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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-06-13 12:52:12 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-06-13 12:52:12 (GMT)
commit7fa85c7c86c2a4a5c618141673ec824bbad8baae (patch)
tree37ac77e7f6385ec6bb50bf550f1be15163d231e9 /notes-geoalg-2010.tex
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index b81d1a8..cbd9e69 100644
--- a/notes-geoalg-2010.tex
+++ b/notes-geoalg-2010.tex
@@ -4219,7 +4219,7 @@ $\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$.
Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes
sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de
ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$
-(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un
+(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_{h(P)} C$ est un
isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement
que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à
l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de
@@ -4311,13 +4311,13 @@ diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$.
Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non
constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$,
-on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle
+on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(Q)} e_Q (Q)$ qu'on appelle
\textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$
par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini
ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$
sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$.
Il est évident que le tiré en arrière d'un diviseur principal est
-encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(h\circ f)$). On
+encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(f\circ h)$). On
peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en
avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme
$h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$ : il est aussi vrai, mais un chouïa
@@ -4555,7 +4555,7 @@ Dire que $l(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' :=
\divis(f) + D \geq 0$. Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le
degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le
degré de $D$ est $\geq 0$. De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$)
-est nul, cela signifie que $\divis(f) + D' = 0$, c'est-à-dire $D \sim
+est nul, cela signifie que $\divis(f) + D = 0$, c'est-à-dire $D \sim
0$, qui entraîne $l(D) = 1$.
\end{proof}