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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2011-05-12 20:19:08 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2011-05-12 20:20:46 (GMT)
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Various corrections and clarifications.
-rw-r--r--notes-geoalg-2011.tex30
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+++ b/notes-geoalg-2011.tex
@@ -1840,9 +1840,9 @@ pareil avec $\neq 0$ si on a affaire à un ouvert).
Définir l'\emph{image (directe)} d'un $X' \subseteq X$ est plus
délicat. Quitte à restreindre $f$ à $X'$, on peut supposer $X' = X$,
-et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, si
-$k$ est algébriquement clos, quel est l'ensemble des $y \in Y(k)$ tels
-qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ?
+et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, quel
+est l'ensemble des $y \in Y$ tels qu'il existe $x \in X$ ($x,y$ des
+points sur $k^{\alg}$) pour lequel $f(x) = y$ ?
\begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley}
\begin{itemize}
@@ -1850,9 +1850,8 @@ qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ?
quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant :
il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé
dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$)
- telle que $y \in Y'$ (point sur un corps $k^{\alg}$ algébriquement
- clos) si et seulement si il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) =
- y$.
+ telle que $y \in Y'$ si et seulement si il existe $x \in X$ pour
+ lequel $f(x) = y$.
\item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel
f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$.
\item Variante : si $X$ est projective et $Y$ quasiprojective, la
@@ -1871,14 +1870,14 @@ un idéal radical engendré par $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$,
et si $x \in X(k)$ (on prendra généralement $k$ algébriquement clos
ici), on appelle \textbf{vecteur tangent à $X$ en $x$} un élément du
noyau de la matrice $\frac{\partial f_i}{\partial
- t_j}(x_1,\ldots,x_d)$ (c'est-à-dire un $d$-uplet $v_1,\ldots,v_d$
+ t_j}(x_1,\ldots,x_d)$, c'est-à-dire un $d$-uplet $v_1,\ldots,v_d$
tel que $\sum_{j=1}^d \frac{\partial f_i}{\partial
- t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$). Intuitivement, il faut comprendre
+ t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$. Intuitivement, il faut comprendre
un tel élément comme un vecteur basé en $(x_1,\ldots,x_d)$ et le
reliant à $(x_1+v_1 \varepsilon, \ldots, x_d+v_d\varepsilon)$ avec
-$\varepsilon$ infinitésimal (en fait, $\varepsilon^2=0$). L'espace
-vectoriel des vecteurs tangents à $X$ en $x$ (ou simplement
-\textbf{espace tangent à $X$ en $x$}) se note $T_x X$.
+$\varepsilon$ infinitésimal ($\varepsilon^2=0$). L'espace vectoriel
+des vecteurs tangents à $X$ en $x$ (ou simplement \textbf{espace
+ tangent à $X$ en $x$}) se note $T_x X$.
Si $X$ est une variété algébrique quasiprojective quelconque, on
rappelle que tout point $x \in X$ a un voisinage affine $V$, et on
@@ -1886,13 +1885,14 @@ définit alors $T_x X = T_x V$. (Cette définition passe sous silence
un certain nombre de choses, par exemple la manière dont on identifie
$T_x V$ et $T_x V'$ si $V,V'$ sont deux voisinages affines différents
du même point $x$, à commencer par le fait qu'ils ont la même
-dimension.)
+dimension : cela est en fait justifié par la notion de différentielle
+d'un morphisme, expliquée plus bas.)
\medbreak
\begin{prop}
-Si $X$ est une variété irréductible sur un corps $k$ (algébriquement
-clos), pour tout $x \in X(k)$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$.
+Si $X$ est une variété algébrique quasiprojective sur un corps $k$,
+pour tout $x \in X$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$.
\end{prop}
Un point $x$ tel que l'espace tangent $T_x X$ à $X$ en ce point soit
@@ -1975,7 +1975,7 @@ que prend la matrice des dérivés partielles).
\textbf{Différentielle d'un morphisme.} Si $h\colon X\to Y$ est un
morphisme entre variétés quasiprojectives sur un corps algébriquement
-clos $k$ et $x \in X(k)$, on a une application $dh_x\colon T_x X \to
+clos $k$ et $x \in X$, on a une application $dh_x\colon T_x X \to
T_{h(x)} Y$ qui est définie de la façon suivante. Quitte à remplacer
$X$ par un voisinage affine de $x$ et $Y$ par un voisinage affine de
$h(x)$, on peut supposer que $X$ et $Y$ sont affines. Dans ce cadre,