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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-03 15:05:13 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-03 15:05:13 (GMT)
commitf0ff0cff7813db523b3eab781d18e2af06d36d00 (patch)
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More on the projective Nullstellensatz, and the Hilbert-Samuel function.upload-20120503
-rw-r--r--notes-geoalg-2012.tex79
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--- a/notes-geoalg-2012.tex
+++ b/notes-geoalg-2012.tex
@@ -1451,9 +1451,12 @@ Si $k$ est un corps algébriquement clos :
décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux
de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ d'une part, et
les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k)$ d'autre part.
-\item Ces bijections mettent en corrrespondance les idéaux homogènes
+\item Ces bijections mettent en correspondance les idéaux homogènes
premiers de $k[t_0,\ldots,t_d]$ avec les fermés irréductibles
de $\mathbb{P}^d$.
+\item Si $I$ est un idéal homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$ tel que
+ $Z(I) \neq \varnothing$ (i.e., qui n'est pas irrelevant) alors
+ $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ (le radical de $I$).
\end{itemize}
\end{thm}
@@ -2041,6 +2044,75 @@ de plus :
\end{itemize}
\end{thm}
+\medbreak
+
+Voici enfin un résultat qui permet, notamment avec les outils de la
+section \ref{section-groebner-bases} (bases de Gröbner), de rendre
+algorithmique le calcul des dimensions :
+
+\begin{thm}
+\begin{itemize}
+\item\textbf{Variante projective :} Soit $I$ un idéal homogène de
+ $k[t_0,\ldots,t_d]$. La fonction « de Hilbert-Samuel » qui à $\ell
+ \in \mathbb{N}$ associe la dimension (en tant que $k$-espace
+ vectoriel) $\dim_k k[t_0,\ldots,t_d]^{[\ell]}/I^{[\ell]} =
+ \frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!} - \dim_k I^{[\ell]}$ de l'ensemble des
+ polynômes homogènes de degré $\ell$ modulo ceux de $I$, coïncide
+ avec un polynôme (« de Hilbert-Samuel ») pour $\ell$ suffisamment
+ grand : le degré de ce polynôme est exactement la dimension de la
+ variété $Z(I) \subseteq \mathbb{P}^d$ définie par l'idéal $I$ (et en
+ particulier, les polynômes de Hilbert-Samuel de $I$ et $\surd I$ ont
+ même degré).
+
+De plus, en anticipant sur les définitions de la
+section \ref{section-groebner-bases} : pour tout tout ordre
+admissible $\preceq$, la fonction de Hilbert-Samuel de $I$ coïncide
+avec celle de $\init_{\preceq}(I)$ et est égale au nombre de monômes
+de degré $\ell$ qui n'appartiennent pas à $\init_{\preceq}(I)$. (Ceci
+permet de la calculer à partir d'une base de Gröbner de $I$.)
+
+\item\textbf{Variante affine :} Soit $I$ un idéal de
+ $k[t_1,\ldots,t_d]$. La fonction « de Hilbert-Samuel affine » qui à
+ $\ell \in \mathbb{N}$ associe la dimension (en tant que $k$-espace
+ vectoriel) $\dim_k k[t_1,\ldots,t_d]^{[\leq\ell]}/I^{[\leq\ell]} =
+ \frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!} - \dim_k I^{[\ell]}$ de l'ensemble des
+ polynômes de degré total $\leq\ell$ modulo ceux de $I$, coïncide
+ avec un polynôme (« de Hilbert-Samuel affine ») pour $\ell$
+ suffisamment grand : le degré de ce polynôme est exactement la
+ dimension de la variété $Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ définie par
+ l'idéal $I$ (et en particulier, les polynômes de Hilbert-Samuel
+ affine de $I$ et $\surd I$ ont même degré).
+
+De plus, en anticipant sur les définitions de la
+section \ref{section-groebner-bases} : pour tout tout ordre admissible
+\emph{gradué} $\preceq$, la fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$
+coïncide avec celle de $\init_{\preceq}(I)$ et est égale au nombre de
+monômes de degré $\leq\ell$ qui n'appartiennent pas
+à $\init_{\preceq}(I)$. (Ceci permet de la calculer à partir d'une
+base de Gröbner de $I$.)
+\end{itemize}
+\end{thm}
+
+\textbf{Exemple :} Pour $\mathbb{P}^d$ (i.e., pour $I$ l'idéal nul),
+le $k$-espace vectoriel $k[t_0,\ldots,t_d]^{[\ell]}$ des polynômes
+homogènes de degré $\ell$ en $d+1$ indéterminées a pour base les
+monômes de degré (total) $\ell$, qui sont au nombre de
+$\frac{(d+\ell)!}{d!\,\ell!}$. C'est là la fonction de Hilbert-Samuel
+de $\mathbb{P}^d$ (c'est aussi la fonction de Hilbert-Samuel affine de
+$\mathbb{A}^d$), et son terme dominant vaut $\frac{1}{d!}\,\ell^d$, ce
+qui est cohérent avec le fait que $\mathbb{P}^d$ (ou $\mathbb{A}^d$)
+est de dimension $d$.
+
+Si on considère maintenant le cercle $C^+ = Z(x^2+y^2-z^2)$
+dans $\mathbb{P}^2$, les polynômes de degré $\ell$ en $x,y,z$ modulo
+$z^2$ peuvent se réduire en un polynôme de degré $\ell$ en $x,y$, plus
+$z$ fois un polynôme de degré $\ell-1$ en $x,y$ : leur dimension est
+donc $2\ell+1$ (une base est donnée par $x^\ell,\penalty100
+x^{\ell-1}y,\ldots,\penalty200 y^\ell,\penalty-100
+x^{\ell-1}z,\penalty100 x^{\ell-2}yz,\ldots,\penalty200 y^{\ell-1}z$),
+donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2\ell+1$. On voit ici que le
+cercle est de dimension $1$.
+
%
\subsection{L'image d'un morphisme}\label{image-of-a-morphism}
@@ -2234,7 +2306,7 @@ fermé à l'intérieur de $X$) pour chaque $y\in Y$.
%
%
-\section{Introduction aux bases de Gröbner}
+\section{Introduction aux bases de Gröbner}\label{section-groebner-bases}
(À part pour la proposition \ref{projection-by-elimination}, toute
cette partie ne dépend que de la partie \ref{commutative-algebra} et
@@ -2308,6 +2380,9 @@ $\preceq$ sur les monômes de ce dernier telle que :
sont deux termes, pour signifier que leurs monômes vérifient $s
\preceq s'$.)
+Si de plus l'ordre vérifie la propriété que $\deg s < \deg s'$
+implique $s \preceq s'$, on dit qu'il est \textbf{gradué}.
+
\begin{prop}\label{properties-of-admissible-orders}
Si $\preceq$ est un ordre admissible sur les monômes de
$k[t_1,\ldots,t_d]$, alors