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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index da523ff..b255d2c 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -4474,6 +4474,23 @@ de $\omega \neq 0$, puisque visiblement $\divis(f\omega) = \divis(f) + dans $\Pic(C)$ (très souvent notée $K$). On vient par exemple de voir que la classe canonique de $\mathbb{P}^1$ est de degré $-2$. +\textbf{Exemple :} Soit $C$ la courbe d'équation $y^2 = h(x)$ où $h(t) +\in k[t]$ est de degré $3$ (c'est-à-dire, $C$ la complétée projective +de cette courbe affine, complétée d'équation $Z Y^2 = Z^3 h(X/Z)$ si +$X,Y,Z$ sont les coordonnées homogènes avec $y = Y/Z$ et $x = X/Z$). +Soit $h(t) = (t-\lambda_1) (t-\lambda_2) (t-\lambda_3)$ la +factorisation de $h$ sur $k^{\alg}$. Outre les points affines, la +courbe $C$ a un unique point à l'infini noté $O$ (en coordonnées +homogènes, $X=Z=0$). Le diviseur de la fonction $y$ sur $C$ est +$(P_1) + (P_2) + (P_3) - 3(O)$ où $P_i$ est le point de coordonnées +affines $(\lambda_i,0)$ (ce sont les trois points où $y$ s'annule, +alors que $O$ est le point où $y$ a un pôle triple). Le diviseur de +$x-\lambda_i$ est $2(P_i) - 2(O)$, d'où il résulte que $dx$ a un +ordre $1$ en chaque $P_i$ et $-3$ en $O$, et $0$ partout ailleurs. +Autrement dit, le diviseur de $dx$ est le même que celui de $y$, ou, +si on veut, la différentielle $\omega := dx/y$ a un ordre $0$ partout. +Ceci signifie que la classe canonique $K$ sur $C$ est \emph{nulle}. + % @@ -4540,7 +4557,7 @@ l(D) - l(K-D) = \deg D + 1 - g \] \end{thm} -\begin{cor} +\begin{cor}\label{degree-of-canonical-divisor} \begin{itemize} \item Pour $K$ un diviseur canonique sur une courbe $C$, on a : \[ @@ -4561,6 +4578,24 @@ $1-l(K) = 0+1-g$, d'où $l(K) = g$ ; puis à $D=K$ donne $g-1 = \deg K + $l(K-D) = 0$. \end{proof} +S'agissant de $\mathbb{P}^1$, on a vu que $\deg(K) = -2$ donc $g=0$. +La réciproque est vraie : +\begin{cor} +Soit $C$ une courbe (lisse !) de genre $0$ : alors $C$ est isomorphe +à $\mathbb{P}^1$. +\end{cor} +\begin{proof} +Soient $P,Q$ deux points distincts de $C$ : on applique Riemann-Roch +au diviseur $D := (P)-(Q)$. Comme $\deg D = 0 > -2 = 2g-2$, le +corollaire précédent montre que $l(D) = 1$. +Mais \ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} montre que $D +\sim 0$, c'est-à-dire qu'il existe $f \in k(C)$ tel que $\divis(f) = +(P) - (Q)$. En considérant $f$ comme un morphisme $C \to +\mathbb{P}^1$, on voit que $\deg f = 1$ +(cf. \ref{principal-divisors-have-degree-zero}), donc $f$ est un +isomorphisme (cf. \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}). +\end{proof} + \begin{cor} Si $C$ est une courbe, tout ouvert $U$ de $C$ autre que $C$ tout entier est affine. (Cf. \ref{approximation-lemma} pour un contexte @@ -4579,7 +4614,7 @@ morphisme non-constant de courbes, alors l'image réciproque par $f$ de tout ouvert affine de $C_0$ est affine. Soit $P$ un point du complémentaire de $U$ : le théorème de -Riemann-Roch, et notamment le corollaire précédent, montre que si $n$ +Riemann-Roch, et notamment le corollaire \ref{degree-of-canonical-divisor}, montre que si $n$ est assez grand, alors $l(n(P)) > 1$, autrement dit, il existe une fonction $f \in k(C)$ non constante et régulière partout sauf en $P$ (où elle ne peut pas être régulière). En considérant $f$ comme un |