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diff --git a/controle-2020qcm.tex b/controle-2020qcm.tex index 44e1755..b5856d8 100644 --- a/controle-2020qcm.tex +++ b/controle-2020qcm.tex @@ -165,6 +165,50 @@ aucun de ceux-ci \begin{question} +Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel +$\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) reliant les +points $(1{:}2{:}3)$ et $(3{:}2{:}1)$ ? + +\rightanswer +$x - 2y + z = 0$ + +\answer +$y - 2 = 0$ + +\answer +$x - 2y + z = 0$ et $y - 2 = 0$ + +\end{question} + +\begin{question} + +Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel +$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) sur le +corps à $5$ éléments reliant les points $(1{:}2{:}2)$ et +$(2{:}2{:}1)$ ? + +\rightanswer +$x + y + z = 0$ + +\answer +$y - 2 = 0$ + +\answer +$x + y + z = 0$ et $y - 2 = 0$ + +\end{question} + +\end{qvar} + + +% +% +% + +\begin{qvar} + +\begin{question} + Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_5$) du plan projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ sur le corps à $5$ éléments ? @@ -287,6 +331,68 @@ $7$ % % +\begin{qvar} + +\begin{question} + +Soit $f \in \mathit{PGL}_2(\mathbb{R})$ la transformation projective +(= homographie, = projectivité) de la droite projective réelle +$\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ (vue comme $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$), +qui envoie $\infty, 0, 1$ sur $1, 2, 3$ respectivement. Quel est le +point s'envoyant sur $4$ ? + +\rightanswer +$4/3$ + +\answer +$4$ + +\answer +$0$ + +\answer +$1/2$ + +\answer +$\infty$ + +\end{question} + +\begin{question} + +Soit $f \in \mathit{PGL}_2(\mathbb{F}_5)$ la transformation projective +(= homographie, = projectivité) de la droite projective réelle +$\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_5)$ (vue comme $\mathbb{F}_5 \cup +\{\infty\}$), qui envoie $\infty, 0, 1$ sur $1, 2, 3$ respectivement. +Quel est le point s'envoyant sur $4$ ? + +\rightanswer +$3$ + +\answer +$4$ + +\answer +$0$ + +\answer +$2$ + +\answer +$1$ + +\answer +$\infty$ + +\end{question} + +\end{qvar} + + +% +% +% + \begin{question} Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”) @@ -417,6 +523,62 @@ $xy$ et $z^2$ \end{question} +% +% +% + +\begin{qvar} + +\begin{question} + +Soit $C := \{(x,y) : x^2 y - x y^2 + x^2 + y^2 - 1 = 0\} \subseteq +\mathbb{A}^2$, fermé de Zariski du plan affine $\mathbb{A}^2$ (disons, +sur $\mathbb{R}$) de coordonnées $(x,y)$. Quelle est l'équation de +l'adhérence de $C$ dans le plan projectif $\mathbb{P}^2$ (i.e., de la +projectivisée de $C$), en appelant $(T{:}X{:}Y{:})$ les coordonnées +homogènes sur $\mathbb{P}^2$ ? + +\rightanswer +$X^2 Y - X Y^2 + X^2 T + Y^2 T - T^3 = 0$ + +\answer +$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 - 1 = 0$ + +\answer +$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 = 0$ + +\answer +$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 - T^2 = 0$ + +\answer +$X^2 Y - X Y^2 = 0$ + +\end{question} + +\begin{question} + +Soit $C := \{(x,y) : x^2 y - x y^2 + x^2 + y^2 - 1 = 0\} \subseteq +\mathbb{A}^2$, fermé de Zariski du plan affine $\mathbb{A}^2$ (disons, +sur $\mathbb{R}$) de coordonnées $(x,y)$. Quels sont les points à +l'infini de $C$ ; ou, plus exactement, quels sont les points sur la +droite “à l'infini” $T=0$ de l'adhérence de $C$ dans le plan projectif +$\mathbb{P}^2$ (i.e., de la projectivisée de $C$), en appelant +$(T{:}X{:}Y{:})$ les coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^2$ ? + +\rightanswer +$(0{:}1{:}0)$, $(0{:}0{:}1)$ et $(0{:}1{:}1)$ + +\answer +$(0{:}0{:}0)$ + +\answer +$(0{:}1{:}0)$, $(0{:}-1{:}0)$, $(0{:}0{:}1)$ et $(0{:}0{:}-1)$ + +\end{question} + +\end{qvar} + + \end{qcm} % % |