t]$, on note -$f\circ g$ plutôt que $f(g)$. +Cas particulier : \textbf{composition} : si $g \in k[t]$, on note +$f\circ g$ plutôt que $f(g)$. \medbreak -\textbf{Racines :} si $f(x) = 0$ avec $x \in k$, on dit que $x$ est -une \emph{racine} du polynôme $f$. +\textbf{Racines :} si $f(x) = 0$ avec $x \in k$, on dit que $x$ est +une \emph{racine} du polynôme $f$. -\textbf{Attention :} On peut très bien avoir $f(x) = 0$ pour tout $x +\textbf{Attention :} On peut très bien avoir $f(x) = 0$ pour tout $x \in k$ sans pour autant que $f$ soit nul (e.g., $f = t^p - t$ dans $\mathbb{F}_p[t]$). (Mais on va voir que si $k$ est un corps, le nombre de racines de $f$ -dans $k$ est inférieur ou égal au degré de $f$.) +dans $k$ est inférieur ou égal au degré de $f$.) \medbreak -\textbf{Dérivée :} si $f = a_0 + a_1 t + \cdots + a_N t^N$ alors $f' = +\textbf{Dérivée :} si $f = a_0 + a_1 t + \cdots + a_N t^N$ alors $f' = a_1 + 2 a_2 t + \cdots + N a_N t^{N-1}$. -\textbf{Attention :} On peut avoir $f'=0$ sans avoir $f$ constant +\textbf{Attention :} On peut avoir $f'=0$ sans avoir $f$ constant (e.g., $f = t^p$ dans $\mathbb{F}_p[t]$). -\textbf{Dérivées successives :} $f^{(i+1)} = (f^{(i)})'$ pour $i \in +\textbf{Dérivées successives :} $f^{(i+1)} = (f^{(i)})'$ pour $i \in \mathbb{N}$. % -\subsection{Polynôme interpolateur} +\subsection{Polynôme interpolateur} Dans cette section, soit $k$ un \emph{corps} et $f \in k[t]$. \medskip -\textbf{Fait fondamental :} lorsque deux polynômes de degré $\leq N$ -coïncident en (au moins) $N+1$ points, ils sont égaux ; de façon -équivalente, si un polynôme de degré $\leq N$ s'annule en $\geq N+1$ -points, alors c'est le polynôme nul. +\textbf{Fait fondamental :} lorsque deux polynômes de degré $\leq N$ +coïncident en (au moins) $N+1$ points, ils sont égaux ; de façon +équivalente, si un polynôme de degré $\leq N$ s'annule en $\geq N+1$ +points, alors c'est le polynôme nul. -Réciproquement, si $a_0,\ldots,a_N \in k$ sont deux à deux distincts, +Réciproquement, si $a_0,\ldots,a_N \in k$ sont deux à deux distincts, et $b_0,\ldots,b_N\in k$ sont quelconques, alors \[ \sum_{i=0}^N b_i \frac{\prod_{j\neq i}(t-a_j)}{\prod_{j\neq i}(a_i-a_j)} \] -(\emph{polynôme interpolateur de Lagrange}) est un polynôme de -degré $\leq N$ prenant en $a_i$ la valeur $b_i$. D'après ce qu'on -vient de dire, c'est \emph{le} seul polynôme de degré $\leq N$ prenant -en chaque $a_i$ la valeur $b_i$. +(\emph{polynôme interpolateur de Lagrange}) est un polynôme de +degré $\leq N$ prenant en $a_i$ la valeur $b_i$. D'après ce qu'on +vient de dire, c'est \emph{le} seul polynôme de degré $\leq N$ prenant +en chaque $a_i$ la valeur $b_i$. -Ceci permet de reconstruire un polynôme à partir de ses valeurs en +Ceci permet de reconstruire un polynôme à partir de ses valeurs en suffisamment de points. % -\subsection{Division euclidienne de polynômes} +\subsection{Division euclidienne de polynômes} Sauf mention du contraire, $k$ est maintenant un \textbf{corps}. \smallskip -\textbf{Division euclidienne} analogue à celle des entiers : +\textbf{Division euclidienne} analogue à celle des entiers : Si $f\in k[t]$ et $g\in k[t]$ est \emph{non nul}, -il existe un unique couple $(q,r)$ tel que : +il existe un unique couple $(q,r)$ tel que : \begin{itemize} \item $q \in k[t]$, -\item $r \in k[t]$ est (nul ou) de degré $\deg r < \deg g$ et +\item $r \in k[t]$ est (nul ou) de degré $\deg r < \deg g$ et \item $f = gq + r$. \end{itemize} \medbreak -\textbf{Algorithme « naïf »} de division euclidienne : procéder par -puissances \emph{décroissantes} : +\textbf{Algorithme « naïf »} de division euclidienne : procéder par +puissances \emph{décroissantes} : -Soit $f = a_N t^N + \cdots + a_0$ et $g = b_D t^D + \cdots + b_0$ où -$b_D \neq 0$ (donc $\deg g = D$) : +Soit $f = a_N t^N + \cdots + a_0$ et $g = b_D t^D + \cdots + b_0$ où +$b_D \neq 0$ (donc $\deg g = D$) : \begin{itemize} -\item si $N<D$ on renvoie $q = 0$ et $r = f$ ; -\item sinon, on pose $c = a_N/b_D$, on définit $f^* = f - c t^{N-D} +\item si $N<D$ on renvoie $q = 0$ et $r = f$ ; +\item sinon, on pose $c = a_N/b_D$, on définit $f^* = f - c t^{N-D} g$, donc $\deg(f^*) < N$, on applique l'algorithme pour diviser $f^*$ -par $g$, soit $f^* = gq^* + r$ et on a $f = gq + r$ où $q = c t^{N-D} +par $g$, soit $f^* = gq^* + r$ et on a $f = gq + r$ où $q = c t^{N-D} + q^*$. \end{itemize} \smallbreak -\textbf{Cas très important :} Le reste de la division euclidienne de -$f$ par $t-a$ (où $a \in k$ est une constante) est $f(a)$. (En effet, -c'est clair lorsque $a = 0$, et on en déduit le cas général par +\textbf{Cas très important :} Le reste de la division euclidienne de +$f$ par $t-a$ (où $a \in k$ est une constante) est $f(a)$. (En effet, +c'est clair lorsque $a = 0$, et on en déduit le cas général par translation.) \smallbreak -\textbf{Exercice :} Effectuer la division euclidienne de $t^7$ par $2 -t^3+1$ dans $\mathbb{F}_7[t]$. (Réponse : $t^7 = (2 t^3+1) (4 t^4 + 5 +\textbf{Exercice :} Effectuer la division euclidienne de $t^7$ par $2 +t^3+1$ dans $\mathbb{F}_7[t]$. (Réponse : $t^7 = (2 t^3+1) (4 t^4 + 5 t) + 2 t$.) % -\subsection{Arithmétique des polynômes} - -Relation de \textbf{divisibilité} : exactement analogue aux entiers. -Dire qu'un polynôme $f$ admet $a$ pour racine signifie exactement que -$t-a$ divise $f$. - -Les \textbf{unités} (ou inversibles) de $k[t]$ sont les éléments de -$k^\times$ (polynômes constants non nuls). - -Polynômes \textbf{irréductibles} : définition analogue aux nombres -premiers : on dit que $f$ est irréductible lorsque $\deg f \geq 1$ et -qu'il n'existe pas d'écriture $f = gh$ avec $\deg g \geq 1$ et $\deg h -\geq 1$. On les choisira normalement \emph{unitaires} ; par -convention, $0$ et les constantes ne sont pas irréductibles. Les -polynômes $t-a$ (unitaires de degré $1$) sont \emph{toujours} -irréductibles. Lorsque ce sont les seuls, le corps $k$ est dit -\emph{algébriquement clos}. - -Le corps $\mathbb{C}$ est algébriquement clos. Le corps $\mathbb{R}$ -ne l'est pas : les polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}$ sont les -$t-a$ et les $t^2-bt+c$ où $b^2-4c<0$. Les corps finis (notamment -$\mathbb{F}_p$ déjà vu) ne sont pas algébriquement clos (« encore - moins » que $\mathbb{R}$). +\subsection{Arithmétique des polynômes} + +Relation de \textbf{divisibilité} : exactement analogue aux entiers. +Dire qu'un polynôme $f$ admet $a$ pour racine signifie exactement que +$t-a$ divise $f$. + +Les \textbf{unités} (ou inversibles) de $k[t]$ sont les éléments de +$k^\times$ (polynômes constants non nuls). + +Polynômes \textbf{irréductibles} : définition analogue aux nombres +premiers : on dit que $f$ est irréductible lorsque $\deg f \geq 1$ et +qu'il n'existe pas d'écriture $f = gh$ avec $\deg g \geq 1$ et $\deg h +\geq 1$. On les choisira normalement \emph{unitaires} ; par +convention, $0$ et les constantes ne sont pas irréductibles. Les +polynômes $t-a$ (unitaires de degré $1$) sont \emph{toujours} +irréductibles. Lorsque ce sont les seuls, le corps $k$ est dit +\emph{algébriquement clos}. + +Le corps $\mathbb{C}$ est algébriquement clos. Le corps $\mathbb{R}$ +ne l'est pas : les polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}$ sont les +$t-a$ et les $t^2-bt+c$ où $b^2-4c<0$. Les corps finis (notamment +$\mathbb{F}_p$ déjà vu) ne sont pas algébriquement clos (« encore + moins » que $\mathbb{R}$). \medbreak -\textbf{Décomposition en facteurs irréductibles :} Écriture unique de -tout $f\in k[t]$ non nul comme $c \prod_P P^{v_P(f)}$ où $c \in -k^\times$ est le coefficient dominant de $f$ et $v_P(f)\in \mathbb{N}$ -pour tout $P$ irréductible (presque tous nuls). +\textbf{Décomposition en facteurs irréductibles :} Écriture unique de +tout $f\in k[t]$ non nul comme $c \prod_P P^{v_P(f)}$ où $c \in +k^\times$ est le coefficient dominant de $f$ et $v_P(f)\in \mathbb{N}$ +pour tout $P$ irréductible (presque tous nuls). -Cas où $k$ est algébriquement clos : tout $f \in k[t]$ non nul s'écrit -de façon unique comme $c \prod_{a\in k} (t-a)^{v_a(f)}$ où $c \in -k^\times$ est le coefficient dominant de $f$ et $v_a(f)\in \mathbb{N}$ -est l'ordre du zéro de $f$ en $a$. +Cas où $k$ est algébriquement clos : tout $f \in k[t]$ non nul s'écrit +de façon unique comme $c \prod_{a\in k} (t-a)^{v_a(f)}$ où $c \in +k^\times$ est le coefficient dominant de $f$ et $v_a(f)\in \mathbb{N}$ +est l'ordre du zéro de $f$ en $a$. \medbreak -PGCD, algorithme d'Euclide, relations de Bézout, Euclide étendu : +PGCD, algorithme d'Euclide, relations de Bézout, Euclide étendu : exactement analogue aux entiers. -Attention cependant : de même que le pgcd de deux entiers est choisi -positif par convention, le pgcd de deux polynômes est choisi unitaire +Attention cependant : de même que le pgcd de deux entiers est choisi +positif par convention, le pgcd de deux polynômes est choisi unitaire par convention. Dans l'algorithme d'Euclide, il faut donc au final diviser le dernier reste par son coefficient dominant pour le rendre -unitaire ; notamment, si le reste final est une \emph{constante} non -nulle (pas nécessairement $1$), les polynômes sont premiers entre eux +unitaire ; notamment, si le reste final est une \emph{constante} non +nulle (pas nécessairement $1$), les polynômes sont premiers entre eux (par exemple, le pgcd de $t+2$ et $t$ dans $\mathbb{R}[t]$ est $1$, -ces polynômes sont premiers entre eux, or si le reste de la division -de $t+2$ par $t$ est $2$). +ces polynômes sont premiers entre eux, or si le reste de la division +de $t+2$ par $t$ est $2$). % \subsection{Anneaux $k[t]/(P)$} -Analogues exacts de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Vision abstraite : on -définit $f\equiv g\pmod{P}$ ssi $P$ divise $f-g$, et on quotiente. -Vision concrète : les éléments de $k[t]/(P)$ sont représentés de façon -unique par des polynômes à coefficients dans $k$ de degré strictement -inférieur au degré de $P$, et on se ramène à $\deg f < \deg P$ par -division euclidienne après chaque opération (en fait, on n'a besoin de -prendre le reste de la division euclidienne par $P$ qu'après une -multiplication, puisque l'addition des polynômes ne fait jamais monter -leur degré). +Analogues exacts de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Vision abstraite : on +définit $f\equiv g\pmod{P}$ ssi $P$ divise $f-g$, et on quotiente. +Vision concrète : les éléments de $k[t]/(P)$ sont représentés de façon +unique par des polynômes à coefficients dans $k$ de degré strictement +inférieur au degré de $P$, et on se ramène à $\deg f < \deg P$ par +division euclidienne après chaque opération (en fait, on n'a besoin de +prendre le reste de la division euclidienne par $P$ qu'après une +multiplication, puisque l'addition des polynômes ne fait jamais monter +leur degré). Pour tout $c \in k^\times$, on a $k[t]/(cP) = k[t]/(P)$. Autrement dit, multiplier $P$ par une constante ne change rien, donc on aura -tendance à supposer que $P$ est unitaire quand on écrit $k[t]/(P)$. +tendance à supposer que $P$ est unitaire quand on écrit $k[t]/(P)$. -Les éléments de $k$ se voient comme des éléments de $k[t]/(P)$ (les +Les éléments de $k$ se voient comme des éléments de $k[t]/(P)$ (les constantes). -Élément très important : $\bar t$. Il vérifie $P(\bar t) = 0$ (car le -reste de la division euclidienne de $P(t) = P$ par $P$ est $0$). +Élément très important : $\bar t$. Il vérifie $P(\bar t) = 0$ (car le +reste de la division euclidienne de $P(t) = P$ par $P$ est $0$). -Si on sait ce que ça signifie : $k[t]/(P)$ est un espace vectoriel de -dimension $\deg P$ sur $k$. Si $k$ est fini alors $k[t]/(P)$ est -aussi fini, et de cardinal $(\#k)^{\deg P}$ (concrètement, se donner -un élément de $k[t]/(P)$ revient à se donner un élément de $k[t]$ de -degré $<\deg P$, donc à se donner $\deg P$ coefficients, chacun +Si on sait ce que ça signifie : $k[t]/(P)$ est un espace vectoriel de +dimension $\deg P$ sur $k$. Si $k$ est fini alors $k[t]/(P)$ est +aussi fini, et de cardinal $(\#k)^{\deg P}$ (concrètement, se donner +un élément de $k[t]/(P)$ revient à se donner un élément de $k[t]$ de +degré $<\deg P$, donc à se donner $\deg P$ coefficients, chacun pouvant prendre $\#k$ valeurs). \smallbreak -Théorème chinois : si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, on a -$k[t]/(PQ) \cong (k[t]/(P)) \times (k[t]/(Q))$ (même démonstration que -pour les entiers, avec un petit peu d'algèbre linéaire). +Théorème chinois : si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, on a +$k[t]/(PQ) \cong (k[t]/(P)) \times (k[t]/(Q))$ (même démonstration que +pour les entiers, avec un petit peu d'algèbre linéaire). \smallbreak -Exemple idiot : $k[t]/(t) \cong k$ (ici, $\bar t = 0$). En fait, -$k[t]/(t-a) \cong k$ où $\bar t$ devient $a$. Exemples moins idiot : +Exemple idiot : $k[t]/(t) \cong k$ (ici, $\bar t = 0$). En fait, +$k[t]/(t-a) \cong k$ où $\bar t$ devient $a$. Exemples moins idiot : $\mathbb{R}[t]/(t^2+1) \cong \mathbb{C}$, et $\mathbb{R}[t]/(t^2-1) \cong \mathbb{R}[t]/(t-1) \times \mathbb{R}[t]/(t+1) \cong \mathbb{R} -\times \mathbb{R}$ (théorème chinois en utilisant la factorisation -$t^2-1=(t-1)(t+1)$ ; noter que ce n'est pas un corps). +\times \mathbb{R}$ (théorème chinois en utilisant la factorisation +$t^2-1=(t-1)(t+1)$ ; noter que ce n'est pas un corps). -Exercice : dresser les tables de $\mathbb{F}_2[t]/(t^2+t+1)$. -Vérifier qu'il s'agit d'un \emph{corps} à $4$ éléments. On le notera -$\mathbb{F}_4$. (\emph{Attention !} Ce n'est pas -$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, car ce dernier n'est pas un corps !) +Exercice : dresser les tables de $\mathbb{F}_2[t]/(t^2+t+1)$. +Vérifier qu'il s'agit d'un \emph{corps} à $4$ éléments. On le notera +$\mathbb{F}_4$. (\emph{Attention !} Ce n'est pas +$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, car ce dernier n'est pas un corps !) \medbreak -\textbf{Important :} $k[t]/(P)$ est un corps \emph{si et seulement si} -$P \in k[t]$ est irréductible. Lorsque c'est le cas, on l'appelle -\textbf{corps de rupture} de $P$ sur $k$. +\textbf{Important :} $k[t]/(P)$ est un corps \emph{si et seulement si} +$P \in k[t]$ est irréductible. Lorsque c'est le cas, on l'appelle +\textbf{corps de rupture} de $P$ sur $k$. % \section{Corps finis} -\subsection{Sous-corps premier et caractéristique} +\subsection{Sous-corps premier et caractéristique} Si $\mathbb{F}$ est un corps fini, alors l'ensemble $\{0_{\mathbb{F}}, 1_{\mathbb{F}}, 1_{\mathbb{F}}+1_{\mathbb{F}}, 1_{\mathbb{F}}+1_{\mathbb{F}}+1_{\mathbb{F}}, \ldots\}$ est fini. Cet ensemble a la structure d'un $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ avec $p$ -premier : on dit qu'il s'agit du \textbf{(sous-)corps premier} -de $\mathbb{F}$, et que $p$ en est la \textbf{caractéristique}. -Autrement dit, ce $p$ est l'ordre additif de l'élément $1$ -de $\mathbb{F}$, et il s'agit toujours d'un nombre premier. - -Si $q$ est le cardinal de $\mathbb{F}$, alors $q$ est toujours une -puissance de $p$ (par exemple, si on sait ce que ça signifie, parce -que $\mathbb{F}$ est un espace vectoriel de dimension finie $d$ sur -son corps premier $\mathbb{F}_p$) ; on note typiquement $q = p^d$, et -alors $d$ s'appelle le \textbf{degré} de $\mathbb{F}$ au-dessus de son -corps premier $\mathbb{F}_p$. - -En particulier, le nombre d'éléments d'un corps fini est toujours une -puissance $q = p^d$ d'un nombre premier $p$ (il n'y a pas de corps à -$6$ ou $10$ éléments !), et tout corps fini contient un +premier : on dit qu'il s'agit du \textbf{(sous-)corps premier} +de $\mathbb{F}$, et que $p$ en est la \textbf{caractéristique}. +Autrement dit, ce $p$ est l'ordre additif de l'élément $1$ +de $\mathbb{F}$, et il s'agit toujours d'un nombre premier. + +Si $q$ est le cardinal de $\mathbb{F}$, alors $q$ est toujours une +puissance de $p$ (par exemple, si on sait ce que ça signifie, parce +que $\mathbb{F}$ est un espace vectoriel de dimension finie $d$ sur +son corps premier $\mathbb{F}_p$) ; on note typiquement $q = p^d$, et +alors $d$ s'appelle le \textbf{degré} de $\mathbb{F}$ au-dessus de son +corps premier $\mathbb{F}_p$. + +En particulier, le nombre d'éléments d'un corps fini est toujours une +puissance $q = p^d$ d'un nombre premier $p$ (il n'y a pas de corps à +$6$ ou $10$ éléments !), et tout corps fini contient un $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. % -\subsection{Petit théorème de Fermat, unicité des corps finis} +\subsection{Petit théorème de Fermat, unicité des corps finis} -Dans un corps $\mathbb{F}$ à $q$ éléments, on a $a^{q-1} = 1$ pour -tout $a \in \mathbb{F}^\times$ (par Lagrange appliqué au groupe +Dans un corps $\mathbb{F}$ à $q$ éléments, on a $a^{q-1} = 1$ pour +tout $a \in \mathbb{F}^\times$ (par Lagrange appliqué au groupe multiplicatif $\mathbb{F}^\times = \mathbb{F} \setminus\{0\}$ qui -a $q-1$ éléments). On a donc $a^q = a$ pour tout $a \in F$ (« petit - théorème de Fermat » généralisé aux corps finis). +a $q-1$ éléments). On a donc $a^q = a$ pour tout $a \in F$ (« petit + théorème de Fermat » généralisé aux corps finis). -Ceci peut aussi se dire : le polynôme $t^q - t \in \mathbb{F}[t]$ -s'annule en tout point de $\mathbb{F}$ (tout élément de $\mathbb{F}$ -en est racine). Comme il est de degré $q$, on a sa factorisation : +Ceci peut aussi se dire : le polynôme $t^q - t \in \mathbb{F}[t]$ +s'annule en tout point de $\mathbb{F}$ (tout élément de $\mathbb{F}$ +en est racine). Comme il est de degré $q$, on a sa factorisation : \[ t^q - t = \prod_{a \in \mathbb{F}} (t-a) \] -Cette factorisation étant valable dans n'importe quel corps $L$ (fini -ou non) contenant $\mathbb{F}$, on voit que $\mathbb{F}$ peut se -définir (dans n'importe quel corps $L$ le contenant) comme l'ensemble -des éléments $x$ vérifiant $x^q = x$ (plus explicitement : le petit -théorème de Fermat signifie que tout élément de $\mathbb{F}$ vérifie -$x^q = x$, mais réciproquement tout élément de $L$ vérifiant cette -équation est automatiquement dans $\mathbb{F}$). +Cette factorisation étant valable dans n'importe quel corps $L$ (fini +ou non) contenant $\mathbb{F}$, on voit que $\mathbb{F}$ peut se +définir (dans n'importe quel corps $L$ le contenant) comme l'ensemble +des éléments $x$ vérifiant $x^q = x$ (plus explicitement : le petit +théorème de Fermat signifie que tout élément de $\mathbb{F}$ vérifie +$x^q = x$, mais réciproquement tout élément de $L$ vérifiant cette +équation est automatiquement dans $\mathbb{F}$). -Ceci constitue une forme d'unicité des corps finis : un corps $L$ -donné ne peut contenir qu'\emph{au plus un} sous-corps $\mathbb{F}$ -ayant $q$ éléments (pour n'importe quel $q$) --- dès qu'il en contient -un, ce corps est complètement déterminé (comme l'ensemble des éléments -vérifiant $x^q = x$). +Ceci constitue une forme d'unicité des corps finis : un corps $L$ +donné ne peut contenir qu'\emph{au plus un} sous-corps $\mathbb{F}$ +ayant $q$ éléments (pour n'importe quel $q$) --- dès qu'il en contient +un, ce corps est complètement déterminé (comme l'ensemble des éléments +vérifiant $x^q = x$). En particulier, le sous-corps premier $\mathbb{F}_p$ d'un corps fini -$L$ de caractéristique $p$ est $\mathbb{F}_p = \{x\in L : x^p = x\}$. +$L$ de caractéristique $p$ est $\mathbb{F}_p = \{x\in L : x^p = x\}$. -On admet également l'unicité à isomorphisme près : deux corps finis à -$q$ éléments, pour le même $q$, sont isomorphes. (C'est-à-dire qu'il -s'agit abstraitement du même objet, mais dont les éléments peuvent -être « nommés » différemment.) On notera $\mathbb{F}_q$ le corps à -$q$ éléments, s'il existe (on va voir que c'est le cas pour toute +On admet également l'unicité à isomorphisme près : deux corps finis à +$q$ éléments, pour le même $q$, sont isomorphes. (C'est-à -dire qu'il +s'agit abstraitement du même objet, mais dont les éléments peuvent +être « nommés » différemment.) On notera $\mathbb{F}_q$ le corps à +$q$ éléments, s'il existe (on va voir que c'est le cas pour toute puissance $q$ d'un nombre premier). % -\subsection{Morphisme de Frobenius, conjugués d'un élément} +\subsection{Morphisme de Frobenius, conjugués d'un élément} -Si $\mathbb{F}$ est un corps fini de caractéristique $p$ alors +Si $\mathbb{F}$ est un corps fini de caractéristique $p$ alors l'application $\Frob\colon \mathbb{F}\to \mathbb{F}, x\mapsto x^p$ -(parfois notée $\Frob_p$ pour plus de clarté) est appelée +(parfois notée $\Frob_p$ pour plus de clarté) est appelée \textbf{(morphisme de) Frobenius} de $\mathbb{F}$ (au-dessus -de $\mathbb{F}_p$). C'est un morphisme de corps : il vérifie +de $\mathbb{F}_p$). C'est un morphisme de corps : il vérifie $\Frob(x+y) = \Frob(x) + \Frob(y)$ et $\Frob(xy) = \Frob(x)\,\Frob(y)$ -(le second est évident, et le premier est est vrai car on est en -caractéristique $p$ donc, quand on développe $(x+y)^p$, tous les -coefficients binomiaux intermédiaires sont multiples de $p$ donc -nuls). C'est aussi une bijection de $\mathbb{F}$ sur lui-même -(c'est-à-dire que $\Frob$ permute les éléments de $\mathbb{F}$, chacun -ayant un unique antécédent ou racine $p$-ième). - -En appliquant plusieurs fois successivement le morphisme $\Frob$ à un -élément $x \in \mathbb{F}$ où $\mathbb{F}$ est un corps fini à $q = -p^d$ éléments, on obtient successivement : $x = +(le second est évident, et le premier est est vrai car on est en +caractéristique $p$ donc, quand on développe $(x+y)^p$, tous les +coefficients binomiaux intermédiaires sont multiples de $p$ donc +nuls). C'est aussi une bijection de $\mathbb{F}$ sur lui-même +(c'est-à -dire que $\Frob$ permute les éléments de $\mathbb{F}$, chacun +ayant un unique antécédent ou racine $p$-ième). + +En appliquant plusieurs fois successivement le morphisme $\Frob$ à un +élément $x \in \mathbb{F}$ où $\mathbb{F}$ est un corps fini à $q = +p^d$ éléments, on obtient successivement : $x = \Frob^0(x)\;,\penalty0\;\; \Frob^1(x) = x^p\;,\penalty0\;\; \Frob^2(x) = (x^p)^p = x^{p^2}\;,\penalty0\;\; \Frob^3(x) = (x^{p^2})^p = -x^{p^3}\;,...\penalty0\;\; \Frob^i(x) = x^{p^i}$. Ces éléments -$x^{p^i}$ s'appellent les \textbf{conjugués} de $x$ (au-dessus -de $\mathbb{F}_p$). +x^{p^3}\;,...\penalty0\;\; \Frob^i(x) = x^{p^i}$. Ces éléments +$x^{p^i}$ s'appellent les \textbf{conjugués} de $x$ (au-dessus +de $\mathbb{F}_p$). -On a vu plus haut que $x^{p^d} = x$ (c'est le petit théorème de +On a vu plus haut que $x^{p^d} = x$ (c'est le petit théorème de Fermat), autrement dit, au bout de $d$ applications du Frobenius on -retombe sur l'élément $x$ de départ ; il se peut qu'on retombe sur $d$ -plus tôt : le plus petit $r$ tel que $x^{p^r} = x$, qui est aussi le -nombre de conjugués distincts de $x$, s'appelle le \textbf{degré} -de $x$ (au-dessus de $\mathbb{F}_p$), et ce degré $r$ divise $d$ -(qu'on a appelé le degré de $\mathbb{F}$). Tous les conjugués de $x$ -ont bien sûr le même degré que $x$. +retombe sur l'élément $x$ de départ ; il se peut qu'on retombe sur $d$ +plus tôt : le plus petit $r$ tel que $x^{p^r} = x$, qui est aussi le +nombre de conjugués distincts de $x$, s'appelle le \textbf{degré} +de $x$ (au-dessus de $\mathbb{F}_p$), et ce degré $r$ divise $d$ +(qu'on a appelé le degré de $\mathbb{F}$). Tous les conjugués de $x$ +ont bien sûr le même degré que $x$. \bigbreak -\textbf{Attention !} si $\mathbb{F}$ est un corps fini à $q = p^d$ -éléments, ne pas confondre les trois choses suivantes : +\textbf{Attention !} si $\mathbb{F}$ est un corps fini à $q = p^d$ +éléments, ne pas confondre les trois choses suivantes : \begin{itemize} -\item L'ordre additif d'un élément $x$ dans $\mathbb{F}$ (groupe - additif) : cet ordre vaut toujours $p$ sauf pour $x=0$ (auquel cas - c'est $1$). -\item L'ordre multiplicatif d'un élément $x \neq 0$ dans - $\mathbb{F}^\times$ (groupe multiplicatif des éléments non nuls) : +\item L'ordre additif d'un élément $x$ dans $\mathbb{F}$ (groupe + additif) : cet ordre vaut toujours $p$ sauf pour $x=0$ (auquel cas + c'est $1$). +\item L'ordre multiplicatif d'un élément $x \neq 0$ dans + $\mathbb{F}^\times$ (groupe multiplicatif des éléments non nuls) : cet ordre divise $q-1$ puisque le groupe $\mathbb{F}^\times$ est - d'ordre $q-1$. -\item Le degré $r$ d'un élément $x$ au-dessus de $\mathbb{F}_p$ qu'on - vient de définir : ce degré divise $d$. + d'ordre $q-1$. +\item Le degré $r$ d'un élément $x$ au-dessus de $\mathbb{F}_p$ qu'on + vient de définir : ce degré divise $d$. \end{itemize} -Il y a cependant des rapports : par exemple, si $x \neq 0$ est de -degré $r$ alors son ordre multiplicatif divise $p^r - 1$ (car on a -$x^{p^r} = x$ par définition de $r$, donc $x^{p^r - 1} = 1$) ; +Il y a cependant des rapports : par exemple, si $x \neq 0$ est de +degré $r$ alors son ordre multiplicatif divise $p^r - 1$ (car on a +$x^{p^r} = x$ par définition de $r$, donc $x^{p^r - 1} = 1$) ; notamment, si $x$ est d'ordre $q - 1 = p^d - 1$ (on va voir qu'il -existe de tels éléments, ce sont les éléments primitifs) alors $x$ est -de degré $d$ (mais la réciproque n'est pas vraie). +existe de tels éléments, ce sont les éléments primitifs) alors $x$ est +de degré $d$ (mais la réciproque n'est pas vraie). % \subsection{Existence et inclusions des corps finis} -Pour tout nombre premier $p$ et tout $d \geq 1$, il existe un corps à -$q = p^d$ éléments, qu'on peut noter $\mathbb{F}_q$. On peut le voir +Pour tout nombre premier $p$ et tout $d \geq 1$, il existe un corps à +$q = p^d$ éléments, qu'on peut noter $\mathbb{F}_q$. On peut le voir comme $\mathbb{F}_q \cong \mathbb{F}_p[t]/(f)$ pour un certain -polynôme $f \in \mathbb{F}_p[t]$ irréductible de degré $d$ -(l'affirmation importante est qu'il en existe !). +polynôme $f \in \mathbb{F}_p[t]$ irréductible de degré $d$ +(l'affirmation importante est qu'il en existe !). -Moralement, le fait de choisir tel ou tel polynôme $f$ irréductible de -degré $d$ (unitaire, disons) ne change pas le corps $\mathbb{F}_q$ +Moralement, le fait de choisir tel ou tel polynôme $f$ irréductible de +degré $d$ (unitaire, disons) ne change pas le corps $\mathbb{F}_q$ qu'on obtient comme $\mathbb{F}_p[t]/(f)$, cela change uniquement la -valeur de l'élément représenté comme $\bar t$. +valeur de l'élément représenté comme $\bar t$. \smallbreak Si $q = p^d$ et $q' = p^{\prime d'}$, alors $\mathbb{F}_q$ est contenu -dans $\mathbb{F}_{q'}$ (plus proprement : $\mathbb{F}_{q'}$ contient -un sous-corps ayant $q$ éléments) si et seulement si : (1) $p=p'$ et -(2) $d|d'$. Cela équivaut encore à : $q'$ est une puissance de $q$. -(Exemple : $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $\mathbb{F}_{16}$ mais pas +dans $\mathbb{F}_{q'}$ (plus proprement : $\mathbb{F}_{q'}$ contient +un sous-corps ayant $q$ éléments) si et seulement si : (1) $p=p'$ et +(2) $d|d'$. Cela équivaut encore à  : $q'$ est une puissance de $q$. +(Exemple : $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $\mathbb{F}_{16}$ mais pas dans $\mathbb{F}_8$.) Rappelons que lorsque c'est le cas (que $q'$ est une puissance -de $q$), on peut retrouver $\mathbb{F}_q$ dans $\mathbb{F}_{q'}$ comme +de $q$), on peut retrouver $\mathbb{F}_q$ dans $\mathbb{F}_{q'}$ comme l'ensemble $\{x : x^q=x\}$ des racines de $t^q - t$, ou encore comme -l'ensemble des éléments dont le degré au-dessus de $\mathbb{F}_p$ -divise $d$ (car $x^q = x$ signifie $\Frob^d(x) = x$). +l'ensemble des éléments dont le degré au-dessus de $\mathbb{F}_p$ +divise $d$ (car $x^q = x$ signifie $\Frob^d(x) = x$). % \subsection{Test de Rabin, factorisation de $t^{p^d}-t$} -\textbf{Test d'irréductibilité de Rabin :} Étant donné $f \in -\mathbb{F}_p[t]$ de degré $d$, il est irréductible si et seulement si -les deux conditions suivantes sont vérifiées : +\textbf{Test d'irréductibilité de Rabin :} Étant donné $f \in +\mathbb{F}_p[t]$ de degré $d$, il est irréductible si et seulement si +les deux conditions suivantes sont vérifiées : \begin{itemize} \item[(a)] $f$ divise $t^{p^d}-t$, et \item[(b)] $f$ est premier avec $t^{p^e}-t$ pour tout diviseur strict - $e$ de $d$ (en fait, on peut se contenter de tester pour les - diviseurs \emph{immédiats}, c'est-à-dire les $e = d/\ell$ avec + $e$ de $d$ (en fait, on peut se contenter de tester pour les + diviseurs \emph{immédiats}, c'est-à -dire les $e = d/\ell$ avec $\ell$ premier). \end{itemize} -(Remarque : la condition (a) s'écrit $t^{p^d}\equiv t \pmod{f}$, et -pour la vérifier on applique un algorithme d'exponentiation -rapide\footnote{Par exemple, dans ce cas, tout simplement élever $d$ - fois successivement à la puissance $p$.} pour calculer $\bar -t^{p^d}$ dans $\mathbb{F}_p[t]/(f)$. De même, la condition (b) se -teste avec l'algorithme d'Euclide en commençant par calculer $t^{q^e}$ -modulo $f$.) +(Remarque : la condition (a) s'écrit $t^{p^d}\equiv t \pmod{f}$, et +pour la vérifier on applique un algorithme d'exponentiation +rapide\footnote{Par exemple, dans ce cas, tout simplement élever $d$ + fois successivement à la puissance $p$.} pour calculer $\bar +t^{p^d}$ dans $\mathbb{F}_p[t]/(f)$. De même, la condition (b) se +teste avec l'algorithme d'Euclide en commençant par calculer $t^{q^e}$ +modulo $f$.) \smallskip -Exercice : Vérifier que $f = t^4 + t + 1$ est irréductible dans +Exercice : Vérifier que $f = t^4 + t + 1$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[t]$. (On a $t^4 \equiv t+1 \pmod{f}$ donc $t^8 \equiv -t^2+1$ donc $t^{16} \equiv t^4 + 1 \equiv t$ donc le premier critère -est vérifié. Pour le second, $t^4-t \equiv 1 \pmod{f}$ donc -l'algorithme d'Euclide termine immédiatement et $t^4-t$ et $f$ sont -bien irréductibles.) Vérifier que $g = t^4 + t^3 + 1$ est -irréductible dans $\mathbb{F}_2[t]$. (On a $t^4 \equiv t^3+1 +t^2+1$ donc $t^{16} \equiv t^4 + 1 \equiv t$ donc le premier critère +est vérifié. Pour le second, $t^4-t \equiv 1 \pmod{f}$ donc +l'algorithme d'Euclide termine immédiatement et $t^4-t$ et $f$ sont +bien irréductibles.) Vérifier que $g = t^4 + t^3 + 1$ est +irréductible dans $\mathbb{F}_2[t]$. (On a $t^4 \equiv t^3+1 \pmod{g}$ donc $t^8 \equiv t^6+1 \equiv t^3+t^2+t$ donc $t^{16} \equiv -t^6+t^4+t^2 \equiv t$ donc le premier critère est vérifié. Pour le +t^6+t^4+t^2 \equiv t$ donc le premier critère est vérifié. Pour le second, $t^4-t \equiv t^3+t+1 \pmod{g}$ puis $g = t^4+t^3+1 \equiv t^2 \pmod{t^3+t+1}$ et enfin $t^3+t+1 \equiv 1 \pmod{t^2}$ donc $t^4-t$ et -$g$ sont bien irréductibles.) +$g$ sont bien irréductibles.) \medbreak -Le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré $d$ dans +Le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré $d$ dans $\mathbb{F}_p[t]$ vaut approximativement $\frac{1}{d} p^d$ (plus exactement, c'est $\frac{1}{d} p^d + O(p^{d/2})$ lorsque $d \to -+\infty$). Ceci signifie que parmi les $p^d$ polynômes unitaires de -degré $d$ sur $\mathbb{F}_p$, il y en a une proportion d'environ -$\frac{1}{d}$ qui sont irréductibles. ++\infty$). Ceci signifie que parmi les $p^d$ polynômes unitaires de +degré $d$ sur $\mathbb{F}_p$, il y en a une proportion d'environ +$\frac{1}{d}$ qui sont irréductibles. -Ainsi, pour générer un polynôme irréductible, il est raisonnable de -tirer un polynôme (unitaire) au hasard, et de tester son -irréductibilité, et de recommencer jusqu'à obtenir un irréductible. +Ainsi, pour générer un polynôme irréductible, il est raisonnable de +tirer un polynôme (unitaire) au hasard, et de tester son +irréductibilité, et de recommencer jusqu'à obtenir un irréductible. \medbreak On a vu plus haut que sur le corps $\mathbb{F}_q$ (lorsque $q = p^d$), -le polynôme $t^q - t$ se factorise en irréductibles comme $t^q - t = +le polynôme $t^q - t$ se factorise en irréductibles comme $t^q - t = \prod_{a \in \mathbb{F}_q} (t-a)$. Il est utile de savoir que sur -$\mathbb{F}_p$, ce même polynôme se factorise comme le produit de -\emph{tous} les polynômes unitaires irréductibles dont le degré $r$ -divise $d$ (plus précisément, chaque polynôme unitaire irréductible -$f$ de degré $r$ sur $\mathbb{F}_p$ devient, quand on le regarde sur -$\mathbb{F}_q$, le produit des $(t-a)$ pour les $r$ conjugués $a$ d'un -élément de degré $r$). Ce fait peut servir à dénombrer de façon -précise les polynômes unitaires irréductibles de n'importe quel degré -sur $\mathbb{F}_p$. +$\mathbb{F}_p$, ce même polynôme se factorise comme le produit de +\emph{tous} les polynômes unitaires irréductibles dont le degré $r$ +divise $d$ (plus précisément, chaque polynôme unitaire irréductible +$f$ de degré $r$ sur $\mathbb{F}_p$ devient, quand on le regarde sur +$\mathbb{F}_q$, le produit des $(t-a)$ pour les $r$ conjugués $a$ d'un +élément de degré $r$). Ce fait peut servir à dénombrer de façon +précise les polynômes unitaires irréductibles de n'importe quel degré +sur $\mathbb{F}_p$. \medbreak -\textbf{Note :} Contrairement à la situation dans les entiers, on peut -effectuer efficacement la factorisation des polynômes sur les corps +\textbf{Note :} Contrairement à la situation dans les entiers, on peut +effectuer efficacement la factorisation des polynômes sur les corps finis. % -\subsection{Éléments primitifs} +\subsection{Éléments primitifs} -\textbf{Théorème :} Le groupe multiplicatif d'un corps fini est +\textbf{Théorème :} Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. Autrement dit, si $\mathbb{F}$ est un corps fini, il existe des -éléments $g$, dits \textbf{primitifs}, qui engendrent le groupe -multiplicatif $\mathbb{F}^\times$ des éléments non nuls -de $\mathbb{F}$, c'est-à-dire tels que tout élément non nul de -$\mathbb{F}$ soit une puissance de $g$. Un élément primitif de -$\mathbb{F}_q$ est un élément de $\mathbb{F}_q^\times$ dont l'ordre -multiplicatif vaut exactement $q-1$. - -Le nombre d'éléments primitifs est bien sûr $\varphi(q-1)$ (puisque, +éléments $g$, dits \textbf{primitifs}, qui engendrent le groupe +multiplicatif $\mathbb{F}^\times$ des éléments non nuls +de $\mathbb{F}$, c'est-à -dire tels que tout élément non nul de +$\mathbb{F}$ soit une puissance de $g$. Un élément primitif de +$\mathbb{F}_q$ est un élément de $\mathbb{F}_q^\times$ dont l'ordre +multiplicatif vaut exactement $q-1$. + +Le nombre d'éléments primitifs est bien sûr $\varphi(q-1)$ (puisque, une fois qu'on sait que $\mathbb{F}^\times$ est cyclique, comme il est -d'ordre $q-1$, le nombre d'éléments qui l'engendrent est connu). +d'ordre $q-1$, le nombre d'éléments qui l'engendrent est connu). % % |