Decomposition field for infinite families of polynomials.

1 files changed, 60 insertions, 18 deletions

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index 18ebf26..aa4d2e3 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -756,6 +756,12 @@ Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme quelconque.  On appelle
 $f = c\prod_{i=1}^n (t-x_i)$ (avec $c$ le coefficient dominant de $f$,
 et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines avec multiplicité) et que $L =
 K(x_1,\ldots,x_n)$.
+
+On définit de même la notion de corps de décomposition sur $K$ d'une
+famille $(f_i)$ quelconque de polynômes : il s'agit d'une extension
+de $K$ dans laquelle tous les $f_i$ sont complètement décomposés, et
+qui est engendrée (en tant que corps, cf. \ref{subfield-generated})
+par l'ensemble de toutes les racines de tous les $f_i$.
 \end{defn}
 
 \begin{prop}\label{existence-uniqueness-decomposition-field}
@@ -807,6 +813,52 @@ les racines $x'_1,\ldots,x'_n$ de $f$ dans $L'$, or on a $L =
 K(x'_1,\ldots,x'_n)$.
 \end{proof}
 
+On peut obtenir l'existence et l'unicité du corps de décomposition
+d'une famille finie de polynômes en appliquant le résultat ci-dessus à
+leur produit (puisque visiblement, décomposer complètement
+$f_1,\ldots,f_n$ revient à décomposer complètement leur produit
+$f_1\cdots f_n$).  Le même résultat vaut pour un nombre possiblement
+infini de polynômes :
+\begin{prop}\label{existence-uniqueness-decomposition-field-infinite-family}
+Soit $K$ un corps et $(f_i)$ une famille quelconque d'éléments
+de $K[t]$.  Alors : (1) Il existe un corps de décomposition des $f_i$
+sur $K$.  (2) Si $K \subseteq L$ est un corps de décomposition des
+$f_i$ sur $K$, et si $K \subseteq L'$ est une extension dans laquelle
+tous les $f_i$ sont complètement décomposés, il existe un morphisme de
+corps $L \to L'$ qui soit l'identité sur $K$ ; de plus, (2b) dans les
+conditions, si un des $f_i$ est irréductible, et si $x$ et $x'$ sont
+une racine de $f_i$ dans $L$ et $L'$ respectivement, on peut de plus
+choisir l'isomorphisme pour envoyer $x$ sur $x'$.  (3) Si en outre $K
+\subseteq L'$ est aussi un corps de décomposition des $f_i$ sur $K$,
+tout morphisme comme en (2) est un isomorphisme ; autrement dit : si
+$K \subseteq L$ et $K \subseteq L'$ sont deux corps de décomposition
+des $f_i$ sur $K$, il existe un morphisme $L \to L'$ qui soit
+l'identité sur $K$, et un tel morphisme est un isomorphisme ;
+notamment, deux corps de décomposition des $f_i$ sur $K$ sont
+isomorphes.
+\end{prop}
+\begin{proof}[Esquisse de démonstration]
+Le (1) se montre comme
+\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(1) avec un argument de
+passage à l'infini : pour chaque polynôme $f_i \in K[t]$, on construit
+un corps de décomposition de ce polynôme au-dessus de tous les coprs
+de décomposition précédemment obtenus, et tous ces corps sont
+algébriques d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4).
+Le (2) et (2b) se montrent comme
+\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2), de nouveau en
+passant à l'infini : quitte à supposer que $L$ a été construit comme
+on vient de l'indiquer, pour chaque polynôme $f_i \in K[t]$, on
+construit un morphisme entre le corps de décomposition de ce polynôme
+au-dessus de tous les précédents, et un sous-corps de $L'$, jusqu'à
+obtenir un morphisme de $L$ dans $L'$.  Pour le (3), il s'agit de
+nouveau d'observer que si $L'$ est engendré par toutes les racines de
+tous les $f_i$, comme elles sont dans l'image du morphisme, le
+morphisme est surjectif..
+\end{proof}
+
+L'intérêt principal de la proposition qu'on vient de démontrer est de
+montrer l'existence et l'unicité de la clôture algébrique :
+
 \begin{defn}
 Soit $K$ un corps.  On appelle \textbf{clôture algébrique} de $K$ une
 extension $K \subseteq L$ algébrique telle que tout polynôme de $K[t]$
@@ -814,7 +866,10 @@ soit complètement décomposé sur $L$.
 \end{defn}
 
 De toute évidence, un corps est algébriquement clos si et seulement si
-il est égal à sa propre clôture algébrique.
+il est égal à sa propre clôture algébrique.  Remarquons également
+qu'une cloture algébrique de $K$ est exactement la même chose qu'un
+corps de décomposition de \emph{tous} les polynômes à coefficients
+dans $K$.
 
 \begin{prop}[théorème de Steinitz]
 Soit $K$ un corps quelconque.  Alors il existe une clôture algébrique
@@ -823,23 +878,10 @@ de $K$, il existe un isomorphisme entre elles qui soit l'identité
 sur $K$.  Enfin, une clôture algébrique de $K$ est algébriquement
 close.
 \end{prop}
-\begin{proof}[Esquisse de démonstration]
-L'existence se montre comme
-\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(1) avec un argument de
-passage à l'infini : pour chaque polynôme $f \in K[t]$, on construit
-un corps de décomposition de ce polynôme au-dessus de tous les coprs
-de décomposition précédemment obtenus, et tous ces corps sont
-algébriques d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4).
-L'unicité se montre comme
-\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2), de nouveau en
-passant à l'infini : quitte à supposer que $L$ a été construit comme
-on vient de l'indiquer, pour chaque polynôme $f \in K[t]$, on
-construit un morphisme entre le corps de décomposition de ce polynôme
-au-dessus de tous les précédents, et un sous-corps de $L'$, jusqu'à
-obtenir un morphisme de $L$ dans $L'$ (qui est l'identité au-dessus
-de $K$), qui est forcément un isomorphisme puisque $L'$ est
-algébrique, donc engendré par tous les éléments algébriques au-dessus
-de $K$.
+\begin{proof}
+L'existence et l'unicité résultent de la
+proposition \ref{existence-uniqueness-decomposition-field-infinite-family}
+appliquée à la famille de tous les polynômes à coefficients dans $K$.
 
 Enfin, si $M$ est une clôture algébrique de $L$, qui est lui-même une
 clôture algébrique de $K$, on voit que $M$ est algébrique sur $K$