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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-19 20:33:26 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-19 20:33:26 +0200
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tree61f2a93b37a30fdd47e9370b01bec350986f9cb0 /notes-accq205.tex
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index 4f1630a..9e6a688 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -5671,7 +5671,8 @@ pas un corps : car s'il l'était on aurait $K = A$ et
d'après \ref{zariski-lemma} il serait une extension finie de $k$, ce
qui contredit l'hypothèse $\degtrans_k K = 1$.)
-\thingy Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut
+\thingy\label{smooth-points-give-unique-place-reasoning}
+Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut
dire qu'il y a une unique place de $C$ qui détermine un point
de $Z(I)$.
@@ -5694,7 +5695,7 @@ monômes en $\bar x$ et $\bar y$ : à savoir, $v(\bar x^i \bar y^j) = ai
+ bj$. On veut montrer que $v$ est unique. (La difficulté est que la
valuation d'une somme n'est pas uniquement déterminée par les
valuations des termes, donc on ne peut pas simplement conclure que la
-valuation des polômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait
+valuation des polynômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait
que celle des monômes l'est.)
Comme $h$ est irréductible, il n'est pas multiple de $y$ (sauf si
@@ -5705,25 +5706,26 @@ Il existe donc des monômes $x^i$ qui apparaissent dans $h$. Soit $e$
l'exposant du plus petit tel monôme (i.e., la valuation usuelle en $0$
de $h(x,0)$). On a $e\geq 2$ puisque $h'_x(0,0) = 0$. Tout monôme
dans $h$ est alors divisible soit par $y$ (plus petite puissance
-de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$), donc (réduit
-modulo $h$) il a une $v$-valuation au moins égale à $b$ ou à $ae$ ;
-comme $\bar h$ s'annule dans $K$,
-\ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$ (et la
-valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$). À présent,
-cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine complètement
-la valuation (et qu'on a forcément $a=1$).
+de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$) ; par
+conséquent, les monômes de $h$ qui (réduits modulo $h$) sont
+susceptibles d'avoir la plus petite $v$-valuation sont $y$ et $x^e$,
+qui ont $v(y) = b$ et $v(x^e) = ae$ ; comme $\bar h$ s'annule
+dans $K$, \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$
+(et la valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$). À
+présent, cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine
+complètement la valuation (et qu'on a forcément $a=1$).
Pour cela, écrivons $h = y + c x^e + \rho$ où chaque monôme de $\rho$
est de la forme $x^i y^j$ avec $i + e j > e$, c'est-à-dire, de
-$v$-valuation strictement supérieure. Observons que dans un polynôme
-$f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut remplacer
-n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$. Si $f$ est un
-polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus petite
-$v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on vient de
-dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c' x^{i+e j}$
-plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure. Si le
-coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule pas, la
-valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$. S'il
+$v$-valuation strictement supérieure à $ae$. Observons que dans un
+polynôme $f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut
+remplacer n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$. Si
+$f$ est un polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus
+petite $v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on
+vient de dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c'
+x^{i+e j}$ plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure.
+Si le coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule
+pas, la valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$. S'il
s'annule, on recommence la procédure avec le nouveau polynôme, dont
les monômes sont maintenant tous de $v$-valuation strictement
supérieure à $a(i + e j)$. Puisque la $v$-valuation de $\bar f$ est