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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-14 19:08:08 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-14 19:08:08 (GMT)
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Briefly describe the nimber and (surreal) number associated to \alpha.
-rw-r--r--notes-mitro206.tex52
1 files changed, 49 insertions, 3 deletions
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index a4d50aa..9c296df 100644
--- a/notes-mitro206.tex
+++ b/notes-mitro206.tex
@@ -3440,7 +3440,8 @@ l'hypothèse d'induction qu'elle est déjà définie pour les
ordinaux $<\alpha$ au moment de la définir pour $\alpha$.
\end{center}
-\thingy Ce qui importe surtout pour la théorie des jeux est le fait suivant :
+\thingy\label{decreasing-sequences-of-ordinals-terminate}
+Ce qui importe surtout pour la théorie des jeux est le fait suivant :
\begin{center}
\emph{toute suite strictement décroissante d'ordinaux est finie}
\end{center}
@@ -3471,7 +3472,8 @@ graphe pour la relation $>$ (i.e., on fait pointer une arête orientée
de chaque ordinal $\beta$ vers chaque ordinal strictement plus petit),
est bien-fondé, ou de façon équivalente, bien-ordonné.
-\thingy Voici une façon imagée d'y penser qui peut servir à faire le
+\thingy\label{ordinal-counting-genies-story}
+Voici une façon imagée d'y penser qui peut servir à faire le
lien avec la théorie des jeux : imaginons un génie qui exauce des vœux
en nombre limité (les vœux eux-mêmes sont aussi limités et ne
permettent certainement pas de faire le vœu d'avoir plus de vœux —
@@ -3638,6 +3640,49 @@ successeurs. Dans la forme normale de Cantor, un ordinal est
successeur si et seulement si le dernier terme (le plus à droite) est
un entier naturel non nul.
+\thingy Les ordinaux vont servir à définir différents jeux qui, pris
+isolément, sont extrêmement peu intéressants, mais qui ont la vertu de
+permettre de « mesurer » d'autres jeux : ces jeux ont en commun que,
+partant d'un ordinal $\alpha$, l'un ou l'autre joueur, ou les deux,
+ont la possibilité de le faire décroître (strictement), c'est-à-dire
+de le remplacer par un ordinal $\beta < \alpha$ strictement plus petit
+— comme expliqué en \ref{decreasing-sequences-of-ordinals-terminate},
+ce processus termine forcément. Dans le cadre esquissé
+en \ref{introduction-graph-game}, on a trois jeux associés à un
+ordinal $\alpha$ :
+\begin{itemize}
+\item Un jeu \emph{impartial}, c'est-à-dire que les deux joueurs ont
+ les mêmes options à partir de n'importe quelle position $\beta \leq
+ \alpha$, à savoir, les ordinaux $\beta' < \beta$ — autrement dit,
+ les deux joueurs peuvent décroître l'ordinal. Dans le cadre
+ de \ref{introduction-graph-game}, le graphe a pour sommets les
+ ordinaux $\beta \leq \alpha$ avec une arête (« verte », i.e.,
+ utilisable par tout le monde) reliant $\beta$ à $\beta'$ lorsque
+ $\beta'<\beta$. Il s'agit du jeu de nim
+ (cf. \ref{introduction-nim-game}) avec une seule ligne d'allumettes
+ ayant initialement $\alpha$ allumettes. Ce jeu s'appelle parfois le
+ « nimbre » associé à l'ordinal $\alpha$.
+\item Deux jeux \emph{partiaux} (=partisans), où un joueur n'a aucun
+ coup possible (il a donc immédiatement perdu si c'est à son tour de
+ jouer, ce qui rend le jeu, pris isolément, encore plus inintéressant
+ que le précédent) : un jeu « bleu » ou « positif », dans lequel seul
+ le joueur « bleu » (également appelé « gauche », « Blaise »...) peut
+ jouer, exactement comme dans le jeu impartial ci-dessus, tandis que
+ l'autre joueur ne peut rien faire, et un jeu « rouge » ou
+ « négatif », dans lequel seul le joueur « rouge » (également appelé
+ « droite », « Roxane »...) peut jouer tandis que l'autre ne peut
+ rien faire. Dans le cadre de \ref{introduction-graph-game}, le
+ graphe a pour sommets les ordinaux $\beta \leq \alpha$ avec une
+ arête reliant $\beta$ à $\beta'$ lorsque $\beta'<\beta$, ces arêtes
+ étant toutes bleues ou toutes rouges selon le jeu considéré. Il
+ s'agit d'un jeu qui correspond à un certain avantage du joueur bleu,
+ respectivement rouge, à rapprocher de l'histoire
+ \ref{ordinal-counting-genies-story} ci-dessus. Le jeu bleu est
+ parfois appelé le « nombre surréel » associé à l'ordinal $\alpha$,
+ tandis que le rouge est l'opposé du bleu.
+\end{itemize}
+
+
\subsection{Ensembles bien-ordonnés et induction transfinie}
@@ -3983,7 +4028,8 @@ petit ordinal strictement supérieur à $\alpha$ (qui existe d'après la
proposition \ref{sup-and-strict-sup-of-sets-of-ordinals} : si on veut,
c'est $\sup^+\{\alpha\}$) : il est facile de voir que cet ordinal est
fabriqué en ajoutant un unique élément à la fin d'un ensemble
-bien-ordonné d'ordinal $\alpha$ ; on le note $\alpha+1$.
+bien-ordonné d'ordinal $\alpha$ ; on le note $\alpha+1$, et on a
+$\beta \leq \alpha$ si et seulement si $\beta < \alpha+1$.
Réciproquement, tout ordinal ayant un plus grand élément (i.e.,
l'ordinal d'un ensemble bien-ordonné ayant un plus grand élément) est
un successeur : en effet, si $W$ a un plus grand élément $x$, alors