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--- a/controle-2020qcm.tex
+++ b/controle-2020qcm.tex
@@ -165,6 +165,50 @@ aucun de ceux-ci
 
 \begin{question}
 
+Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel
+$\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) reliant les
+points $(1{:}2{:}3)$ et $(3{:}2{:}1)$ ?
+
+\rightanswer
+$x - 2y + z = 0$
+
+\answer
+$y - 2 = 0$
+
+\answer
+$x - 2y + z = 0$ et $y - 2 = 0$
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel
+$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) sur le
+corps à $5$ éléments reliant les points $(1{:}2{:}2)$ et
+$(2{:}2{:}1)$ ?
+
+\rightanswer
+$x + y + z = 0$
+
+\answer
+$y - 2 = 0$
+
+\answer
+$x + y + z = 0$ et $y - 2 = 0$
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
+%
+%
+%
+
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
 Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_5$) du plan
 projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ sur le corps à $5$ éléments ?
 
@@ -287,6 +331,68 @@ $7$
 %
 %
 
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
+Soit $f \in \mathit{PGL}_2(\mathbb{R})$ la transformation projective
+(= homographie, = projectivité) de la droite projective réelle
+$\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ (vue comme $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$),
+qui envoie $\infty, 0, 1$ sur $1, 2, 3$ respectivement.  Quel est le
+point s'envoyant sur $4$ ?
+
+\rightanswer
+$4/3$
+
+\answer
+$4$
+
+\answer
+$0$
+
+\answer
+$1/2$
+
+\answer
+$\infty$
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Soit $f \in \mathit{PGL}_2(\mathbb{F}_5)$ la transformation projective
+(= homographie, = projectivité) de la droite projective réelle
+$\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_5)$ (vue comme $\mathbb{F}_5 \cup
+\{\infty\}$), qui envoie $\infty, 0, 1$ sur $1, 2, 3$ respectivement.
+Quel est le point s'envoyant sur $4$ ?
+
+\rightanswer
+$3$
+
+\answer
+$4$
+
+\answer
+$0$
+
+\answer
+$2$
+
+\answer
+$1$
+
+\answer
+$\infty$
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
+%
+%
+%
+
 \begin{question}
 
 Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”)
@@ -417,6 +523,62 @@ $xy$ et $z^2$
 \end{question}
 
 
+%
+%
+%
+
+\begin{qvar}
+
+\begin{question}
+
+Soit $C := \{(x,y) : x^2 y - x y^2 + x^2 + y^2 - 1 = 0\} \subseteq
+\mathbb{A}^2$, fermé de Zariski du plan affine $\mathbb{A}^2$ (disons,
+sur $\mathbb{R}$) de coordonnées $(x,y)$.  Quelle est l'équation de
+l'adhérence de $C$ dans le plan projectif $\mathbb{P}^2$ (i.e., de la
+projectivisée de $C$), en appelant $(T{:}X{:}Y{:})$ les coordonnées
+homogènes sur $\mathbb{P}^2$ ?
+
+\rightanswer
+$X^2 Y - X Y^2 + X^2 T + Y^2 T - T^3 = 0$
+
+\answer
+$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 - 1 = 0$
+
+\answer
+$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 = 0$
+
+\answer
+$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 - T^2 = 0$
+
+\answer
+$X^2 Y - X Y^2 = 0$
+
+\end{question}
+
+\begin{question}
+
+Soit $C := \{(x,y) : x^2 y - x y^2 + x^2 + y^2 - 1 = 0\} \subseteq
+\mathbb{A}^2$, fermé de Zariski du plan affine $\mathbb{A}^2$ (disons,
+sur $\mathbb{R}$) de coordonnées $(x,y)$.  Quels sont les points à
+l'infini de $C$ ; ou, plus exactement, quels sont les points sur la
+droite “à l'infini” $T=0$ de l'adhérence de $C$ dans le plan projectif
+$\mathbb{P}^2$ (i.e., de la projectivisée de $C$), en appelant
+$(T{:}X{:}Y{:})$ les coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^2$ ?
+
+\rightanswer
+$(0{:}1{:}0)$, $(0{:}0{:}1)$ et $(0{:}1{:}1)$
+
+\answer
+$(0{:}0{:}0)$
+
+\answer
+$(0{:}1{:}0)$, $(0{:}-1{:}0)$, $(0{:}0{:}1)$ et $(0{:}0{:}-1)$
+
+\end{question}
+
+\end{qvar}
+
+
 \end{qcm}
 %
 %