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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2014-04-29 13:26:38 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2014-04-29 13:26:38 (GMT)
commit82b9e69af7ad02a2516623d55400039297d94aee (patch)
tree3e2bd7f62bdec095d7c3b997998aeb08de0a2954
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Chevalley's theorem: the image is constructible, not necessarily locally closed.
-rw-r--r--notes-geoalg-2010.tex9
-rw-r--r--notes-geoalg-2011.tex11
-rw-r--r--notes-geoalg-2012.tex11
3 files changed, 17 insertions, 14 deletions
diff --git a/notes-geoalg-2010.tex b/notes-geoalg-2010.tex
index 3611325..3527f68 100644
--- a/notes-geoalg-2010.tex
+++ b/notes-geoalg-2010.tex
@@ -2804,10 +2804,11 @@ qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ?
\begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley}
\begin{itemize}
\item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété
- quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant :
- il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé
- dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$)
- telle que $Y'(k)$ soit l'ensemble des $y \in Y(k)$ pour lesquels il
+ quasiprojectives est « constructible » dans $Y$, au sens suivant :
+ il existe $Y'_1,\ldots,Y'_s \subseteq Y$, chacun intersections d'un
+ ouvert et d'un fermé dans $Y$ (c'est-à-dire que chaque $Y'_i$ est
+ une sous-variété quasiprojective de $Y$), tels que, pour $y \in
+ Y(k)$, on ait $\exists i (y \in Y'_i(k))$ si et seulement si il
existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$.
\item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel
f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$.
diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex
index f6c8f1d..a6c5fc1 100644
--- a/notes-geoalg-2011.tex
+++ b/notes-geoalg-2011.tex
@@ -1847,11 +1847,12 @@ points sur $k^{\alg}$) pour lequel $f(x) = y$ ?
\begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley}
\begin{itemize}
\item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété
- quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant :
- il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé
- dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$)
- telle que $y \in Y'$ si et seulement si il existe $x \in X$ pour
- lequel $f(x) = y$.
+ quasiprojectives est « constructible » dans $Y$, au sens suivant :
+ il existe $Y'_1,\ldots,Y'_s \subseteq Y$, chacun intersections d'un
+ ouvert et d'un fermé dans $Y$ (c'est-à-dire que chaque $Y'_i$ est
+ une sous-variété quasiprojective de $Y$), tels que, pour $y \in Y$,
+ on ait $\exists i (y \in Y'_i)$ si et seulement si il existe $x \in
+ X$ pour lequel $f(x) = y$.
\item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel
f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$.
\end{itemize}
diff --git a/notes-geoalg-2012.tex b/notes-geoalg-2012.tex
index 4e8ae38..3f3d072 100644
--- a/notes-geoalg-2012.tex
+++ b/notes-geoalg-2012.tex
@@ -2180,11 +2180,12 @@ points sur $k^{\alg}$) pour lequel $f(x) = y$ ?
\begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley}
\begin{itemize}
\item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété
- quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant :
- il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé
- dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$)
- telle que $y \in Y'$ si et seulement si il existe $x \in X$ pour
- lequel $f(x) = y$.
+ quasiprojectives est « constructible » dans $Y$, au sens suivant :
+ il existe $Y'_1,\ldots,Y'_s \subseteq Y$, chacun intersections d'un
+ ouvert et d'un fermé dans $Y$ (c'est-à-dire que chaque $Y'_i$ est
+ une sous-variété quasiprojective de $Y$), tels que, pour $y \in Y$,
+ on ait $\exists i (y \in Y'_i)$ si et seulement si il existe $x \in
+ X$ pour lequel $f(x) = y$.
\item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel
f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$.
\end{itemize}