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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index dfdecea..f1776cb 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -3845,6 +3845,31 @@ Plus généralement, tout morphisme d'un ouvert non-vide de $C$ vers une variété \emph{projective} $Y$ s'étend à $C$ tout entier. \end{prop} +\bigbreak + +\thingy\textbf{Une remarque sur Galois.} Quand on considère les points +d'une variété sur un corps $k$ parfait non algébriquement clos, il est +parfois préférable de considérer les $k^{\alg}$-points séparément +(qu'on peut appeler \emph{points géométriques} pour insister), parfois +il est préférable de considérer ensemble tous les $k^{\alg}$-points +qui s'envoie les uns sur les autres par l'action du groupe de Galois +absolu $\Gal(k)$ de $k$, c'est-à-dire les « orbites galoisiennes » de +points géométriques, qu'on appelle aussi \emph{points fermés}. Par +exemple, pour droite affine $\mathbb{A}^1$ réelle, les +$\mathbb{C}$-points $i$ et $-i$ constituent collectivement un point +fermé, défini par l'équation $t^2+1$. L'intérêt des points fermés est +qu'ils correspondent aux idéaux maximaux (sur $k$) pour une variété +affine sur $k$ (exemple : l'idéal des polynômes réels s'annulant en +$i$ est le même que celui des polynômes réels s'annulant en $-i$, +c'est l'idéal engendré par $t^2+1$). On appelle \emph{degré} d'un +point fermé le nombre de points géométriques qui le constitue : c'est +aussi le degré (=la dimension comme $k$-espace vectoriel) du corps +résiduel $\mathcal{O}(X)/\mathfrak{m}_P$ si $X$ est affine et +$\mathfrak{m}_P$ l'idéal correspondant au point fermé $P$. Certains +résultats s'énoncent mieux en parlant d'un point fermé de degré $n$, +d'autres en parlant de $n$ points géométriques (constituant une orbite +galoisienne). + % @@ -3907,7 +3932,8 @@ vivant dans $k(C)$ ou dans $k^{\alg}(C)$ (à cause de l'unicité affirmée pour la fonction $\ord_P$). Par ailleurs, pour $f \in k(C)$, on a $\ord_P(f) = \ord_{\sigma(P)}(f)$ pour tout $\sigma \in \Gal(k)$ (le groupe de Galois absolu de $k$), autrement dit, $\ord_P(f)$ ne -dépend que de l'« orbite » de $P$ par $\Gal(k)$. +dépend que de l'orbite de $P$ par $\Gal(k)$ (c'est-à-dire, du point +fermé défini par $P$). \begin{prop} Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$. Alors toute fonction @@ -3945,9 +3971,9 @@ affine\footnote{Cf. note \ref{footnote-affine}.} de $C$. Soient $Q_1,\ldots,Q_s$ des points dans $U$ dont aucun n'est image d'un autre sous l'action de Galois (=dont les orbites sous $\Gal(k)$ sont deux à deux disjointes, =dont les idéaux maximaux $\mathfrak{m}_{Q_i}$ sont -deux à deux distincts), et $f_1,\ldots,f_s \in k(C)$ et -$v_1,\ldots,v_s \in \mathbb{Z}$. Alors il existe $f \in k(C)$ telle -que +deux à deux distincts, =définissant des points fermés deux à deux +distincts), et $f_1,\ldots,f_s \in k(C)$ et $v_1,\ldots,v_s \in +\mathbb{Z}$. Alors il existe $f \in k(C)$ telle que \[ \begin{array}{cl} \ord_{Q_i}(f-f_i) \geq v_i&\hbox{~pour tout $i$}\\ |