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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-05 13:11:10 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-05 13:11:10 (GMT)
commitdd831ec57be4d27092333a1686be7c44a9642292 (patch)
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More exercises on ordinals.
-rw-r--r--exercices-ordinaux.tex143
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diff --git a/exercices-ordinaux.tex b/exercices-ordinaux.tex
index a7f909a..f3cbc74 100644
--- a/exercices-ordinaux.tex
+++ b/exercices-ordinaux.tex
@@ -268,6 +268,73 @@ avec $n$ termes $\omega+1$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ?
\exercice
+(a) Que vaut $(\omega 2) \times (\omega 2)$ ?
+
+(b) Plus généralement, que vaut $(\omega 2) \cdots (\omega 2)$ avec
+$n$ facteurs $\omega 2$ (où $n$ est un entier naturel $\geq 1$) ?
+
+(c) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^n$.
+
+(d) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^\omega$. Comparer avec
+$\omega^\omega \cdot 2^\omega$.
+
+(e) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^{\omega+n}$ pour $n\geq 1$
+entier naturel.
+
+(f) En déduire ce que vaut $(\omega 2)^{\omega 2}$.
+
+\begin{corrige}
+(a) On a $(\omega 2) \cdot (\omega 2) = \omega \cdot 2 \cdot \omega
+ \cdot 2 = \omega \cdot (2 \cdot \omega) \cdot 2 = \omega \cdot
+ \omega \cdot 2 = \omega^2 \cdot 2$.
+
+(b) En procédant de même, on voit que dans le produit de $n$ facteurs
+ $\omega 2$, chaque $2$ est absorbé par le $\omega$ qui \emph{suit},
+ sauf le dernier $2$ qui demeure : le produit vaut donc $\omega^n
+ \cdot 2$.
+
+(c) Quel que soit l'ordinal $\alpha$, le produit $\alpha \cdots
+ \alpha$ avec $n$ facteurs $\alpha$ vaut $\alpha^n$ (ceci se voit
+ soit par une récurrence immédiate sur $n$ avec la définition par
+ induction de l'exponentiation, soit en écrivant $\alpha^n =
+ \alpha^{1+\cdots+1} = \alpha \cdots \alpha$). On a donc $(\omega
+ 2)^n = \omega^n \cdot 2$.
+
+(d) L'ordinal $(\omega 2)^\omega$ est la limite des $\omega^n \cdot 2$
+ pour $n\to\omega$. Cette limite vaut $\omega^\omega$ : en effet,
+ $\omega^\omega \geq \omega^n \cdot 2$ pour chaque $n<\omega$, mais
+ inversement, si $\gamma < \omega^\omega$, on a $\gamma < \omega^n$
+ pour un certain $n$ (par exemple en utilisant le fait que
+ $\omega^\omega$ est lui-même la limite des $\omega^n$, c'est-à-dire
+ le plus petit ordinal supérieur ou égal à eux), et en particulier
+ $\gamma < \omega^n \cdot 2$ ; ou, si on préfère, $\omega^n \leq
+ \omega^n \cdot 2 \leq \omega^{n+1}$ où $\omega^n$ et $\omega^{n+1}$
+ ont la même limite $\omega^\omega$, d'où il résulte que $\omega^n
+ \cdot 2$ aussi.
+
+ Bref, $(\omega 2)^\omega = \omega^\omega$. En revanche,
+ $\omega^\omega \cdot 2^\omega = \omega^\omega \cdot \omega =
+ \omega^{\omega+1}$ est strictement plus grand.
+
+(e) On a $(\omega 2)^{\omega + n} = (\omega 2)^\omega \cdot (\omega
+ 2)^n = \omega^\omega \cdot \omega^n \cdot 2$ d'après les questions
+ précédentes, donc ceci vaut $\omega^{\omega+n} \cdot 2$.
+
+(f) L'ordinal $(\omega 2)^{\omega 2}$ est la limite des
+ $\omega^{\omega+n} \cdot 2$ pour $n\to\omega$, et le même
+ raisonnement qu'en (d) montre que cette limite est
+ $\omega^{\omega+\omega} = \omega^{\omega 2}$. Bref, $(\omega
+ 2)^{\omega 2} = \omega^{\omega 2}$.
+\end{corrige}
+
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
On dit qu'un ordinal $\alpha$ est \textbf{infini} lorsque
$\alpha\geq\omega$. Montrer qu'un ordinal est infini si et seulement
si $1+\alpha = \alpha$.
@@ -285,6 +352,82 @@ a $1 + \alpha > \alpha$.
\end{corrige}
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+On rappelle que si $\alpha' \geq \alpha$ sont deux ordinaux, il existe
+un unique $\beta$ tel que $\alpha' = \alpha + \beta$. (a) En déduire
+que si $\gamma < \gamma'$ alors $\omega^\gamma + \omega^{\gamma'} =
+\omega^{\gamma'}$ (on pourra utiliser la conclusion de l'exercice
+précédent). (b) Expliquer pourquoi $\omega^{\gamma'} +
+\omega^\gamma$, lui, est strictement plus grand que $\omega^{\gamma'}$
+et $\omega^\gamma$.
+
+\begin{corrige}
+(a) Si $\gamma < \gamma'$, il existe $\beta$ tel que $\gamma' = \gamma
+ + \beta$, si bien qu'on a $\omega^\gamma + \omega^{\gamma'} =
+ \omega^\gamma + \omega^{\gamma + \beta} = \omega^\gamma +
+ \omega^\gamma \cdot \omega^\beta = \omega^\gamma (1 +
+ \omega^\beta)$. La conclusion voulue découle donc du fait que $1 +
+ \omega^\beta = \omega^\beta$ : or ceci résulte de l'exercice
+ précédent (on a $\beta \neq 0$ puisque $\gamma' \neq \gamma$, donc
+ $\beta \geq 1$, donc $\omega^\beta \geq \omega$).
+
+(b) On a $\omega^\gamma > 0$ donc $\omega^{\gamma'} + \omega^\gamma >
+ \omega^{\gamma'}$ (par stricte croissance de la somme en la variable
+ de droite), et comme $\omega^{\gamma'} > \omega^\gamma$, la somme
+ est également $> \omega^\gamma$. (On pouvait aussi invoquer la
+ comparaison des formes normales de Cantor.)
+\end{corrige}
+
+
+
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+(A) (1) Que vaut $2^{\omega+1}$ ?\spaceout (2) Que vaut
+$2^{\omega^2}$ ?\spaceout (3) Expliquer pourquoi $\omega^\omega =
+\omega\cdot \omega^\omega$. En déduire ce que vaut
+$2^{\omega^\omega}$. (À chaque fois, on écrira les ordinaux demandés
+en forme normale de Cantor.)
+
+(B) On suppose que $\varepsilon = \omega^\varepsilon$. (1) Que vaut
+$\varepsilon^\varepsilon$ ?\spaceout (2) Que vaut
+$\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon}$ (on pourra utiliser un des
+deux exercices précédents) ?
+
+\begin{corrige}
+(A) (1) On a $2^{\omega+1} = 2^\omega\cdot 2^1 = \omega\cdot
+ 2$.\spaceout (2) On a $2^{\omega^2} = 2^{\omega\cdot\omega} =
+ (2^\omega)^\omega = \omega^\omega$.\spaceout (3) On a $\omega\cdot
+ \omega^\omega = \omega^1 \cdot \omega^\omega = \omega^{1+\omega} =
+ \omega^\omega$. On en déduit que $2^{\omega^\omega} =
+ 2^{\omega\cdot \omega^\omega} = (2^\omega)^{\omega^\omega} =
+ \omega^{\omega^\omega}$.
+
+(B) (1) On a $\varepsilon^\varepsilon =
+ (\omega^\varepsilon)^\varepsilon = \omega^{\varepsilon^2}$ ou, si on
+ préfère, $\omega^{\omega^{\varepsilon\cdot 2}}$.\spaceout (2) On a
+ $\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon} =
+ (\omega^\varepsilon)^{\varepsilon^\varepsilon} = \omega^{\varepsilon
+ \cdot \varepsilon^\varepsilon} = \omega^{\varepsilon^{1 +
+ \varepsilon}}$. Or $1 + \varepsilon = \varepsilon$ d'après un
+ des exercices précédents (parce que $\varepsilon$ est infini ou
+ parce que la somme est $\omega^0 + \omega^\varepsilon$), donc
+ $\varepsilon^{\varepsilon^\varepsilon} =
+ \omega^{\varepsilon^\varepsilon}$. D'après la sous-question
+ précédente, c'est aussi $\omega^{\omega^{\varepsilon^2}}$ ou encore
+ $\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon\cdot 2}}}$.
+\end{corrige}
+
+
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