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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-05-23 21:00:16 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-05-23 21:00:16 (GMT)
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Recapitulation of algebraic varieties.
-rw-r--r--notes-geoalg.tex60
1 files changed, 59 insertions, 1 deletions
diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex
index 330181a..b7b7e5c 100644
--- a/notes-geoalg.tex
+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -1816,7 +1816,9 @@ $X_i$ qui coïncident aux intersections ; un morphisme de $X$ vers une
variété algébrique affine $Y$ est, de même, la donnée de morphismes
$X_i \to Y$ qui se recollent.
-On dira que $X$ est \emph{affine} lorsque le morphisme $X \to \Spec
+On dira que $X$ est \emph{affine} lorsque $X$ est isomorphe à une
+variété algébrique $\Spec R$ avec $R$ algèbre de type finie réduite,
+ou, de façon équivalente, lorsque le morphisme $X \to \Spec
\mathcal{O}(X)$, où $\mathcal{O}(X)$ est l'anneau des fonctions
régulières sur $X$, défini naturellement, est, en fait, un
isomorphisme.
@@ -1914,6 +1916,62 @@ dans $\mathbb{A}^2$, qui n'est pas un isomorphisme.
%
+\subsection{Récapitulation : que doit-on savoir sur une variété algébrique ?}
+
+On ne proposera pas de définition générale de ce qu'est une variété
+algébrique. Cependant, il faut au moins savoir les choses suivantes :
+\begin{itemize}
+\item une variété algébrique affine ou quasi-affine sur $k$ est une
+ variété algébrique sur $k$ ; en particulier, pour toute $k$-algèbre
+ $R$ de type fini réduite sur $k$, on a une variété algébrique
+ (affine) $\Spec R$ ;
+\item une variété algébrique a une notion d'\emph{ouverts} (de
+ Zariski) : ces ouverts sont eux-mêmes des variétés algébriques ; ces
+ ouverts vérifient les axiomes d'une topologie, i.e., le vide et le
+ plein sont des ouverts, une réunion quelconque ou une intersection
+ finie d'ouverts sont des ouverts ; de plus, une variété algébrique
+ est quasi-compacte (de tout recouvrement par des ouverts on peut
+ extraire un sous-recouvrement finie) ;
+\item une variété algébrique peut être recouverte par des ouverts
+ \emph{affines} ;
+\item si la variété $X$ est recouverte par des ouverts $U_i$, se
+ donner une fonction régulière sur $X$ (resp. un morphisme de $X$
+ vers une variété $Y$ quelconque) équivaut à se donner une fonction
+ régulière sur chaque $U_i$ (resp. un morphisme de chaque $U_i$
+ vers $Y$) telles que les données coïncident aux intersections $U_i
+ \cap U_j$ ; en particulier, appliquer ce principe à un recouvrement
+ par des ouverts affines permet de ramener l'étude d'une variété
+ quelconque à des variétés affines et à leurs intersections ;
+\item pour chaque $k$-algèbre $A$, on a un ensemble $X(A)$ appelé
+ ensemble des $A$-points de la variété $X$, et pour chaque morphisme
+ $\varphi\colon A\to A'$ de $k$-algèbres une application $X(A) \to
+ X(A')$ telle que $X(\psi\circ\varphi) = X(\psi)\circ X(\varphi)$ si
+ $\varphi\colon A\to A'$ et $\psi\colon A'\to A''$,
+\item les morphismes $X \to Y$ sont exactement les données pour chaque
+ $k$-algèbre d'une application $X(A) \buildrel f(A)\over\to Y(A)$
+ telle que : si $A \buildrel\psi\over\to A'$ est un morphisme de
+ $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) \buildrel
+ X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et $X(A)
+ \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$
+ coïncident ;
+\item si $X$ est affine, les morphismes $X \to Y$ s'identifient avec
+ les éléments de $Y(\mathscr{O}(X))$ (on ne suppose pas ici que $Y$
+ soit affine) ;
+\item si $Y$ est affine, les morphismes $X \to Y$ s'identifient avec
+ les morphismes d'anneaux $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ (on ne
+ suppose pas que $X$ soit affine), et en particulier les fonctions
+ régulières sur $X$ s'identifient avec les morphismes $X \to
+ \mathbb{A}^1$ ;
+\item sur un corps $k$ algébriquement clos, le Nullstellensatz assure
+ que beaucoup de données se « lisent » sur les $k$-points :
+ notamment, une fonction régulière sur $X$ est déterminée par ses
+ valeurs sur $X(k)$, un morphisme $X \to Y$ est déterminée par la
+ fonction $X(k) \to Y(k)$, un ouvert de $X$ est déterminé par le
+ sous-ensemble $U(k)$ de $X(k)$...
+\end{itemize}
+
+
+%
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%