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diff --git a/exercices2b.tex b/exercices2b.tex index 17f032c..2c9e39a 100644 --- a/exercices2b.tex +++ b/exercices2b.tex @@ -27,6 +27,8 @@ \newcommand{\signe}{\operatorname{signe}} \newcommand{\tee}{\mathbin{\top}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} +\newcommand{\trace}{\operatorname{tr}} +\newcommand{\Norm}{\operatorname{N}} \newcommand{\dothis}{\leavevmode\hbox to0pt{\hskip-\parindent\HandRight{}\hskip0ptplus1fil}} \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -258,57 +260,158 @@ Le résultat est donc $250 \otimes 250 = 2$. Soit $q = p^d$ une puissance d'un nombre premier $p$. (A) On appelle \emph{trace absolue} dans $\mathbb{F}_q$ (ou bien trace -dans $\mathbb{F}_q$ sur $\mathbb{F}_p$) l'application $\mathrm{tr} +dans $\mathbb{F}_q$ sur $\mathbb{F}_p$) l'application $\trace \colon \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_q$ qui envoie un élément $x \in \mathbb{F}_q$ sur la somme $\sum_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x)$ des $d$ itérées consécutives du Frobenius, où comme d'habitude $\Frob^i(x)$ désigne $x^{p^i}$. -(0) Montrer que $\mathrm{tr}(x+y) = \mathrm{tr}(x) + \mathrm{tr}(y)$ -pour tous $x,y \in \mathbb{F}_q$ et que $\mathrm{tr}(cx) = -c\,\mathrm{tr}(x)$ si $c \in \mathbb{F}_p$ et $x \in \mathbb{F}_q$. +(0) Montrer que $\trace(x+y) = \trace(x) + \trace(y)$ +pour tous $x,y \in \mathbb{F}_q$ et que $\trace(cx) = +c\,\trace(x)$ si $c \in \mathbb{F}_p$ et $x \in \mathbb{F}_q$. -(1) Montrer que $\mathrm{tr}$ prend en fait des valeurs dans +\begin{corrige} +On rappelle que $\Frob(x+y) = \Frob(x) + \Frob(y)$, et par conséquent +$\Frob^i(x+y) = \Frob^i(x) + \Frob^i(y)$ pour n'importe quel $i$ ; a +donc $\trace(x+y) = \sum_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x+y) = \sum_{i=0}^{d-1} +(\Frob^i(x) + \Frob^i(y)) = \sum_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x) + +\sum_{i=0}^{d-1} \Frob^i(y) = \trace(x) + \trace(y)$. + +Pour la seconde égalité, lorsque $c\in \mathbb{F}_p$ on a $\Frob(cx) = +\Frob(c)\,\Frob(x) = c\,\Frob(x)$, et par conséquent $\Frob^i(cx) = +c\,\Frob^i(x)$ pour tout $i$. On peut donc écrire $\trace(cx) = +\sum_{i=0}^{d-1} \Frob^i(cx) = \sum_{i=0}^{d-1} (c \Frob^i(x)) = c +\sum_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x) = c\,\trace(x)$. +\end{corrige} + +(1) Montrer que $\trace$ prend en fait des valeurs dans $\mathbb{F}_p$. (On pourra pour cela chercher à calculer -$\Frob(\mathrm{tr}(x))$.) +$\Frob(\trace(x))$.) + +\begin{corrige} +On a $\Frob(\trace(x)) = \Frob(\sum_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x)) = +\sum_{i=0}^{d-1} \Frob^{i+1}(x) = \sum_{i=1}^{d} \Frob^i(x)$. Or +$\Frob^d(x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{F}_q$ (où $q = p^d$) d'après +le petit théorème de Fermat. La somme se réécrit donc bien comme +$\sum_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x) = \trace(x)$. Ceci montre que +$\trace(x)$ est stable par le Frobenius, i.e., vérifie $\trace(x)^p = +\trace(x)$, donc $\trace(x) \in \mathbb{F}_p$. +\end{corrige} -(2) Expliquer pourquoi $\mathrm{tr}(x)$ est un polynôme de $x$ (dont +(2) Expliquer pourquoi $\trace(x)$ est un polynôme de $x$ (dont on calculera le degré). -(3) Montrer qu'il existe $x \in \mathbb{F}_q$ tel que $\mathrm{tr}(x) +\begin{corrige} +On a $\trace(x) = x + x^p + x^{p^2} + \cdots + x^{p^{d-1}}$, qui est +manifestement un polynôme de degré $p^{d-1}$ (remarquons que ceci est +strictement plus petit que $p^d$). +\end{corrige} + +(3) Montrer qu'il existe $x \in \mathbb{F}_q$ tel que $\trace(x) \neq 0$. -(4) En déduire que $\mathrm{tr}$ prend toutes les valeurs +\begin{corrige} +Le polynôme $\trace$ étant de degré $p^{d-1} < p^d$ non identiquement +nul, il ne peut pas s'annuler en les $p^d$ points de $\mathbb{F}_q$. +Il existe donc $x \in \mathbb{F}_q$ tel que $\trace(x) \neq 0$. +\end{corrige} + +(4) En déduire que $\trace$ prend toutes les valeurs de $\mathbb{F}_p$ (i.e., qu'il s'agit d'une fonction surjective ; on pourra par exemple commencer par montrer qu'elle prend la valeur $1$). +\begin{corrige} +Si $\trace(x) = c \neq 0$ (on vient de voir qu'un tel $x$ existe), +comme $c \in \mathbb{F}_p$ d'après la question (1), on a +$\trace(\frac{1}{c}x) = 1$. Si $a \in \mathbb{F}_p$ est quelconque, +on a alors $\trace(\frac{a}{c}x) = a$. Donc $\trace$ prend bien +toutes les valeurs de $\mathbb{F}_p$. +\end{corrige} + \smallbreak (B) On appelle \emph{norme absolue} dans $\mathbb{F}_q$ (ou bien norme -dans $\mathbb{F}_q$ sur $\mathbb{F}_p$) l'application $\mathrm{N} +dans $\mathbb{F}_q$ sur $\mathbb{F}_p$) l'application $\Norm \colon \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_q$ qui envoie un élément $x \in \mathbb{F}_q$ sur le produit $\prod_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x)$ des $d$ itérées consécutives du Frobenius, où comme d'habitude $\Frob^i(x)$ désigne $x^{p^i}$. -(0) Montrer que $\mathrm{N}(xy) = \mathrm{N}(x)\,\mathrm{N}(y)$ pour +(0) Montrer que $\Norm(xy) = \Norm(x)\,\Norm(y)$ pour tous $x,y \in \mathbb{F}_q$. -(1) Montrer que $\mathrm{N}$ prend en fait des valeurs dans +\begin{corrige} +On rappelle que $\Frob(xy) = \Frob(x) \, \Frob(y)$, et par conséquent +$\Frob^i(xy) = \Frob^i(x) \, \Frob^i(y)$ pour n'importe quel $i$ ; a +donc $\Norm(xy) = \prod_{i=0}^{d-1} \Frob^i(xy) = \prod_{i=0}^{d-1} +(\Frob^i(x) \, \Frob^i(y)) = \prod_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x) \times +\prod_{i=0}^{d-1} \Frob^i(y) = \Norm(x) \, \Norm(y)$. +\end{corrige} + +(1) Montrer que $\Norm$ prend en fait des valeurs dans $\mathbb{F}_p$. (On pourra pour cela chercher à calculer -$\Frob(\mathrm{N}(x))$.) +$\Frob(\Norm(x))$.) + +\begin{corrige} +On a $\Frob(\Norm(x)) = \Frob(\prod_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x)) = +\prod_{i=0}^{d-1} \Frob^{i+1}(x) = \prod_{i=1}^{d} \Frob^i(x)$. Or +$\Frob^d(x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{F}_q$ (où $q = p^d$) d'après +le petit théorème de Fermat. Le produit se réécrit donc bien comme +$\prod_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x) = \Norm(x)$. Ceci montre que $\Norm(x)$ +est stable par le Frobenius, i.e., vérifie $\Norm(x)^p = \Norm(x)$, +donc $\Norm(x) \in \mathbb{F}_p$. +\end{corrige} -(2) Exprimer $\mathrm{N}(x)$ comme une certaine puissance de $x$ (dont +(2) Exprimer $\Norm(x)$ comme une certaine puissance de $x$ (dont on calculera l'exposant). -(3) Montrer que $\mathrm{N}(x) = 0$ si et seulement si $x=0$. +\begin{corrige} +On a $\Norm(x) = x \times x^p \times x^{p^2} \times \cdots \times +x^{p^{d-1}} = x^{1+p+p^2+\cdots+p^{d-1}}$. L'exposant est la somme +d'une série géométrique et vaut $\frac{p^d-1}{p-1}$ (remarquer que +ceci est un entier). On a peut donc écrire $\Norm(x) = +x^{\frac{p^d-1}{p-1}}$. +\end{corrige} -(4) Montrer que $\mathrm{N}$ prend toutes les valeurs +(3) Montrer que $\Norm(x) = 0$ si et seulement si $x=0$. + +\begin{corrige} +Le fait que $\Norm(0) = 0$ est trivial. + +Dans un corps (ou plus généralement, un anneau intègre), un produit +est nul si et seulement si un des facteurs est nul. Si on a +$x^{\frac{p^d-1}{p-1}} = 0$, la seule possibilité est que $x=0$ (ou +bien directement sur la définition : si $\prod_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x) += 0$, c'est qu'un des facteurs $\Frob^i(x)$ est nul, ce qui en +appliquant $\Frob^{d-i}$ implique $x=0$). +\end{corrige} + +(4) Montrer que $\Norm$ prend toutes les valeurs de $\mathbb{F}_p$ (i.e., qu'il s'agit d'une fonction surjective ; on -pourra considérer $\mathrm{N}(g)$ pour $g$ un élément primitif de +pourra considérer $\Norm(g)$ pour $g$ un élément primitif de $\mathbb{F}_q^\times$, et montrer qu'il est d'ordre $p-1$ dans $\mathbb{F}_p^\times$). +\begin{corrige} +Soit $g$ un élément primitif de $\mathbb{F}_q^\times$ : il est donc +d'ordre exactement $q-1 = p^d-1$ (i.e., $g^j = 1$ si et seulement si +$j$ est multiple de $p^d-1$). On a vu que $\Norm(g) = +g^{\frac{p^d-1}{p-1}}$. On a donc $\Norm(g)^i = g^{\frac{p^d-1}{p-1} + i}$. On a donc $\Norm(g)^i = 1$ si et seulement si +$\frac{p^d-1}{p-1} i$ est multiple de $p^d-1$, c'est-à-dire si et +seulement si $\frac{p^d-1}{p-1} i = (p^d-1)k$ pour un certain +entier $k$, ce qui signifie $\frac{i}{p-1} = k$ pour un certain +entier $k$, autrement dit $i$ multiple de $p-1$. On a donc bien +montré que $\Norm(g)$ est d'ordre $p-1$, i.e., primitif +dans $\mathbb{F}_p^\times$. + +Si $a$ est un élément quelconque de $\mathbb{F}_p$, soit $a = 0$ +auquel cas il est la norme de $0$, soit $a \neq 0$, auquel cas on peut +écrire $a = \Norm(g)^i$ pour un certain $i$ (puisqu'on vient de voir +que $\Norm(g)$ est primitif), et du coup $a = \Norm(g^i)$. Donc +$\Norm$ prend bien toutes les valeurs de $\mathbb{F}_p$. +\end{corrige} + % % % |