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diff --git a/notes-geoalg-2012.tex b/notes-geoalg-2012.tex index 45cf541..eb8930e 100644 --- a/notes-geoalg-2012.tex +++ b/notes-geoalg-2012.tex @@ -2071,7 +2071,7 @@ irréductibles $Y$ de dimension $d-1$ dans $X$. Par conséquent, on peut définir la dimension de $X$ comme $1 + \max\dim Y$ où le $\max$ est pris sur tous les fermés irréductibles -de $X$ (et cette définition récursive a bien un sens !). +de $X$ différents de $X$ (et cette définition récursive a bien un sens !). \end{cor} \begin{thm} @@ -2200,10 +2200,10 @@ Si $X = Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ est une variété affine où $I$ est un idéal radical engendré par $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$, et si $x \in X(k)$ (on prendra généralement $k$ algébriquement clos ici), on appelle \textbf{vecteur tangent à $X$ en $x$} un élément du -noyau de la matrice $\frac{\partial f_i}{\partial - t_j}(x_1,\ldots,x_d)$, c'est-à-dire un $d$-uplet $v_1,\ldots,v_d$ -tel que $\sum_{j=1}^d \frac{\partial f_i}{\partial - t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$. Intuitivement, il faut comprendre +noyau de la matrice $\left.\frac{\partial f_i}{\partial + t_j}\right|_{x_1,\ldots,x_d}$, c'est-à-dire un $d$-uplet $v_1,\ldots,v_d$ +tel que $\sum_{j=1}^d \left.\frac{\partial f_i}{\partial + t_j}\right|_{x_1,\ldots,x_d}\, v_j = 0$. Intuitivement, il faut comprendre un tel élément comme un vecteur basé en $(x_1,\ldots,x_d)$ et le reliant à $(x_1+v_1 \varepsilon, \ldots, x_d+v_d\varepsilon)$ avec $\varepsilon$ infinitésimal ($\varepsilon^2=0$). L'espace vectoriel @@ -2315,21 +2315,23 @@ si $X$ est défini par des équations\footnote{Ce genre de formulation fortement, que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est \emph{radical}, c'est-à-dire que c'est $\mathfrak{I}(X)$.} $f_1=\cdots=f_r = 0$ dans $\mathbb{A}^d$ (de sorte que $T_x X$ se voit comme l'ensemble des -$(v_i)$ tels que $\sum_{j=1}^d \frac{\partial f_i}{\partial - t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$) et $Y$ par $g_1=\cdots=g_s = 0$ +$(v_i)$ tels que $\sum_{j=1}^d \left.\frac{\partial f_i}{\partial + t_j}\right|_{x_1,\ldots,x_d}\, v_j = 0$) et $Y$ par $g_1=\cdots=g_s = 0$ dans $\mathbb{A}^e$ (de sorte que $T_y Y$ se voit comme l'ensemble des -$(w_i)$ tels que $\sum_{j=1}^e \frac{\partial g_i}{\partial - u_j}(y_1,\ldots,y_d)\, w_j = 0$), et le morphisme $h$ par des -polynômes $(h_1,\ldots,h_e)$ (vérifiant $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$) -envoyant $(x_1,\ldots,x_d)$ sur +$(w_i)$ tels que $\sum_{j=1}^e \left.\frac{\partial g_i}{\partial + u_j}\right|_{y_1,\ldots,y_d}\, w_j = 0$), et le morphisme $h$ par des +polynômes $(h_1,\ldots,h_e)$ (vérifiant $g_i(h_1,\ldots,h_e) \equiv 0$ +modulo $f_1,\ldots,f_r$) envoyant $(x_1,\ldots,x_d)$ sur $(h_1(x_1,\ldots,x_d),\ldots,\penalty-100 h_e(x_1,\ldots,x_d))$, alors $dh_x$ envoie $(v_1,\ldots,v_d)$ sur $(w_1,\ldots,w_e)$ où $w_i = -\sum_{j=1}^d \frac{\partial h_i}{\partial t_j}\, v_j$ (et la condition -souhaitée, $\sum_{i=1}^e w_j \frac{\partial g_i}{\partial - u_j}(y_1,\ldots,y_d) = 0$ est une conséquence de la formule des -dérivées composées appliquée à $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$ : on a +\sum_{j=1}^d \left.\frac{\partial h_i}{\partial t_j} +\right|_{x_1,\ldots,x_d}\, v_j$ (et la condition +souhaitée, $\sum_{i=1}^e w_j \left.\frac{\partial g_i}{\partial + u_j}\right|_{y_1,\ldots,y_d} = 0$ est une conséquence de la formule des +dérivées composées appliquée à $g_i(h_1,\ldots,h_e) \equiv 0$ : on a $\sum_{j=1}^e \frac{\partial g_i}{\partial u_j} \frac{\partial - h_j}{\partial t_l} = 0$). Cette application $dh_x$ est linéaire + h_j}{\partial t_l}$ combinaison des $\frac{\partial +f_i}{\partial t_j}$). Cette application $dh_x$ est linéaire (pour chaque $x$ donné) : on l'appelle \textbf{différentielle} du morphisme $h$ au point $x$. |