summaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-06-10 16:23:46 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-06-10 16:23:46 (GMT)
commit8ba1d462c94d3012eba285c291c2ddcfb25a1ae6 (patch)
treea33add49c9034e6df4490a7a3f2619d9950bddaf
parent981aec0c60957ec0973f1262b7a9e9cc3b4c8165 (diff)
downloadmdi349-8ba1d462c94d3012eba285c291c2ddcfb25a1ae6.zip
mdi349-8ba1d462c94d3012eba285c291c2ddcfb25a1ae6.tar.gz
mdi349-8ba1d462c94d3012eba285c291c2ddcfb25a1ae6.tar.bz2
Try to clarify the distinction between geometric points and closed points.
-rw-r--r--notes-geoalg.tex34
1 files changed, 30 insertions, 4 deletions
diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex
index dfdecea..f1776cb 100644
--- a/notes-geoalg.tex
+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -3845,6 +3845,31 @@ Plus généralement, tout morphisme d'un ouvert non-vide de $C$ vers une
variété \emph{projective} $Y$ s'étend à $C$ tout entier.
\end{prop}
+\bigbreak
+
+\thingy\textbf{Une remarque sur Galois.} Quand on considère les points
+d'une variété sur un corps $k$ parfait non algébriquement clos, il est
+parfois préférable de considérer les $k^{\alg}$-points séparément
+(qu'on peut appeler \emph{points géométriques} pour insister), parfois
+il est préférable de considérer ensemble tous les $k^{\alg}$-points
+qui s'envoie les uns sur les autres par l'action du groupe de Galois
+absolu $\Gal(k)$ de $k$, c'est-à-dire les « orbites galoisiennes » de
+points géométriques, qu'on appelle aussi \emph{points fermés}. Par
+exemple, pour droite affine $\mathbb{A}^1$ réelle, les
+$\mathbb{C}$-points $i$ et $-i$ constituent collectivement un point
+fermé, défini par l'équation $t^2+1$. L'intérêt des points fermés est
+qu'ils correspondent aux idéaux maximaux (sur $k$) pour une variété
+affine sur $k$ (exemple : l'idéal des polynômes réels s'annulant en
+$i$ est le même que celui des polynômes réels s'annulant en $-i$,
+c'est l'idéal engendré par $t^2+1$). On appelle \emph{degré} d'un
+point fermé le nombre de points géométriques qui le constitue : c'est
+aussi le degré (=la dimension comme $k$-espace vectoriel) du corps
+résiduel $\mathcal{O}(X)/\mathfrak{m}_P$ si $X$ est affine et
+$\mathfrak{m}_P$ l'idéal correspondant au point fermé $P$. Certains
+résultats s'énoncent mieux en parlant d'un point fermé de degré $n$,
+d'autres en parlant de $n$ points géométriques (constituant une orbite
+galoisienne).
+
%
@@ -3907,7 +3932,8 @@ vivant dans $k(C)$ ou dans $k^{\alg}(C)$ (à cause de l'unicité
affirmée pour la fonction $\ord_P$). Par ailleurs, pour $f \in k(C)$,
on a $\ord_P(f) = \ord_{\sigma(P)}(f)$ pour tout $\sigma \in \Gal(k)$
(le groupe de Galois absolu de $k$), autrement dit, $\ord_P(f)$ ne
-dépend que de l'« orbite » de $P$ par $\Gal(k)$.
+dépend que de l'orbite de $P$ par $\Gal(k)$ (c'est-à-dire, du point
+fermé défini par $P$).
\begin{prop}
Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$. Alors toute fonction
@@ -3945,9 +3971,9 @@ affine\footnote{Cf. note \ref{footnote-affine}.} de $C$. Soient
$Q_1,\ldots,Q_s$ des points dans $U$ dont aucun n'est image d'un autre
sous l'action de Galois (=dont les orbites sous $\Gal(k)$ sont deux à
deux disjointes, =dont les idéaux maximaux $\mathfrak{m}_{Q_i}$ sont
-deux à deux distincts), et $f_1,\ldots,f_s \in k(C)$ et
-$v_1,\ldots,v_s \in \mathbb{Z}$. Alors il existe $f \in k(C)$ telle
-que
+deux à deux distincts, =définissant des points fermés deux à deux
+distincts), et $f_1,\ldots,f_s \in k(C)$ et $v_1,\ldots,v_s \in
+\mathbb{Z}$. Alors il existe $f \in k(C)$ telle que
\[
\begin{array}{cl}
\ord_{Q_i}(f-f_i) \geq v_i&\hbox{~pour tout $i$}\\