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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-06-10 23:31:47 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-06-10 23:31:47 (GMT)
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Compute the canonical class of an elliptic curve. Show that a curve of genus 0 is P^1.
-rw-r--r--notes-geoalg.tex39
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index da523ff..b255d2c 100644
--- a/notes-geoalg.tex
+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -4474,6 +4474,23 @@ de $\omega \neq 0$, puisque visiblement $\divis(f\omega) = \divis(f) +
dans $\Pic(C)$ (très souvent notée $K$). On vient par exemple de voir
que la classe canonique de $\mathbb{P}^1$ est de degré $-2$.
+\textbf{Exemple :} Soit $C$ la courbe d'équation $y^2 = h(x)$ où $h(t)
+\in k[t]$ est de degré $3$ (c'est-à-dire, $C$ la complétée projective
+de cette courbe affine, complétée d'équation $Z Y^2 = Z^3 h(X/Z)$ si
+$X,Y,Z$ sont les coordonnées homogènes avec $y = Y/Z$ et $x = X/Z$).
+Soit $h(t) = (t-\lambda_1) (t-\lambda_2) (t-\lambda_3)$ la
+factorisation de $h$ sur $k^{\alg}$. Outre les points affines, la
+courbe $C$ a un unique point à l'infini noté $O$ (en coordonnées
+homogènes, $X=Z=0$). Le diviseur de la fonction $y$ sur $C$ est
+$(P_1) + (P_2) + (P_3) - 3(O)$ où $P_i$ est le point de coordonnées
+affines $(\lambda_i,0)$ (ce sont les trois points où $y$ s'annule,
+alors que $O$ est le point où $y$ a un pôle triple). Le diviseur de
+$x-\lambda_i$ est $2(P_i) - 2(O)$, d'où il résulte que $dx$ a un
+ordre $1$ en chaque $P_i$ et $-3$ en $O$, et $0$ partout ailleurs.
+Autrement dit, le diviseur de $dx$ est le même que celui de $y$, ou,
+si on veut, la différentielle $\omega := dx/y$ a un ordre $0$ partout.
+Ceci signifie que la classe canonique $K$ sur $C$ est \emph{nulle}.
+
%
@@ -4540,7 +4557,7 @@ l(D) - l(K-D) = \deg D + 1 - g
\]
\end{thm}
-\begin{cor}
+\begin{cor}\label{degree-of-canonical-divisor}
\begin{itemize}
\item Pour $K$ un diviseur canonique sur une courbe $C$, on a :
\[
@@ -4561,6 +4578,24 @@ $1-l(K) = 0+1-g$, d'où $l(K) = g$ ; puis à $D=K$ donne $g-1 = \deg K +
$l(K-D) = 0$.
\end{proof}
+S'agissant de $\mathbb{P}^1$, on a vu que $\deg(K) = -2$ donc $g=0$.
+La réciproque est vraie :
+\begin{cor}
+Soit $C$ une courbe (lisse !) de genre $0$ : alors $C$ est isomorphe
+à $\mathbb{P}^1$.
+\end{cor}
+\begin{proof}
+Soient $P,Q$ deux points distincts de $C$ : on applique Riemann-Roch
+au diviseur $D := (P)-(Q)$. Comme $\deg D = 0 > -2 = 2g-2$, le
+corollaire précédent montre que $l(D) = 1$.
+Mais \ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} montre que $D
+\sim 0$, c'est-à-dire qu'il existe $f \in k(C)$ tel que $\divis(f) =
+(P) - (Q)$. En considérant $f$ comme un morphisme $C \to
+\mathbb{P}^1$, on voit que $\deg f = 1$
+(cf. \ref{principal-divisors-have-degree-zero}), donc $f$ est un
+isomorphisme (cf. \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}).
+\end{proof}
+
\begin{cor}
Si $C$ est une courbe, tout ouvert $U$ de $C$ autre que $C$ tout
entier est affine. (Cf. \ref{approximation-lemma} pour un contexte
@@ -4579,7 +4614,7 @@ morphisme non-constant de courbes, alors l'image réciproque par $f$ de
tout ouvert affine de $C_0$ est affine.
Soit $P$ un point du complémentaire de $U$ : le théorème de
-Riemann-Roch, et notamment le corollaire précédent, montre que si $n$
+Riemann-Roch, et notamment le corollaire \ref{degree-of-canonical-divisor}, montre que si $n$
est assez grand, alors $l(n(P)) > 1$, autrement dit, il existe une
fonction $f \in k(C)$ non constante et régulière partout sauf en $P$
(où elle ne peut pas être régulière). En considérant $f$ comme un